第二十二章一元二次方程

1、第二十二章一元二次方程單元要點分析教材內(nèi)容1本單元教學(xué)的主要內(nèi)容.一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程應(yīng)用題.2. 本單元在教材中的地位與作用.一元二次方程是在學(xué)習(xí)一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基礎(chǔ)之上學(xué)習(xí)的，它也是一種數(shù)學(xué)建模的方法.學(xué)好一元二次方程是學(xué)好二次函數(shù)不可或缺的，是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的奠基工程.應(yīng)該說，一元二次方程是本書的重點內(nèi)容.教學(xué)目標1. 知識與技能了解一元二次方程及有關(guān)概念；掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；掌握依據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法；應(yīng)用熟練掌握以上知識解決問題.2. 過程與方法(1) 通過豐富的實例，讓學(xué)生合

2、作探討，老師點評分析，建立數(shù)學(xué)模型.？根據(jù)數(shù)學(xué)模型恰如其分地給出一元二次方程的概念.(2) 結(jié)合八冊上整式中的有關(guān)概念介紹一元二次方程的派生概念，如二次項等.(3) 通過掌握缺一次項的一元二次方程的解法直接開方法，？導(dǎo)入用配方法解一元二次方程，又通過大量的練習(xí)鞏固配方法解一元二次方程.(4) 通過用已學(xué)的配方法解ax2+bx+c=0(0)導(dǎo)出解一元二次方程的求根公式，接著討論求根公式的條件：b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0.(5) 通過復(fù)習(xí)八年級上冊整式的第5節(jié)因式分解進行知識遷移，解決用因式分解法解一元二次方程，并用練習(xí)鞏固它.(6) 提出問題、分析問題，建立

3、一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，？并用該模型解決實際問題.3. 情感、態(tài)度與價值觀經(jīng)歷由事實問題中抽象出一元二次方程等有關(guān)概念的過程，使同學(xué)們體會到通過一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型；經(jīng)歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過程，使同學(xué)們體會到轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；經(jīng)歷設(shè)置豐富的問題情景，使學(xué)生體會到建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的過程，從而更好地理解方程的意義和作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)重點1. 一元二次方程及其它有關(guān)的概念.2. 用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程.3. 利用實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并解決這個問題.教學(xué)難點1. 一元二次方程配方法

4、解題.2. 用公式法解一元二次方程時的討論.3. 建立一元二次方程實際問題的數(shù)學(xué)模型；方程解與實際問題解的區(qū)別.教學(xué)關(guān)鍵1. 分析實際問題如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.2. 用配方法解一元二次方程的步驟.3解一元二次方程公式法的推導(dǎo).課時劃分本單元教學(xué)時間約需16課時，具體分配如下：22.1一元二次方程2課時22.2降次解一元二次方程7課時22.3實際問題與一元二次方程4課時教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)3課時22.1一元二次方程第一課時教學(xué)內(nèi)容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念.教學(xué)目標了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(az0)及其派生的概念；？應(yīng)用一元二次方程概念解

5、決一些簡單題目.1. 通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，？模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義.2. 一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念.3. 解決一些概念性的題目.4. 通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.重難點關(guān)鍵1. ?重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題.2. 難點關(guān)鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，？再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念.教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入問題（1）九章算術(shù)“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，？兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8

6、寸，門的對角線長1丈，？那么門的高和寬各是多少？如果假設(shè)門的高為x?尺，？那么，？這個門的寬為?尺，？根據(jù)題意，？得整理、化簡，得：.ACCB問題（2）如圖，如果，那么點C叫做線段AB的黃金分割點.ABACACB如果假設(shè)AB=1,AC=x，那么BC=，根據(jù)題意，得：.整理得：.問題（3）有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m,另一邊剪短2m,恰好變成一個正方形，那么這個正方形的邊長是多少？如果假設(shè)剪后的正方形邊長為x，那么原來長方形長是，寬是，根據(jù)題意，得：.整理，得：.老師點評并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并整理.二、探索新知學(xué)生活動：請口答下面問題.（1）上面三個方程整理后

7、含有幾個未知數(shù)？（2）按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？老師點評：（1）都只含一個未知數(shù)x;（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）?都有等號，是方程.因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，？經(jīng)過整理，？都能化成如下形式ax2+bx+c=0（az0）.這種形式叫做一元二次方程的一般形式.一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（az0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.（

8、二次項系數(shù)一定不為0,但一次項系數(shù)沒有要求）。例1.將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（az0）.因此，方程（8-2x）?（?5-2x）=18必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等.解：去括號，得：40-16x-10x+4x2=18移項，得：4x2-26x+22=0其中二次項系數(shù)為4,一次項系數(shù)為-26,常數(shù)項為22.例2.將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次項系數(shù)；常數(shù)項.例3:若關(guān)

9、于x的方程（3a）x|a|1axa5是一元二次方程，求a的值。三、鞏固練習(xí)教材P32練習(xí)1、2四、應(yīng)用拓展例3.求證：關(guān)于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+仁0,不論m取何值，該方程都是一元二次方程.分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17?工0即可.證明：m2-8m+17=(m-4)2+1(m-4)20(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1工0不論m取何值，該方程都是一元二次方程.五、歸納小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點評)本節(jié)課要掌握：(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(0)?和二次項、二次項系數(shù)，一次項、一次

10、項系數(shù)，常數(shù)項的概念及其它們的運用.六、布置作業(yè)作業(yè)設(shè)計一、選擇題1. 在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是().5 3x2+7=0ax2+bx+c=03(x-2)(x+5)=x2-13x2-=0xA.1個B.2個C.3個D.4個2. 方程2x2=3(x-6)化為一般形式后二次項系數(shù)、？一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為().A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,63. px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則().A.p=1B.p>0C.pz0D.p為任意實數(shù)二、填空題1.方程3x2-3=2x+1的二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為2. 元二次方程的一般形式是

11、3.關(guān)于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是三、綜合提高題1.a滿足什么條件時，關(guān)于x的方程a(x2+x)=-、3x-(x+1)是一元二次方程？2. 關(guān)于x的方程(2m2+m)xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？答案：一、1.A2.B3.C二、1.3,-2,-42. ax+bx+c=0(az0)3. az1三、1.化為：ax2+(a-；3+1)x+仁0,所以，當az0時是一元二次方程.m122.可能，因為當2,2mm0當m=1時，該方程是一元二次方程.22.1一元二次方程的解第二課時教學(xué)內(nèi)容1. 一元二次方程根的概念；2. ?根據(jù)題意判定一個數(shù)是否是一元

12、二次方程的根及其利用它們解決一些具體題目.教學(xué)目標了解一元二次方程根的概念，會判定一個數(shù)是否是一個一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問題.提出問題，根據(jù)問題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解；由解給出根的概念；再由根的概念判定一個數(shù)是否是根.同時應(yīng)用以上的幾個知識點解決一些具體問題.重難點關(guān)鍵1重點：判定一個數(shù)是否是方程的根；2.?難點關(guān)鍵：由實際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實際問題的根.教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入學(xué)生活動：請同學(xué)獨立完成下列問題.問題1.如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m,那么梯子的底端距墻多少米？設(shè)梯子

13、底端距墻為.歹y表：.整理，得問題2.一個面積為x012345678120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m,?苗圃的長和寬各是多少?設(shè)苗圃的寬為xm，則長為m.根據(jù)題意，得.整理，得列表：x01234567891011、探索新知提問：(1)問題1中一元二次方程的解是多少？問題2?中一元二次方程的解是多少?(2)如果拋開實際問題，問題1中還有其它解嗎？問題2呢？老師點評：(1)問題1中x=6是x2-36=0的解，問題2中，x=10是x2+2x-120=0的解.(3)如果拋開實際問題，問題(1)中還有x=-6的解；問題2中還有x=-12的解.為了與以前所學(xué)的一元一次方程等只有一個解的區(qū)別，我們稱：

14、一元二次方程的解叫做一元二次方程的根回過頭來看：x2-36=0有兩個根，一個是6,另一個是一6，但-6不滿足題意；同理，問題2中的x=-12的根也滿足題意.因此，由實際問題列出方程并解得的根，并不一定是實際問題的根，還要考慮這些根是否確實是實際問題的解.例1.下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.分析：要判定一個數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可.例2.你能用以前所學(xué)的知識求出下列方程的根嗎？(1)x2-64=0(2)3x2-6=0(3)x2-3x=0x20(5)(x2)20三、鞏固練習(xí)教材P33思考題練習(xí)1、2.四、應(yīng)用

15、拓展例3:若關(guān)于x的方程x2bxc0有兩根3與一4,則b=,c=。例4:(x1)210有解嗎？為什么？五、歸納小結(jié)(學(xué)生歸納，老師點評)1、判斷一個數(shù)是否某一元二次方程的解。2、一元二次方程的解的情況：兩不相等的根；兩相等的根；無根。3、由方程的根求待定系數(shù)。4、由實際問題列出方程并解得的根，還要考慮這些根是否符合實際問題的意義.六、布置作業(yè)1. 教材P34復(fù)習(xí)鞏固3、4綜合運用5、6、7拓廣探索89.2. 選用課時作業(yè)設(shè)計.作業(yè)設(shè)計1.方程x(x-1)=2的兩根為().A.X1=0,X2=1B.X1=0,X2=-1C.X1=1,x2=22.方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是().11A

16、.X1=b,X2=aB.X1=b,X2=C.X1=a,X2=aa、選擇題D.X1=-1,X2=2D.X1=a2,X2=b23.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根(b豐0),則().A.1B.-1C.0D.2二、填空題1 .如果x2-81=0，那么x2-81=0的兩個根分別是xi=,x2=.2 .已知方程5x2+mx-6=0的一個根是x=3，貝Um的值為.3. 方程（X+1）2+J2x（X+1）=0,那么方程的根X1=；X2=.三、綜合提高題1 .如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一個根，求（a-b）2+4ab的值.2. 如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a*0）中的二次

17、項系數(shù)與常數(shù)項之和等于次項系數(shù)，求證：-1必是該方程的一個根.x213. 在一次數(shù)學(xué)課外活動中，小明給全班同學(xué)演示了一個有趣的變形，即在（x2-2x4x+1=0,?令x21=y，則有y2-2y+1=0，根據(jù)上述變形數(shù)學(xué)思想（換元法）x，解決小明給出的問題：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根.答案：一、1.D2.B3.A二、1.9,-92.-133.-1,1-、2三、1.由已知，得a+b=-3，原式=(a+b)2=(-3)2=9.2. a+c=b,a-b+c=0，把x=-1代入得ax2+bx+c=ax(-1)2+bx(-1)+c=a-b+c=0,-1必

18、是該方程的一根.3. 設(shè)y=x2-1，貝Uy2+y=0,y1=0,y2=-1，即當x2-1=0,X1=1,x2=-1；當y2=-1時，x2-仁-1,x2=0,二X3=X4=0,二X1=1,X2=-1,X3=X4=0是原方程的根.22.2.1 直接開平方法教學(xué)內(nèi)容運用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.教學(xué)目標理解一元二次方程“降次”一一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題.提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0,根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程.重難點關(guān)鍵1. 重點：運用開平

19、方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；領(lǐng)會降次轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.2.難點與關(guān)鍵：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n>0）的方程.教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入問題1.填空：(1)x2-8x+=(x-)2；(2)9x2+12x+=(3x+)2；(3) x2+px+=(x+)2.問題2.如圖，在ABC中，/B=90。，點P從點B開始，沿AB邊向點B以1cm/s?的速度移動，點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm，BC=12cm，?P、Q都從B點同時出發(fā)，幾秒后厶PBQ的面積等于8cm2?問題1:根據(jù)完全平方公式可得

20、：(1)164;(2)42;(3)()22 2問題2:設(shè)X秒后PBQ的面積等于8cm2，貝UPB=x,BQ=2x、12依題意，得：X2x=8x2=82根據(jù)平方根的意義，得x=±22，即X!=22,x2=-2一2可以驗證，22和-2.2都是方程丄x2x=8的兩根，但是移動時間不能是負值.2所以22秒后PBQ的面積等于8cm2.二、探索新知上面我們已經(jīng)講了x2=8，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=±22，如果x換元為2t+1，即(2t+1)2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？老師點評：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴腦，那么2t+仁土2豆即2t+仁22,2t+1=-2-

21、2-122例1:解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x+2)2=1.解：由已知，得：(x+2)2=1直接開平方，得：x+2=±1即x+2=1,x+2=-1所以，方程的兩根X1=-1,X2=-3例2.市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為(1+x);二年后人均住房面積就應(yīng)該是解：設(shè)每年人均住房面積增長率為則:10(1+x)2=14.4直接開平方，得1+x=±1.2房面積增長率.X.?一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+?10x=1010(1+x)+10(

22、1+x)x=10(1+x)2x,(1+x)2=1.44即1+x=1.2,1+x=-1.2所以，方程的兩根是X1=0.2=20%,X2=-2.2因為每年人均住房面積的增長率應(yīng)為正的，因此，X2=-2.2應(yīng)舍去.所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%.(學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.？我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”三、鞏固練習(xí)教材P36練習(xí).四、應(yīng)用拓展例3某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？分析：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x

23、,?那么二月份的營業(yè)額就應(yīng)該是(1+X),三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長的，應(yīng)是(1+X)2.解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為X.那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31把(1+X)當成一個數(shù)，配方得：1 3(1+X+)2=2.56，即(x+)2=2.562 23 33x+=±1.6,即卩x+=1.6,x+=-1.6222方程的根為x1=10%,x2=-3.1因為增長率為正數(shù)，所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%.五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p(p>0),那么x=土p轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如(mx+n)2=p(p>

24、0),那么mx+n=±、p，達到降次轉(zhuǎn)化之目的.六、布置作業(yè)1.教材P45復(fù)習(xí)鞏固1、2.2. 選用作業(yè)設(shè)計：、選擇題1. 若x2-4x+p=(x+q)2，那么p、q的值分別是().A. p=4,q=2B.p=4,q=-22. 方程3x2+9=0的根為().A.3B.-3C.±3C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-2D.無實數(shù)根3. 用配方法解方程x2-x+1=0正確的解法是(3).1 281242A.(X-3)=9，x=3±1 8B. (X-3)2=-9，原方程無解2、252452暑C.(X-2)=9，X1=3+T，心丁D.(x-2)2=1,X1=5,X2=

25、-1333、填空題1若8x2-16=0,則x的值是.2 如果方程2(x-3)2=72，那么，這個一元二次方程的兩根是.3. 如果a、b為實數(shù)，滿足J30+b2-12b+36=0,那么ab的值是三、綜合提高題1.解關(guān)于x的方程(x+m)2=n.25m),?另三邊用木欄圍2. 某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻(墻長成，木欄長40m.(1) 雞場的面積能達到180m2嗎？能達到200m嗎？(2) 雞場的面積能達到210m2嗎？3. 在一次手工制作中，某同學(xué)準備了一根長4米的鐵絲，由于需要，現(xiàn)在要制成一個矩形方框，并且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學(xué)制成方框，？并說明你制作的理由嗎?答案

26、:一、1.B2.D3.B二、1.±、02.9或-33.-8三、1.當n0時，x+m=±n,X1=、n-m,X2=-、n-m.i當n<0時，無解2. (1)都能達到.設(shè)寬為x，則長為40-2X,依題意，得：X(40-2X)=180整理，?得：?x2-20x+90=0,X1=10+、10,X2=10-.10;同理X(40-2x)=200,X1=X2=10,長為40-20=20.(2)不能達到.同理X(40-2X)=210,x2-20x+105=0,b2-4ac=400-410=-10<0，無解，即不能達到.3. 因要制矩形方框，面積盡可能大，所以，應(yīng)是正方形，即每邊

27、長為1米的正方形.22.2.2 配方法第1課時教學(xué)內(nèi)容間接即通過變形運用開平方法降次解方程.教學(xué)目標理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題.通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p(p>0或(mx+n)2=p(p>0的一元二次方程的解法，？引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟.重難點關(guān)鍵1.重點：講清"直接降次有困難，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟.2.?難點與關(guān)鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧.教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入(學(xué)生活動)請同學(xué)們解下列方程(1) 3x2-仁5(2)4(x-1)2-9=0(3)

28、4x2+16x+16=9老師點評：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p>0)的形式，那么可得x=±或mx+n=±"p(p>0).女口：4x2+16x+16=(2x+4)2二、探索新知列出下面二個問題的方程并回答：(1) 列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？(2) 能否直接用上面三個方程的解法呢？問題1:印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲，？八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調(diào)皮，告我總數(shù)共多少，兩隊猴子在一起”.1大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數(shù)是猴子總數(shù)的-的平方

29、，另一隊猴子數(shù)是812,那么猴子總數(shù)是多少？你能解決這個問題嗎？問題2:如圖，在寬為20m,長為32m的矩形地面上，？修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路，余下的六個相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2,道路的寬為多少？老師點評：問題1:設(shè)總共有x只猴子，根據(jù)題意，得:1 2x=(x)2+128整理得：x2-64x+768=0問題2:設(shè)道路的寬為x，則可列方程：(20-x)(32-2x)=500整理，得：x2-36x+70=0(1) 列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而后二個不具有.(2)不能.既然不能直接降次解方程，那

30、么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)化：2x2-64x+768=0移項tX64x=-76864兩邊加()2使左邊配成x2+2bx+b2的形式tx2-64x+322=-768+10242左邊寫成平方形式t(X-32)2=?256?降次tx-32=±16即x-32=16或x-32=-16解一次方程txi=48,x2=16可以驗證：xi=48,X2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子.學(xué)生活動：例1.按以上的方程完成x2-36x+70=0的解題.老師點評：x2-36x=-70,x2-36x+182=-70+324,(x-18)2=254,x-

31、18=±一254,x-18=一254或x-18=-.254,X134X22.可以驗證X1-34X2-2都是原方程的根，但X-34不合題意，所以道路的寬應(yīng)為2.例2.解下列關(guān)于X的方程(1)x2+2x-35=0(2)2x2-4x-仁0要按前面的方法化為完全平方x-1=±6分析：(1)顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此,式；(2)同上.解：(1)x2-2x=35x2-2x+12=35+1(x-1)2=36x-1=6,x-1=-6x1=7,X2=-5可以，驗證X1=7,X2=-5都是x2+2x-35=0的兩根.(2)x2-2x-=0x2-2x=-2x2-2x+1(x-1)X1

32、=1+空,2X2=4X-1=土蘭即X-1=,x-1=2 22可以驗證：x1=1+,心1-于都是方程的根.三、鞏固練習(xí)教材P38討論改為課堂練習(xí)，并說明理由.教材P39練習(xí)12.(1)、(2).四、應(yīng)用拓展例3.如圖，在RtACB中，/C=90°,AC=8m,CB=6m，點P、Q同時由A,B?兩點出發(fā)分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s,?幾秒后PCQ?的面積為RtACB面積的一半.分析：設(shè)x秒后PCQ的面積為rWWWBCs)面積的一半,PCQ也是直角三角形.？根據(jù)已知列出等式.解：設(shè)x秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半.111根據(jù)題意，得：一(8-x)(6-

33、x)二一x_x8X62 22整理，得：x2-14x+24=0(x-7)2=25即X1=12,X2=2X1=12,X2=2都是原方程的根，但X1=12不合題意，舍去.所以2秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半.思考：1、若x1.20且X丄，求x1的值。XXX2、已知ax2+bx+c=0(a豐0)的一個根是一1,且a,b滿足b.a2、2a1，求12yc0的解。33、設(shè)ab=2+-2,cb=2+.3，求a2+b2+c2abacbc的值4、如果mx2+2(3-2m)x+3m-2(0)是一個關(guān)于x的完全平方式，則m=。五、歸納小結(jié)：本節(jié)課應(yīng)掌握：左邊不含有x的完全平方形式，？左邊是非負數(shù)的一元二次方程

34、化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負數(shù)，可以直接降次解方程的方程.六、布置作業(yè)：1.教材P45復(fù)習(xí)鞏固2.2. 選用作業(yè)設(shè)計.一、選擇題1. 將二次三項式x2-4x+1配方后得().A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-32. 已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是().A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-11二、填空題1 .方程x2+4x-5=0的解是.x2x22. 代數(shù)式一2的值為0,貝Vx的值為.X213. 已知(x+y)(x+y+2)-8=

35、0，求x+y的值，若設(shè)x+y=z，則原方程可變?yōu)??所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為.三、綜合提高題1. 已知三角形兩邊長分別為2和4,第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個三角形的周長.2. 如果x2-4x+y2+6y+13=0,求(xy)z的值.3. 新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500?元，？市場調(diào)研表明：？當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達5000元，每臺冰箱的定價應(yīng)為多少元？3. 設(shè)每臺定價為x，則：(x-2500)(8+_XX4)=5000,50x2-5500x+

36、7506250=0，解得x=275022.2.2 配方法第2課時教學(xué)內(nèi)容給出配方法的概念，然后運用配方法解一元二次方程.教學(xué)目標了解配方法的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟.通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運用配方法解決一些具體題目.重難點關(guān)鍵1. 重點：講清配方法的解題步驟.2. 難點與關(guān)鍵：把常數(shù)項移到方程右邊后，？兩邊加上的常數(shù)是一次項系數(shù)一半的平方.教具、學(xué)具準備小黑板教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入(學(xué)生活動)解下列方程：(1) x2-8x+7=0(2)x2+4x+仁0老師點評：我們前一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊含有x的完全平方形式，？右邊是非負數(shù)，不可以直接開方降次解

37、方程的轉(zhuǎn)化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進行解題.解：(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0(x-4)2=9x-4=±3即X1=7,X2=1(2) x2+4x=-1x2+4x+22=-1+22(x+2)2=3即x+2=±.3X1=、3-2,X2=-,3-2二、探索新知像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.例1.解下列方程(1) x2+6x+5=0(2)2x2+6x-2=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這

38、些方程就可以用配方法來完成，即配一個含有x的完全平方.解：(1)移項，得：x2+6x=-5配方：x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4由此可得：x+3=±2，即xi=-1,x2=-5(2) 移項，得：2x2+6x=-2二次項系數(shù)化為1，得：x2+3x=-1”、23、23、2/3、25配方x2+3x+()2=-1+()2(x+)2=2 224由此可得X+電土-5，即xJ-3,X2=-5-3222222(3) 去括號，整理得：x2+4x-仁0移項，得x2+4x=1配方，得(x+2)2=5x+2=±5,即X1=.5-2,X2=-5-2三、鞏固練習(xí)教材P39練習(xí)2.(3)、(

39、4)、(5)、(6).四、應(yīng)用拓展例2.用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6分析：因為如果展開(6x+7)2,那么方程就變得很復(fù)雜，如果把(6x+7)看為一個數(shù)1111y,那么(6x+7)2=y2，其它的3x+4=(6x+7)+,x+1=(6x+7)-，因此，方程就2266轉(zhuǎn)化為y?的方程，像這樣的轉(zhuǎn)化，我們把它稱為換元法.解：設(shè)6x+7=y12沖1111則3x+4=y+,x+1=y-"661,11、_y-_)66=72依題意，得:去分母，得：y2(y2-1)=72，21、2289(產(chǎn))2=一242117y2±2y2=9或y2=-8(舍)y=±3

40、y221.y+)(22(y+1)(y-1)y4-y2=72=6當y=3時，6x+7=36x=-42x=-一3當y=-3時,56x+7=-36x=-10x=-32 5所以，原方程的根為X1=-,X2=-3 3五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.六、布置作業(yè)1教材P45復(fù)習(xí)鞏固3.2作業(yè)設(shè)計一、選擇題41. 配方法解方程2x2-x-2=0應(yīng)把它先變形為().32=02=10=9).A.(x-)2=B.(x-393C. (x-)2=D.(x-)3 932. 下列方程中，一定有實數(shù)解的是(A.x2+仁0B.(2x+1)2=01C.(2x+1)2+3=0D.(x-a)2

41、=a23. 已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是().A.1B.2C.-1D.-2二、填空題1 .如果x2+4x-5=0,則x=.2.無論x、y取任何實數(shù)，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是數(shù).3 .如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0，那么x與y的關(guān)系是.三、綜合提高題1. 用配方法解方程.(1) 9y2-18y-4=0(2)x2+3=22. 已知：x2+4x+y2-6y+13=0,求:2葺的值.xy3. 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，？為了擴大銷售,增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)

42、，？如果每件襯衫每降價一元，商場平均每天可多售出2件. 若商場平均每天贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？ 每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多？請你設(shè)計銷售方案.答案：一、1.1.1,-52.正1.(1)y24-2y-=0,9r53.x_y=424/八213y2-2y=,(y-1)2=99y-1=±13、1313y1=+1,y2=1-3 3(2) x2-2/3x=-3(x-3)2=?0,X1=X2=2.(x+2)2+(y-3)2=0,x1=-2,y2=3,原式=138133. (1)設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，則(40-x)(20+2x)=1200,x2-30x+200=0,X1

43、=10,X2=20(2) 設(shè)每件襯衫降價x兀時，商場平均每天贏利最多為y,貝Vy=-2x2+60x+800=-2(x2-30x)+800=-2(x-15)2-225+800=-2(x-15)2+1250/-2(x-15)2w0,x=15時，贏利最多，y=1250元.答：略22.2.3 公式法教學(xué)內(nèi)容1一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；2 公式法的概念；3 利用公式法解一元二次方程.教學(xué)目標理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0(0)?的求根公式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程

44、.重難點關(guān)鍵1 重點：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.2 難點與關(guān)鍵：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo).教學(xué)過程、復(fù)習(xí)引入(學(xué)生活動)用配方法解下列方程(1) 6x2-7x+仁0(2)4x2-3x=52(老師點評)(1)移項，得：6x2-7x=-171二次項系數(shù)化為1得:x2-x=-6配方，得:x2-x+()2=-+()26 12612(x-12251447 55775x-=±X1=+=1121212121257751X2=-+=-1212126(2) 略總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié)，老師點評)(1) 移項;(2) 化二次項系數(shù)為1;(3) 方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平

45、方；(4) 原方程變形為(x+m)2=n的形式；(5) 如果右邊是非負數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負數(shù)，則一元.次方程無解.二、探索新知如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(0),你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學(xué)獨立完成下面這個問題.冋題：已知ax+bx+c=0(0)且b-4ac>0，試推導(dǎo)它的兩個根bb24acX1-2abb24ac2aX2=a、b、c?也當成一個具體數(shù)字,分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去.解：移項，得:二次項系數(shù)化為配方，得：x2+-x+aax2+bx=-c曰2bcaac+a

46、即(x+2a)2上4ac4a2/b2-4ac>0且4a2>0b24ac4a2直接開平方，得:b.b24acx+=±2a2a即x=b.b24ac2abVb24acbVb24acIxi=,X2=2a2a由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b-4ac>0時，？將a、b、c代入式子x=b4ac就得到方程的根.2a(2) 這個式子叫做一元二次方程的求根公式.(3) 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.(4) 由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)

47、根.例1用公式法解下列方程.(1) 2x2-4x-仁0(2)5x+2=3x2(3) (x-2)(3x-5)=0(4)4x2-3x+仁0分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可.解：(1)a=2,b=-4,c=-1b2-4ac=(-4)2-4X2X(-1)=24>0(4)2442.62；6x=22422-62-6二X1=,X2=22(2)將方程化為一般形式3x2-5x-2=0a=3,b=-5,c=-2b2-4ac=(-5)2-4X3x(-2)=49>0(5).4957x=2361X1=2,X2=-3(3) 將方程化為一般形式23x2-11x+9=0a=3

48、,b=-11,c=9b2-4ac=(-11)2-4X3X9=13>0(11)辰11辰二X=2361113二X1=6X2=1(3) a=4,b=-3,c=1b2-4ac=(-3)2-4X4X仁-7<0因為在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)不能開平方，所以方程無實數(shù)根.三、鞏固練習(xí)教材P42練習(xí)1.(1)、(3)、(5)四、應(yīng)用拓展2例2.某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于X的方程(m+1)Xm2+(m-2)x-仁0提出了下列問題.(1) 若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.(2) 若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出.你能解決這個問題嗎？分析：能.(1)要使它為一元二次方程，

49、必須滿足m2+1=2，同時還要滿足(m+1)工0.(2)要使它為一元一次方程，必須滿足：m211(m1)(m2)或010或解：(1)存在.根據(jù)題意，得：m2+仁22m=1m=±1當m=1時，m+1=1+1=2豐0當m=-1時，m+1=-1+仁0(不合題意，舍去)當m=1時，方程為2x2-1-x=0a=2,b=-1,c=-1b2-4ac=(-1)2-4X2X(-1)=1+8=9X=1X1=,X2=2一，、一.一一1因此，該方程是一兀二次方程時，m=1，兩根xi=1,X2=-2(2)存在.根據(jù)題意，得：m23+仁1,m2=0,m=0因為當m=0時，(m+1)+(m-2)=2m-1=-1豐

50、0所以m=0滿足題意. 當m2+仁0,m不存在. 當m+1=0，即m=-1時，m-2=-3豐0所以m=-1也滿足題意.當m=0時，一元一次方程是x-2x-1=0,解得：x=-1當m=-1時，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-3x=-1；因此，當m=0或-1時，該方程是一元一次方程，并且當m=0時，其根為一1當m=-?1時，其一兀一次方程的根為x=-.3五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：(1) 求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；(2) 公式法的概念；(3) 應(yīng)用公式法解一元二次方程；(4) 初步了解一元二次方程根的情況.六、布置作業(yè)1. 教材P45復(fù)習(xí)鞏固4.2. 選用作業(yè)設(shè)計：一、選擇題1. 用公式法解

51、方程4x2-12x=3，得到().3 763晁A.x=B.x=一22C.x=32,32A.X1=、2,B.X1=6,X2=C.X1=2,X2=2X1=X2=-.6二、填空題1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(0)的求根公式是，條件是.2. 當x=時，代數(shù)式x2-8x+12的值是-4.3. 若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根為0,貝Um的值是.三、綜合提高題1. 用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.bc2. 設(shè)xi,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a*0)的兩根，(1)試推導(dǎo)xi+x2=-,xix2=;aa(2)?求代數(shù)式a(Xi3+

52、X23)+b(Xi2+X22)+c(X1+X2)的值.3. 某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民一個月用電量不超過A千瓦時，？那么這戶居民這個月只交10元電費，如果超過A千瓦時，那么這個月除了交10?元用電費外超過部分A還要按每千瓦時元收費.100(1) 若某戶2月份用電90千瓦時，超過規(guī)定A千瓦時，則超過部分電費為多少元？(?用A表示)(2) 下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費情況月份用電量(千瓦時)交電費總金額(兀)3802544510根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A值為多少？答案：一、1.D2.D3.Cbb24ac2二、1.x=,b2-4ac>02.43.-32a一彳2a7404b2

53、4a2三、1.x=a±|b|22. (1)vxi、X2是ax2+bx+c=0(a*0)的兩根,bJb24acbvb24acX1=,X2=2a2abVb24acb4b4acbX1+X2=-,2aab4acbvb24accxix2=2a2aa(2)vxi,X2是ax2+bx+c=0的兩根，axi2+bxi+c=0,ax22+bx2+c=0原式=axi+bxi+cixi+ax2+bx2+cx222=xi(axi+bxi+c)+X2(ax2+bx2+c)=0A1293. (1)超過部分電費=(90-A)=-A2+A10010010A(2)依題意，得：(80-A)=15,A1=30(舍去)，A2=5010022.3實際問題與一元二次方程（1）教學(xué)內(nèi)容由“倍數(shù)關(guān)系”等問題建立數(shù)學(xué)模型，并通過配方法或公式法或分解因式法解決實際問題.教學(xué)目標掌握用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決一些具體問題.通過復(fù)習(xí)二元一次方程組等建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實際問題，引入用“