等差數(shù)列認(rèn)識(shí)-(教師版)三年級(jí)-奧數(shù)

1、禽|三年級(jí)提高班教師版|第1講1霽蒔g遛進(jìn)爲(wèi)曲溜毬螢心超辛狷骯愛老擬黑呻淘堂常券翰現(xiàn)赫牌'電眾樂卷疇眾昶-豈拋夙盤覘穢眈S!學(xué)2013春季>g教學(xué)目標(biāo)1、認(rèn)識(shí)簡單的數(shù)列；2、掌握什么是等差數(shù)列；3、會(huì)求解簡單的等差數(shù)列和；冃M歸知識(shí)點(diǎn)撥1、如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)叫做等差數(shù)列的公差。2、等差數(shù)列求和：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)十23、求項(xiàng)數(shù)：（末項(xiàng)-首項(xiàng)）十公差+14、求末項(xiàng)：首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）X公差（一）課堂引入1. 學(xué)生學(xué)情分析：（1）三年級(jí)暑假對數(shù)列有過認(rèn)識(shí)，并且三年級(jí)孩子比較喜歡找規(guī)律，并且對找規(guī)律比較擅長，所以

2、可以從此入手，讓孩子認(rèn)識(shí)等差數(shù)列。此為切入點(diǎn)?。?）數(shù)列計(jì)算和中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了湊整求和，所以在學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和時(shí)，并不陌生，可以以此切入！此為難點(diǎn)！2. 弓I入-高斯神速求和的故事講故事：高斯出生于一個(gè)貧困家庭，幼時(shí)家境貧困，但是異常聰明。就在像大家這么大的時(shí)候，一次老師出了一道非常難得數(shù)學(xué)題：把1到100的自然數(shù)加起來，和是多少？正在同學(xué)們苦思冥想的時(shí)候，高斯略加思索就說出了答案。同學(xué)們你們知道答案是多少嗎？你們知道高斯用了什么方法巧妙地計(jì)算出來的嗎？情景1：學(xué)生對高斯的故事可能會(huì)比較熟悉，或許會(huì)清楚1到100的自然數(shù)之和，對于這種情況，可以根據(jù)學(xué)生回答的情況，提問一一你們誰知道高斯用了什

3、么方法巧妙地計(jì)算出來的呢？情景2:這個(gè)問題，學(xué)生回答會(huì)比較困難，在此情況下，問：同學(xué)們想不想像高斯這樣厲害，掌握這種巧妙的方法呢？那么，我的小高斯們，下面我就先來認(rèn)識(shí)下等差數(shù)列。|三年級(jí)提高班教師版|第1講2進(jìn)學(xué)2013春季（二）探索新知（一）等差數(shù)列的認(rèn)識(shí)例題精講例1:1、3、5、7、9、（）【教學(xué)建議】等差數(shù)列的認(rèn)識(shí)。先讓孩子去找規(guī)律填數(shù)，并讓孩子去總結(jié)其中的規(guī)律所在，并能用合適的語言表達(dá)。從中提煉出兩點(diǎn)：（1）相鄰兩數(shù)之間的差相同（2）數(shù)依次增大鞏固練習(xí)：20、17、14、11、8、5、（）對于練習(xí)題：提煉出兩點(diǎn)：（1）相鄰兩數(shù)之間的差相同（2）數(shù)依次減少總結(jié)：通過例與練，讓孩子們認(rèn)識(shí)了

4、等差數(shù)列的兩種類型。等差數(shù)列：（1）相鄰兩數(shù)之間的差相同（2）數(shù)依次增加或者減少提出知識(shí)點(diǎn)：公差，項(xiàng)（首項(xiàng)、末項(xiàng)），項(xiàng)數(shù)回到例題與練習(xí)：讓學(xué)生分別指出其中的公差，項(xiàng)（首項(xiàng)、末項(xiàng)），項(xiàng)數(shù)通項(xiàng)求解目標(biāo)：達(dá)到初步的認(rèn)識(shí)例2:（1）2、5、8、11、14。按這樣的規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)，其中第21項(xiàng)是多少？（2）把比100大的奇數(shù)從小到大排成一列，其中第21個(gè)是多少？【教學(xué)建議】在認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生們有意識(shí)結(jié)合這種特殊的規(guī)律解題。并總結(jié)出通項(xiàng)公式！讓學(xué)生獨(dú)立探索完成，然后收集學(xué)生的解題方法，學(xué)生可以會(huì)出現(xiàn)的情況：A、采用最笨的辦法，直接按照規(guī)律，直接寫到第21項(xiàng)B、通過心算，直接寫出第21項(xiàng)數(shù)，但

5、無法列出算式C、能過根據(jù)已知的數(shù)，列出算式（數(shù)出增加的公差）一一（屬于概括能力強(qiáng)的孩子，或者孩子學(xué)過）D、通過列出正確的算式，也明白算理（一般很少，一個(gè)班最多1-2個(gè)）總結(jié)：磁|三年級(jí)提高班教師版|第1講霽蒔總叱淘只囁晦苦也掩辛躺骯愛老擬黑呻淘堂吒拠聲則第牌'竄擬螢疇眾昶曲浴3A、找出完成得比較好的學(xué)生，說出他們的算法，如果有完成C與D的學(xué)生，可以讓他們當(dāng)老師來講講計(jì)算的方法。B、根據(jù)學(xué)生回答情況，引導(dǎo)出第21項(xiàng)的變化情況（從第一項(xiàng)，共增加了多少個(gè)公差），并讓學(xué)生列出算式C、擴(kuò)展為其它項(xiàng)時(shí)，公差的增加情況，并讓學(xué)生列出算式D、總結(jié)通項(xiàng)公式（讓學(xué)生先總結(jié)）項(xiàng)二首項(xiàng)+公差*項(xiàng)數(shù)差鞏固練習(xí)：

6、有一堆按規(guī)律擺放的磚。從上往下數(shù)，第1層有1塊磚，第2層有5塊磚，第3層有9塊磚按照這樣的規(guī)律，第19層有多少塊磚？【教學(xué)建議】在學(xué)習(xí)例2的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生用例2總結(jié)出的結(jié)論計(jì)算本題。并讓學(xué)生說出計(jì)算方法，以及算理，鞏固等差數(shù)列的通項(xiàng)公式！例3:已知一個(gè)等差數(shù)列第9項(xiàng)等于131，第10項(xiàng)等于137，這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？第19項(xiàng)是多少？【教學(xué)建議】加深對等差數(shù)列，及公差的理解，并讓學(xué)生活用通項(xiàng)公式求項(xiàng)。項(xiàng)二首項(xiàng)+公差*項(xiàng)數(shù)差引導(dǎo)學(xué)生靈活使用等差數(shù)列，靈活使用公式“項(xiàng)=首項(xiàng)+公差*項(xiàng)數(shù)差”，靈活確定首項(xiàng)，并能正確求解項(xiàng)數(shù)差！鞏固練習(xí)：冬冬先在黑板上寫了一個(gè)等差數(shù)列，剛寫完阿奇就沖上講臺(tái)，擦去了

7、其中的大部分?jǐn)?shù)，只留下第四個(gè)數(shù)31和第十個(gè)數(shù)73。你能算出這個(gè)等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)嗎？【教學(xué)建議】層次在例3的基礎(chǔ)上，更進(jìn)一層。讓學(xué)生熟練，如何尋找公差，進(jìn)一步理解等差數(shù)列中項(xiàng)的變化！難點(diǎn)：求公差！鞏固點(diǎn)：求項(xiàng)（靈活確定首項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)差）注：通過前面的學(xué)習(xí)，同學(xué)們可以達(dá)到的目標(biāo)，（1）熟練確認(rèn)等差數(shù)列，并輕松找出公差；（2）熟練運(yùn)用通項(xiàng)公式求項(xiàng)；（三）項(xiàng)數(shù)求解例4:小悅讀一本課外書，第一天讀了15頁，以后每天都比前一天多讀3頁，最后一天讀了36頁，剛好把書讀完。請問：小悅一共讀了多少天？這本課外書共有4|三年級(jí)提高班教師版|第1講姑2013春季jS*_*,丁y多少頁？【教學(xué)建議】問題1（1）在知道

8、首項(xiàng)、末項(xiàng)與公差的基礎(chǔ)上，如何求項(xiàng)數(shù)。題目比較形象，同學(xué)們可以自己探索完成問題1同學(xué)們完成問題1的可能性有：A-通過列出每天看的頁數(shù)，找出天數(shù)（天數(shù)較少，同學(xué)們極容易用這種方法解題）B-通過尋找增加的公差數(shù)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系找出天數(shù)（達(dá)到此水準(zhǔn)的孩子，比例較低）（4）跟據(jù)學(xué)生對問題1的完成情況，適當(dāng)提示并翻譯本題：A-每天看的頁數(shù)組成等差數(shù)列；B-天數(shù)為項(xiàng)數(shù)；C-引導(dǎo)向增加的了多少個(gè)公差，說明這是第幾項(xiàng)，即第幾天？（5）讓學(xué)生跟據(jù)所引導(dǎo)，列出算式?？偨Y(jié)一根據(jù)同學(xué)們列出的算式總結(jié)出公式：（末項(xiàng)-首項(xiàng)）寧公差+1問題2（1）涉及等差數(shù)列求和公式，因?yàn)楸绢}中的重點(diǎn)是求項(xiàng)數(shù)，如果涉及過多知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生容易厭煩

9、，學(xué)習(xí)率不高，所以對于問題2,可以讓學(xué)生用基礎(chǔ)的方法算出，鼓勵(lì)用好方法計(jì)算。但不做細(xì)講，提示這就是等差數(shù)列求和，將在下面重點(diǎn)講解。15+18+21+24+27+30+33+36鞏固練習(xí)：體育課上老師指揮大家排成一排，小叮當(dāng)站排頭，小叮咚站排尾，從排頭到排尾依次報(bào)數(shù)。如果小叮當(dāng)報(bào)3,小叮咚報(bào)25,每位同學(xué)報(bào)的數(shù)都比前一位多2,那么隊(duì)伍里一共有多少人？【教學(xué)建議】對于項(xiàng)數(shù)求解的鞏固。注：經(jīng)過前面的講解，學(xué)生對于公差數(shù)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系有比較清晰的認(rèn)識(shí)，完成此題，難度不大，可以出現(xiàn)在列式上。老師可以加以提示，與糾正。（四）簡單的等差數(shù)列求和1.咼斯求和故事引出-等差數(shù)列求和2.著重點(diǎn)明高斯求和，并引出倒加

10、法。思路：揭曉高斯故事答案：5050揭曉高斯巧妙方法：1+2+3+4+100（用彩虹橋講解一即同學(xué)們熟知的首位相加）注：這種方法，大部分同學(xué)都知道，講解起來不算新鮮。疑問：高斯所計(jì)算的這個(gè)等差數(shù)列，項(xiàng)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，剛好可以成對相加；如果這個(gè)等差數(shù)列是奇數(shù)相時(shí)，能夠剛好成對相加嗎？那這種方法似乎并不適用于所有的等差數(shù)列，那么有沒有一種適合所有等差數(shù)列的方法呢？5|三年級(jí)提高班教師版|第1講2013春季提示：講解“倒加法“總結(jié)：學(xué)生自主總結(jié)。等差數(shù)列求和：(首項(xiàng)+末項(xiàng))x項(xiàng)數(shù)十2同學(xué)們得到了高斯的智慧，于是乎，你們都成了小高斯。所以，小高斯們，趕快去試試吧。磁I三年級(jí)提高班教師版|第1講7例5:1

11、+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12教學(xué)建議例5和練習(xí)，項(xiàng)數(shù)不多，可以試著在原算是下面，反寫一遍數(shù)列。得到直觀地計(jì)算，讓學(xué)生練習(xí)等差數(shù)列求和公式。學(xué)生先試著獨(dú)立完成，老師提示引導(dǎo)，并訂正。鞏固練習(xí)：11+12+13+14+15+16+17+18+19總結(jié)：回憶等差數(shù)列公式(學(xué)生回憶)，并提示公式中，必須要知道的量。(1) 3+6+9+12+15+18+21+24+27+30(2) 41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1教學(xué)建議經(jīng)過例5和練習(xí)的鍛煉，對等差數(shù)列求和與倒加法有了一定的熟悉所以例6,著重讓學(xué)生們在不重新寫出反數(shù)列的情況下，利用等差數(shù)列計(jì)算。鞏固練習(xí)：

12、計(jì)算：(1) 5+11+17+77+83(2) 193+187+181+103教學(xué)建議(1) 項(xiàng)數(shù)未知，需要學(xué)生經(jīng)過比較復(fù)雜的計(jì)算，題目比較綜合。(2) 第一題，在學(xué)生試著去完成后，老師帶著學(xué)生完成此題。讓學(xué)生提升等差數(shù)列公式的運(yùn)用能力，能夠根據(jù)等差數(shù)列，去尋找未知項(xiàng)。(本題，少項(xiàng)數(shù))(3) 第二題，讓學(xué)生獨(dú)立嘗試完成。訂正。|三年級(jí)提高班教師版|第1講總結(jié)：回憶等差數(shù)列（學(xué)生回憶），強(qiáng)調(diào)運(yùn)用等差數(shù)列求和時(shí)，需要知道的量，如果有某個(gè)量未知，需要設(shè)法求出，再利用等差數(shù)列求和。例7:已知一個(gè)等差數(shù)列第8項(xiàng)等于50，第15項(xiàng)等于71。請問：（1）這個(gè)等差數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？（2）這個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)

13、的和是多少？教學(xué)建議經(jīng)歷了通項(xiàng)公式、項(xiàng)數(shù)公式、等差求和的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對這些知識(shí)點(diǎn)的記憶比較模糊了，所以先回憶通項(xiàng)公式、項(xiàng)數(shù)公式。（1）通項(xiàng)公式：項(xiàng)=首項(xiàng)+公差*項(xiàng)數(shù)差（強(qiáng)調(diào)：需要知道公差）（2）項(xiàng)數(shù)公式：（末項(xiàng)-首項(xiàng)）十公差+1思路導(dǎo)航問題1：先讓學(xué)生獨(dú)立完成其中第一個(gè)問題。并通過老師講解，進(jìn)一步復(fù)習(xí)通項(xiàng)的求法。問題2：求前10項(xiàng)和，根據(jù)等差數(shù)列公式，還需要知道“首項(xiàng)、末項(xiàng)”，也就是需要知道第一項(xiàng)與第10項(xiàng)。（1）先讓學(xué)生獨(dú)立思考，根據(jù)學(xué)生完成情況，提問學(xué)生等差數(shù)列公式？還需要知道的量？（2）讓學(xué)生根據(jù)老師的提示，列出算式，求出和。注：本題綜合性比較強(qiáng)，一方面需要學(xué)生綜合分析能力，一方面需要

14、學(xué)生熟練運(yùn)用通項(xiàng)公式、項(xiàng)數(shù)公式、等差數(shù)列。經(jīng)歷了例7的學(xué)習(xí)，已經(jīng)對等差數(shù)列的綜合運(yùn)用有了初步的學(xué)習(xí)。鞏固練習(xí)：體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報(bào)數(shù)。如果冬冬報(bào)17,阿奇報(bào)150,每位同學(xué)報(bào)的數(shù)都比前一位多7,那么隊(duì)伍里一共有多少人？所有人報(bào)的總和是多少？教學(xué)建議問題1：學(xué)生獨(dú)立完成，此為項(xiàng)數(shù)公式的運(yùn)用。問題2：求等差數(shù)列的總和，題目相對比較簡單些，首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)都清楚，所以大部分學(xué)生能夠獨(dú)立完成。444"氓齷披學(xué)2013春季、-t（五）奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列求和公式剛才說了，雙數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列可以通過配對求和，但是奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列是否有獨(dú)特的求和公式呢？列出

15、奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，探尋配對和除以2后的值與最中間的數(shù)，即最后單獨(dú)的數(shù)之間的關(guān)系；可以發(fā)現(xiàn)，最中間的數(shù)就是這列數(shù)的平均數(shù)?？偨Y(jié)出奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列的求和公式：中間數(shù)*項(xiàng)數(shù)=總和。反過來，強(qiáng)調(diào)知道奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列的總和，可以求出中間數(shù)。下面，高斯們，我們來試試。例8:有一串連續(xù)單數(shù)的數(shù)列，前7個(gè)數(shù)的和是105，問第10項(xiàng)是多少?教學(xué)建議本題主要是聯(lián)系奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列的求和特點(diǎn)，解決此題，題目比較綜合。米用學(xué)生獨(dú)立完成，老師引導(dǎo)，并訂正的方案。目的：提高學(xué)生的綜合分析能力。鞏固練習(xí)：有一串連續(xù)雙數(shù)的數(shù)列，前11個(gè)數(shù)的和是374，問第25項(xiàng)是多少？教學(xué)建議類同例8,在例8的基礎(chǔ)上，學(xué)生自主練習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生的綜合分析能力。8|三年級(jí)提高班教師版|第1講Q菽學(xué)2013春季：hL課后練習(xí)1、41、44、47、50、（）、（）2、3、6、9、12、15這個(gè)按照一定規(guī)律的一串?dāng)?shù)，其中第20項(xiàng)是多少？150項(xiàng)呢?3、（1）一個(gè)等差數(shù)列共有13項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)大2,并且首項(xiàng)為23,求末項(xiàng)是多少？（2）一個(gè)等差數(shù)列共有13項(xiàng)，