多邊形及其內(nèi)角和導(dǎo)學(xué)案

1、課題3:多邊形及其內(nèi)角和第1課時(shí)(11.3.1多邊形)【導(dǎo)學(xué)目標(biāo)】1知道多邊形、多邊形的內(nèi)角、多邊形的外角、多邊形的對角線和正多邊形的有 關(guān)概念。2能夠解決與多邊形的對角線有關(guān)的問題。【導(dǎo)學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：多邊形的相關(guān)概念。難點(diǎn)：多邊形對角線?！緦?dǎo)學(xué)流程】一、學(xué)前準(zhǔn)備知識(shí)點(diǎn)一：多邊形、多邊形的內(nèi)角、多邊形的外角、多邊形的對角線和正多邊形 的有關(guān)概念。二、探索思考1自學(xué)課本，完成下列問題。(1) 在平面內(nèi)，由一些線段目接組成的叫做多邊形。圖1中分別是什么多邊形？OO2中內(nèi)角有(3) 多邊形的邊與它的的鄰邊的 成的角叫做多邊形的外角。圖2中外角有。(4) 連接多邊形的個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線。

2、(5) 併目等， 併目等的多邊形叫做正多邊形。2. 對應(yīng)練習(xí)(1) n邊形有 邊， 頂點(diǎn)， 內(nèi)角。(2) 下列圖形不是凸多邊形的是()。知識(shí)點(diǎn)二：解決與多邊形的對角線有關(guān)的問題1探究：畫出下列多邊形的對角線，回答問題:四辺形五邊序六邊形（1） 從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫 對角線，把四邊形分成了 個(gè)三角形；四邊形共有條 寸角線。（2） 從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫 對角線，把五邊形分成了 個(gè)三角形；五邊形共有條對角線。（3） 從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫 對角線，把六邊形分成了 個(gè)三角形；六邊形共有條對角線。（4） 猜想：從100邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫 對角線，把100邊形分成了 三角形；1

3、00邊形共有條對角線。從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫條寸角線，把n分成了 三角形；n邊形共有 對角線。練習(xí)：（1） 從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可作條 寸角線，從n邊形n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可作條寸角線，除去重復(fù)作的對角線，則 n邊形的對角線的總數(shù)為 條。（2） 過m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對角線，n邊形沒有對角線，k邊形有2條對 角線，貝U（ m-k） =。（3）過十邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可作出幾條對角線？把十邊形分成了幾個(gè)三角形？（4） 十二邊形共有 對角線，過一個(gè)頂點(diǎn)可作 對角線，可把十二邊形分成三角形。三、當(dāng)堂反饋1下列圖形中，是正多邊形的是（）。A.直角三角形B.等腰三角形C.長方形D.正方形2. 九邊形的對角線

4、有（）。A.25 條 B.31 條 C.27 條 D.30 條3過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線，把多邊形分成 8個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形 的邊數(shù)是04. 一個(gè)多邊形的對角線的條數(shù)等于它的邊數(shù)的4倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)是5. 如圖，/ 1,Z 2,7 3是三角形ABC的不同三個(gè)外角，則/ 1 + Z 2+Z 3=，/ BFC。10. 在 ABC中/A等于和它相鄰的外角的四分之一，這個(gè)外角等于/ B的兩倍，那E么/ A=, / B=, / C=。第2課時(shí)(多邊形的內(nèi)角和)【導(dǎo)學(xué)目標(biāo)】1. 知道多邊形的內(nèi)角和與外角和定理；2. 運(yùn)用多邊形內(nèi)角和與外角和定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算?！緦?dǎo)學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：多邊形的內(nèi)

5、角和與外角和定理。難點(diǎn)：內(nèi)角和定理的推導(dǎo)?！緦?dǎo)學(xué)流程】一、學(xué)前準(zhǔn)備1. 三角形的內(nèi)角和是多少。2. 正方形、長方形的內(nèi)角和是多少 。3. 從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫 對角線，把n邊形分成了個(gè)三角形。二、探索思考知識(shí)點(diǎn)一：多邊形的內(nèi)角和定理探究1:任意畫一個(gè)四邊形，量出它的4個(gè)內(nèi)角，計(jì)算它們的和。再畫幾個(gè)四邊 形，量一量、算一算。你能得出什么結(jié)論？能否利用三角形內(nèi)角和等于180。得出這個(gè)結(jié)論？結(jié)論：。探究2:從上面的問題，你能想出五邊形和六邊形的內(nèi)角和各是多少嗎？觀察右圖，請?zhí)羁眨?1)從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引 對角線，它們將五邊形分為 三角形，五邊形的內(nèi)角和等于 180 。(2)從六邊

6、形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引條對角線，它們將六邊形分為個(gè)三角形， 六邊形的內(nèi)角和等于180。探究3： 一般地，怎樣求n邊形的內(nèi)角和呢？請?zhí)羁眨簭膎邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引 對角線，它們將n邊形分為個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180 。結(jié)論：多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系是。練習(xí)一1. 十二邊形的內(nèi)角和是 。2. 個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于900 ,求它的邊數(shù)。 知識(shí)點(diǎn)二：多邊形的外角和探究4:如圖，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形 的外角和。六邊形的外角和等于多少？問題：如果將六邊形換為n邊形（n是大于等于3的整數(shù)），結(jié)果還相同嗎？ 因此可得結(jié)論：。練習(xí)二1七邊形的外角和是 十二邊

7、形的外角和是 三角形的外角和是。2. 個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于 36,則這個(gè)多邊形是邊形。3. 在每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形中，若一個(gè)外角是它相鄰內(nèi)角的1/2,則這個(gè)多邊形是形。三、當(dāng)堂反饋1一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于 40,則它的邊數(shù)是；一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi) 角都等于140，則它的邊數(shù)是。2. 如果四邊形有一個(gè)角是直角，另外三個(gè)角的度數(shù)之比為2： 3： 4,那么這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為。3. 若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080,則它的邊數(shù)是 。4當(dāng)一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加1時(shí)，它的內(nèi)角和增加度。3正十邊形的一個(gè)外角為。4. 形的內(nèi)角和與外角和相等。5已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為1080,則這個(gè)

8、多邊形是邊形。6. 若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的比為 7： 2,求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。知識(shí)鏈接三角形的五心重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍。上述交點(diǎn)叫做三角形的重心。外心：三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。這點(diǎn)叫做三角形的外心。 垂心：三角形的三條高線交于一點(diǎn)。這點(diǎn)叫做三角形的垂心。內(nèi)心：三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫 做三角形的旁心。三角形有三個(gè)旁心。三角學(xué)發(fā)展簡史 三角學(xué)是以研究三角形的邊和角的關(guān)系為基礎(chǔ)， 應(yīng)用于測量， 同時(shí)也研究三角函 數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

9、的一門學(xué)科。三角學(xué)起源于生活實(shí)踐。 例如古埃及人為了建筑金字塔， 整理尼羅河泛濫后的耕 地以及通商航海觀察天象等測量的需要， 產(chǎn)生和積累了有關(guān)的三角學(xué)知識(shí)； 又如 古印度人也是由天文測量的需要而得到三角學(xué)的有關(guān)內(nèi)容。 古代三角學(xué)的萌芽可以說是古希臘哲學(xué)家泰勒斯的相似理論， 而希臘的天文學(xué)家 喜帕恰斯，曾著有三角學(xué) 12 卷，大概可以認(rèn)為是古代三角學(xué)的創(chuàng)始人。 三角測量在中國也很早出現(xiàn)， 公元前一百多年的 周髀算經(jīng)就有較詳細(xì)的說明， 例如它的首章記錄“周公曰，大哉言數(shù)，請問用矩之道。商高曰，平矩以正繩、 偃矩以望高、覆矩以測深、 臥矩以知遠(yuǎn)?！保ㄉ谈哒f的矩就是現(xiàn)今工人用的兩邊互 相垂直的曲尺，

10、商高說的大意是將曲尺置于不同的位置可以測目標(biāo)物的高度、 深 度與廣度。）1世紀(jì)時(shí)的九章算術(shù)中有專門研究測量問題的篇章， 3世紀(jì)時(shí)劉徽所著的 海 島算經(jīng)中更有運(yùn)用“重差術(shù)” ，通過多次觀察來解決不可達(dá)高度與距離問題。 但古代三角學(xué)只是作為天文學(xué)的一部分內(nèi)容而已，直到13 世紀(jì)中亞數(shù)學(xué)家納速拉丁在總結(jié)前人成就的基礎(chǔ)上，著成完全四邊形一書，才為把三角學(xué)從天文 學(xué)中獨(dú)立出來奠定了基礎(chǔ)。直到 15 世紀(jì)，德國的雷格蒙塔努斯的論三角一 書的出版， 才標(biāo)志古代三角學(xué)正式成為獨(dú)立的學(xué)科。 這本書中不僅有很精密的正 弦表、余弦表等，而且給出了現(xiàn)代三角學(xué)的雛形。16 世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)則更進(jìn)一步將三角學(xué)系統(tǒng)化，在

11、他對三角法研究的第一 本著作應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)法則 中，就有解直角三角形、 斜三角形等的詳述， 并且還有正切定理以及和差化積定理等。使人注目的是 18 世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，他首先研究了三角函數(shù)，使三角學(xué)從原 先靜態(tài)研究三角形的解法中解脫出來， 成為反映現(xiàn)實(shí)世界中某些運(yùn)動(dòng)和變化的一 門具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)特征的學(xué)科。 歐拉不僅用直角坐標(biāo)來定義三角函數(shù)， 徹底解決了 三角函數(shù)在四個(gè)象限中的符號(hào)問題， 還引進(jìn)了弧度值。 更可貴的是他發(fā)現(xiàn)了著名 的歐拉公式 eix=cosxi sinx ，把原來人們認(rèn)為互不相關(guān)的三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù) 聯(lián)系起來了，為三角學(xué)增添了新的活力。由上述可見三角學(xué)是源于測量實(shí)踐， 其后經(jīng)過

12、了漫長時(shí)間的孕育， 眾多中外數(shù)學(xué) 家的不斷努力，才逐漸豐富，演變發(fā)展成為現(xiàn)在的三角學(xué)。三角學(xué)的歷史演變 三角學(xué)是以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系為基礎(chǔ)， 達(dá)到測量上的 應(yīng)用為目的的一門學(xué)科。 同時(shí)還研究三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。 三角學(xué)的拉丁文 拼法為trigo no metria，是三角形tria ngulum和測量metricus兩字的合并，由德國 人皮蒂斯楚斯于 1595 年創(chuàng)用，原意指三角形的測量，即解三角形。 早期的三角學(xué)是天文學(xué)的一部分， 后來研究范圍逐漸擴(kuò)大， 變成以三角函數(shù)為主 要對象的學(xué)科。早在公元前 300年，古代埃及人已有了一定的三角學(xué)知識(shí)，主要用于測量。 例如建

13、筑金字塔、整理尼羅河泛濫后的耕地、通商航海和觀測天象等。公元前600年左右古希臘學(xué)者泰勒斯游埃及， 利用相似三角形的原理測出金字塔的高， 成為 西方三角測量的肇始。據(jù)中國古算書周髀算經(jīng)記載，約與泰勒斯同時(shí)代的陳 子已利用勾股定理測量太陽的高度，其方法后來稱為“重差術(shù)” 。公元前 2 世紀(jì) 前后希臘天文學(xué)家喜帕恰斯為了天文觀測的需要， 作了一個(gè)和現(xiàn)在三角函數(shù)表相 仿的“弦表”，即在固定的圓內(nèi)，不同圓心角所對弦長的表，他成為西方三角學(xué) 的最早奠基者。公元 2 世紀(jì)，希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家托勒密繼承喜帕恰斯的成就， 加以整理發(fā)揮，著成天文學(xué)大成 13 卷，包括從 0到 90每隔半度的弦表 及若干等價(jià)于

14、三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系式， 被認(rèn)為是西方第一本系統(tǒng)論述三角學(xué)理論 的著作。約同時(shí)代的門納勞斯寫了一本專門論述球面三角學(xué)的著作球面學(xué) ， 內(nèi)容包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣， 以及球面 三角形許多獨(dú)特性質(zhì)。 他的工作使希臘三角學(xué)達(dá)到全盛時(shí)期。 公元 6 世紀(jì)初， 印 度數(shù)學(xué)家阿耶波多制作了一個(gè)第一象限內(nèi)間隔 3 45的正弦表，依照巴比倫人 和希臘人的習(xí)慣，將圓周分為 360度，每度為 60 分，其中用同一單位度量半徑 和圓周， 孕育著最早的弧度制概念。 他在計(jì)算正弦值的時(shí)候， 取圓心角所對弧的 半弦長，比起希臘人取全弦長更近于現(xiàn)代正弦概念。印度人還用到正矢和余弦， 并給出一

15、些三角函數(shù)的近似分?jǐn)?shù)式。13 世紀(jì)納西爾丁在論完全四邊形中第一次把三角學(xué)作為獨(dú)立的學(xué)科進(jìn)行論 述，首次清楚地論證了正弦定理。他還指出，由球面三角形的三個(gè)角，可以求得 它的三個(gè)邊，或由三邊去求三個(gè)角。這是區(qū)別球面三角與平面三角的重要標(biāo)志。 至此三角學(xué)開始脫離天文學(xué)，走上獨(dú)立發(fā)展的道路。 近代三角學(xué)始于歐拉的無窮分析引論 （1748 年），他第一次以函數(shù)線與半徑 的比值作為三角函數(shù)的定義，并令圓的半徑為 1，使三角研究大為簡化。歐拉創(chuàng) 用 a、b、c 表示三角形三邊， A、B、C 表示對應(yīng)的三個(gè)角，大大簡化了三角公 式，這標(biāo)志著三角學(xué)從研究三角形解法進(jìn)一步轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯咳呛瘮?shù)及其應(yīng)用的一 個(gè)數(shù)學(xué)分支

16、。我國古代沒有出現(xiàn)角的函數(shù)概念， 只用勾股定理解決了一些三角學(xué)范圍內(nèi)的實(shí)際 問題。 1631 年西方三角學(xué)首次傳入中國，以德國傳教士鄧玉函、湯若望和我國 學(xué)者徐光啟合編的大測為代表。同年徐光啟等人還編寫了測量全義 ，其 中有平面三角和球面三角的論述。 1653 年薛風(fēng)祚與波蘭傳教士穆尼閣合編三 角算法，以“三角”取代“大測” ，確立了“三角”名稱。 1877 年華蘅煦等人 對三角級(jí)數(shù)展開式等問題有過獨(dú)立的探討。現(xiàn)代的三角學(xué)主要研究角的特殊函數(shù)及其在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，如幾何計(jì)算等， 多發(fā)展于 20 世紀(jì)中。古希臘人看三等分任意角問題 對于古典時(shí)期的希臘人來說， 二等分角是一件易事。 可是， 當(dāng)他

17、們在成功地用直 尺和圓規(guī)作出圓內(nèi)接正五邊形后， 試圖作出邊數(shù)更多的正多邊形時(shí)， 不可避免地 遇到了如何按給定比將角分成兩部分的問題。如正九邊形的情形，這個(gè)比為2：1，于是三等分角問題產(chǎn)生了。希臘人以尺規(guī)來解該問題的嘗試一次又一次地以 失敗告終。他們漸漸意識(shí)到光靠直線和圓是不頂用的， 必須借助于其他復(fù)雜的曲 線才能成功。第一個(gè)意識(shí)到這一點(diǎn)的希臘人是希皮亞斯（Hippias）。他是伯羅奔尼撒的厄里城 人，生于公元前460年左右，是蘇格拉底（SocrateS的同代人。希皮亞斯為解 三等分角問題發(fā)明了一種稱作割圓曲線的新曲線，如圖 11-1 所示。 ABCD 為一 正方形，BED是以A為圓心的四分之一

18、圓弧。假設(shè)半徑繞 A點(diǎn)從AB位置勻速 轉(zhuǎn)動(dòng)到AD位置，而在相同時(shí)間內(nèi)直線 BC從BC位置勻速平移到 AD位置（端 點(diǎn) B 始終沿 BA 運(yùn)動(dòng)）。則平動(dòng)直線與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的交點(diǎn)軌跡就是割圓曲線。其性 質(zhì)是：/ BAD :/ EAD = BED: ED = AB : FH 設(shè)/ FAD = 9，AF = 9，AB = a，則割圓曲線的極坐標(biāo)方程為：p =2a 0 n sinB有了割圓曲線，就可以輕而易舉地三等分任意角了。如圖11-1,要三等分/ EAD , 只需取FH的三等分點(diǎn)F,過F作B C平行于AD，交割圓曲線于L,連接 AL ,交 BED 于 N,易證/ EAD :/ NAD=FH : LM=F

19、H : F H=3 : 1因此AN三等分/ EAD。實(shí)際上，利用割圓曲線可以將角任意等分。E11 -3圖 11 -4圖 11-1希皮亞斯利用割圓曲線，通過線段三等分來完成角的三等分。 或許受此啟發(fā)，170 多年后大數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)明了另一種后人以其名字命名的新曲線一一阿基米 德螺線。它是這樣產(chǎn)生的：一條射線 OA從一起始位置出發(fā)繞固定端點(diǎn) O做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，而在射線開始轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，一個(gè)點(diǎn)從O出發(fā)沿著它做勻速運(yùn)動(dòng)。則該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是阿基米德螺線。其極坐標(biāo)方程是p =a0。如圖11-2所示。利用該曲線的第一圈來三等分角 AOB時(shí)，只需以角的一邊OA作為原始位置，以O(shè)為固定端點(diǎn)，作一螺線交 OB于P。

20、取OP的三等分點(diǎn)Q,以O(shè)為圓心，OQ 貝U OR三等分/ AOB希臘人還巧妙地將三等分角問題作了轉(zhuǎn)化。如圖 11-3所示，設(shè)/ ABC是須三等 分的銳角，AC丄BC。作矩形ACBF，延長FA至E,而E是這樣的點(diǎn)：若連接BE 交 AC 于 D，貝U DE = 2AB。取 DE 的中點(diǎn) G,連 AG，貝U DG = GE = AG = AB。因此/ ABG = / AGB = 2/ AEG = 2/ DBC , DE 三等分/ ABC。這樣問題 轉(zhuǎn)化為：在AE和AC之間插入長為2AB的線段ED,使ED斜向B點(diǎn)。這就是 希臘人所謂的斜向問題。阿基米德的同代人尼可米德（Nicomedes,約前280前

21、210年）為解決上述斜 向問題，發(fā)明了一種稱作蚌線（或蝸線）的新曲線。它是通過一種機(jī)械裝置畫出 來的，如圖11-4所示。AB是一直尺，其上有平行于尺長方向的狹孔，F(xiàn)E是垂直固定在AB上的第二把直尺，其上固定一釘子C。第三把直尺PC以P為尖端， 其上也有平行于尺長方向的狹孔，釘子 C可沿狹孔自由移動(dòng)。D是PC上一固 定的釘子，與狹孔同在一線上，且 D可沿AB上的狹孔自由移動(dòng)。移動(dòng)PC，則 尖端P就畫出了蚌線。尼可米德稱 AB為“直尺”，固定點(diǎn)C為“極點(diǎn)”，不變 長度PD為“距離”。設(shè)PD = a，CF= b，Z FCP= 9，則尼可米德蚌線的極坐標(biāo) 方程為p =a+bsec9。若在圖11-3中以

22、B為極點(diǎn)，AC為直尺，長度2AB為距離 作蚌線，交FA的延長線于E，則BE即為/ ABC的三等分線。希臘人對于三等分角問題的轉(zhuǎn)化是意猶未盡的。阿基米德便是其中一例。如圖11-5所示，將須三等分的角 AOB作為圓0的圓心角。延長BO至C,連AC交 圓 O 于 D。如果 CD = OA，那么，/ AOB = /A + Z C=Z ADO + Z C= 2/C + /C = 3/C于是過O且平行于CA的直線OE即為/ AOB的三等分線。因此三等分角問題 又轉(zhuǎn)化為：在BO延長線和圓周之間插入線段 CD，使它與半徑等長且斜向 A。 這是另一種斜向問題。r到了中世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家坎伯努斯（ Ca

23、mpanus 12201296年） 在其幾何原本的拉丁文譯本中給出了一種斜向法， 如圖11-6所示。設(shè)/ AOB 是須三等分的圓心角，OC丄OB。過A作圓的弦AD交OC于E,使得ED = OA， 則/ A = 23/ AOB。過O引DA的平行線OF, OF即為/ AOB的三等分線。易 證坎伯努斯的方法與阿基米德斜向法是一樣的?？膊挂郧暗募s當(dāng)努斯（NJordanus ?1237年）其實(shí)已在他的著作中給出過同樣的方法。正如尼可米德為解斜向問題而發(fā)明了后人以其名字命名的蚌線一樣，在他1800年后的法國數(shù)學(xué)家、著名數(shù)學(xué)家帕斯卡之父埃廷內(nèi)帕斯卡（Pascal, 15881651年）為解決上述阿基米德

24、斜向問題而發(fā)明了另一種蚌線，今稱帕斯卡蝸 線。如圖11-7所示，A是圓O上一點(diǎn)，從A向圓周上任一點(diǎn)P引射線，并在射 線上的P點(diǎn)兩側(cè)截取PQ= PQ= a（常數(shù)），則Q和Q的軌跡即為帕斯卡蝸線。A稱為極點(diǎn)。設(shè)圓半徑為R,則帕斯卡蝸線的極坐標(biāo)方程為 P =A+2Rcos9。1896年，奧布里（Aubry）利用圓錐給出妙法。如圖11-9所示，/ AOB是須三 等分的圓O的圓心角。以圓O為底作一正圓錐VO,使斜高等于底半徑的3倍。 則展開圓錐得的/ AVB = 1/3/ AOB。折飛機(jī)解幾何“三分角”難題以直尺和圓規(guī)把一角分作三等份，是經(jīng)典三大數(shù)學(xué)難題之一。折飛機(jī)的玩意又如 何和“三分角”的解法扯上關(guān)

25、系呢？若我們將“折紙飛機(jī)”攤開，便會(huì)發(fā)現(xiàn)如圖11-10所示的折痕一一一束束直線從 一點(diǎn)散發(fā)出來。原來我們可以利用這些折痕找出“三分角”的方法。首先我們可利用折痕繪出一軌跡曲線，稱之為“ C曲線”。在離P點(diǎn)若干距離折 出橫線AB，然后在每一條原先的折痕與 AB相交處，找出相同長度的位置，并 以點(diǎn)為記。將這些點(diǎn)連起來，便形成“ C曲線”。如圖11-11所示。紙飛機(jī)折痕匕的Pft劊T圖 11-10圈 H -11若我們想把/ QPR分作三等份，可采用以下的步驟：（一）PX : XR = 1 : 2的比值，在 AB線上定出X點(diǎn)。（二）由X點(diǎn)畫出一垂直線XS，與“C曲線”相交于S點(diǎn)。（三）以直線連接P和S

26、,PS便可將/ QPR的1/3解分出來（即/ QPS=1/3/ QPR）利Jin cfti線）叮把乙（?打的+f（分出來圖 11-12（四）最后，可用圓規(guī)直尺把/ SPR平分。我們更可進(jìn)一步利用幾何原理，去驗(yàn)證第三步驟所得出來的結(jié)果：（一）在TS線段上，作中點(diǎn) M。由于/ TXS = 90, T、X、S共圓（concyclic），得 SM = MX = MT （M為T、X、S共圓的圓心）。（二）設(shè)/ MSX = 9，則 / MXS = / MSX = B ,得/ TMX = 2 9 三角形外角（ext. / of A）（三）由于 TS = 2PX（ “C 曲線”特點(diǎn)），PX = TM = MS

27、 = MX，得/ MPX= /XMP=2 9。（四） 由于/ QPS=Z PSX= 9 內(nèi)錯(cuò)角，（alt. /s, QP/ SX），因此，/ QPS=1/3 / QPX。難求的完美正方形20世紀(jì)30年代，在英國劍橋大學(xué)的一間學(xué)生宿舍里，聚集了4名學(xué)生，他們叫塔特、斯東、史密斯、布魯克斯。他們在研究一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一一完美正方 形。什么是完美正方形呢？如果一個(gè)大的正方形是由若干個(gè)大大小小的不同的正 方形構(gòu)成，這個(gè)大正方形叫做完美正方形。許多人認(rèn)為，這樣的正方形是根本不存在的。 假如有，為什么沒有人把它畫出來 呢？但是聚集在這里的四名大學(xué)生，敢于迎接挑戰(zhàn)，相信完美正方形是存在的。3年之后，4個(gè)人

28、再一次聚在一起，每個(gè)人都有了成績。布魯克斯發(fā)現(xiàn)了一種完 美正方形，史密斯和斯東發(fā)現(xiàn)了另一種，而塔特找到了進(jìn)一步研究的途徑。又過了幾年，他們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)由39個(gè)大小不等的正方形組成的完美正方形。這 個(gè)完美正方形不是碰運(yùn)氣找到的而是在理論指導(dǎo)下完成的。這個(gè)完美的正方形的 每邊長為4639個(gè)單位長，39個(gè)小正方形的邊長依次為：1564, 1098, 1033, 944, 1163, 65, 491, 737, 242, 249, 7, 235, 256, 259, 478, 324, 296, 219, 620, 697, 1231, 1030, 201, 829, 440, 992, 283, 15

29、7, 126, 31, 341, 519, 409, 163, 118, 140, 852, 712, 2378個(gè)單位長。四位當(dāng)年的大學(xué)生通過完美正方形的研究， 都成了組合數(shù)學(xué)和圖論專家。他們的 研究成果被應(yīng)用到物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)技術(shù)、運(yùn)籌學(xué)、語言學(xué)、建筑學(xué)等諸多領(lǐng) 域。數(shù)學(xué)家又提出一個(gè)新的問題：存不存在由最少數(shù)目的正方形組成的完美正方形 呢？ 1978年，借助于電子計(jì)算機(jī)的幫助，終于找到這個(gè)由最少數(shù)目的正方形組成的完美正方形，它的邊長為112個(gè)單位長，由21個(gè)小正方形組成（如圖11-13）。 這些小正方形的邊長依次為：2,4,6,7,8,9，11, 15，16，17，18，19, 24,塔特

30、教授曾于1980年來我國講學(xué)，他是世界上最著名的圖論學(xué)專家。他滿懷深 情地向人們講述了研究了 40年的完美正方形的故事。吳文俊和機(jī)器證明吳文俊是我國當(dāng)代的著名數(shù)學(xué)家，中國科學(xué)院院士。他研究的幾何定理的機(jī)器證 明旨在尋求一般性的方法，它不僅適用于個(gè)別的定理，而且適用于整個(gè)某一類型 的定理，甚至可以說是某一種幾何的所有定理。 只要依照他所述的方法機(jī)械地進(jìn) 行，在有限步之后，就可對整個(gè)一類定理得到統(tǒng)一的證真和證偽，而無分難易。要做到這一點(diǎn)，必須通過以數(shù)量關(guān)系為主的代數(shù)方法，而幾何的代數(shù)化乃是關(guān)鍵 性的一步。吳文俊不僅論述了初等幾何機(jī)械化的原理與方法，還研究了這些理論與方法在計(jì) 算機(jī)上的具體實(shí)施，其中

31、包括程序的編制，計(jì)算量的估計(jì)，具體定理的證明，新 定理的發(fā)明以及幾何的理論和方法對計(jì)算機(jī)使用效率的改進(jìn)與各種應(yīng)用等等。后來，他還致力于研究微分幾何的機(jī)械化問題以及各種有關(guān)的理論問題。吳文俊關(guān)于機(jī)器證明的成果已引起國內(nèi)外邏輯學(xué)家和人工智能學(xué)者的高度重視。此外，他還致力于中國古代數(shù)學(xué)史的研究。1983年，吳文俊當(dāng)選為中國數(shù)學(xué)會(huì)理事長，這是繼華羅庚之后的第二任理事長。數(shù)學(xué)中的推理、邏輯與證明數(shù)學(xué)中的推理方法有歸納推理和演繹推理。 我們看到這兩種方法都有用處，但是 各有缺點(diǎn)，歸納推理能用以發(fā)現(xiàn)新的東西，但如果所考慮的事例并不具有代表性， 或者被誤解了，那么就可能推得錯(cuò)誤的結(jié)論。演繹推理能用以產(chǎn)生正確的

32、結(jié)論， 但必須從正確的假定出發(fā)。 在數(shù)學(xué)中經(jīng)常一起使用這兩種方法： 用歸納法去導(dǎo)出 可接受的假設(shè)，用演繹法從假設(shè)去推導(dǎo)正確的結(jié)論。人類最初的數(shù)學(xué)知識(shí)是由歸納法得到的。 遠(yuǎn)古的埃及人和巴比倫人， 通過觀察和 實(shí)驗(yàn)獲得了許多數(shù)學(xué)知識(shí)， 并把這些數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于他們的日常生活之中。 古希 臘人對哲學(xué)和邏輯很有興趣，十分強(qiáng)調(diào)推理。他們接受了一些基本的數(shù)學(xué)假設(shè)， 然后從這些假設(shè)出發(fā)，用演繹法證明了大部分我們今天知道的幾何定理。所以， 演繹證明是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要部分。從古希臘的時(shí)代起， 演繹法就成為數(shù)學(xué)中最重要的一種推理方法。 但是，數(shù)學(xué)家 們像其他科學(xué)家一樣，仍然通過預(yù)感、想象、類比、推測、實(shí)驗(yàn)等各種方法繼

33、續(xù) 發(fā)現(xiàn)新的思想， 然后他們?yōu)榱蓑?yàn)證新的思想確實(shí)成立， 苦心作成嚴(yán)格的證明。 這 種嚴(yán)格的形式證明完全不同于想象。 他們應(yīng)用假設(shè)、 定義和先前已證明過的命題 去證明新的命題。他們決不說： “如此這般是正確的” ，而是說，“如果 A 成立， 那么B成立”他們了解，結(jié)論B依賴于作為出發(fā)點(diǎn)的假設(shè) A，而且可能只在數(shù) 學(xué)的世界里是成立的， 在物理世界里可能沒有明顯的應(yīng)用或解釋。 例如兩個(gè)波蘭 數(shù)學(xué)家，斯蒂凡巴拿赫與艾爾弗雷德塔斯基，從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)用一種邏輯證明了： 一粒豌豆大小的固體球能夠分割成有限多數(shù)目的薄片， 然后裝配成太陽大小的一 個(gè)球！難怪?jǐn)?shù)學(xué)被認(rèn)為是一門不尋常的科學(xué)。泰勒斯：幾何證明的初試 古埃

34、及人與巴比倫人，通過長期（約三千年）的生活實(shí)踐，累積了大量直觀的、 經(jīng)驗(yàn)的、實(shí)驗(yàn)的幾何知識(shí)一一可能對也可能錯(cuò)。然后傳到了古希臘（泰勒斯、畢 達(dá)哥拉斯、德謨克里特，這些希臘先哲都曾到過埃及與巴比倫旅行、游學(xué)， 帶回了許多幾何知識(shí)） ，加上希臘人自己所創(chuàng)造的幾何遺產(chǎn)，經(jīng)過一群愛智、求 完美、講究論證、追根究底、為真理奮斗的哲學(xué)家們之增益與整理，開始發(fā)酵而 產(chǎn)生質(zhì)變。在古希臘文明的早期， 希臘人編造許多神話來解釋各種現(xiàn)象。 但是當(dāng)他們面對幾 何時(shí)，毅然決定給經(jīng)驗(yàn)注入論證與證明，迫使神話與獨(dú)斷讓位給理性（ myth and dogma gave way to reason），這是數(shù)學(xué)史也是文明史上了不

35、起的創(chuàng)舉，最重大的 轉(zhuǎn)折點(diǎn)。古希臘人花了約三百年的時(shí)間 （從公元前 600300年），才將經(jīng)驗(yàn)式的幾何精煉 成演繹式的幾何。首先由泰勒斯（Thales,約公元前624547年，被尊稱為演 繹式幾何之父）發(fā)端，他試圖將幾何結(jié)果排成邏輯鏈條（logical chain）:排在前 面的可以推導(dǎo)出排在后面的，因而有了“證明”的念頭。根據(jù)亞里士多德的學(xué)生歐德孟斯（Eudemus,公元前330年左右）的說法，泰勒 斯曾游學(xué)埃及， 他是第一位將埃及的幾何知識(shí)引進(jìn)希臘的人。 泰勒斯自己也發(fā)現(xiàn) 了許多命題，并且勤教后進(jìn)，展示其背后的原理。他有時(shí)采用一般方法，有時(shí)則 采取較經(jīng)驗(yàn)的手法來論證。古埃及人、 巴比倫人面

36、對的是個(gè)別的、 具體的這個(gè)或那個(gè)幾何圖形。 泰勒斯開始 加以抽象化與概念化， 研究圖形本身并且給出普遍敘述的幾何命題。 這是幾何要 成為演繹系統(tǒng)的必要準(zhǔn)備工作。舉例說明：在日常生活中， 我們看見車輪子是圓的、 中秋節(jié)的月亮也是圓的 于是逐漸有了 “圓形”的概念（concept）?！皥A形”絕不會(huì)跟“方形”混淆。最 后抽象出“圓”的理念（idea）:在平面上，跟一定點(diǎn)等距離的所有點(diǎn)，所成的 圖形叫做圓； 定點(diǎn)叫做圓心， 定距離叫做半徑， 通過圓心且兩端在圓上的線段叫做直徑。另一方面，我們觀察到車輪子由直徑裂成相等的兩半，化成“理念”得 到：直徑將圓等分成兩半。這是一個(gè)普遍的幾何命題，生存在柏拉圖的

37、“理念與 形的世界”(the world of ideas and forms)。古埃及人與巴比倫人只見到這個(gè)或那 個(gè)具體的圓形，而希臘人思考的是抽象理念的“圓形”本身。 一般而言，數(shù)學(xué)史家公認(rèn)下面六個(gè)幾何命題應(yīng)歸功于泰勒斯： 命題一兩直線相交，則對頂角相等。命題二一個(gè)圓被其直徑等分成兩半。 命題三等腰三角形的兩個(gè)底角相等。命題四半圓的內(nèi)接角為一個(gè)直角。 命題五兩個(gè)三角形若有兩個(gè)角及其夾邊對應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等。命題六兩個(gè)三角形若三個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等，則其對應(yīng)邊成比例。這些命題都相當(dāng)“直觀而顯明”。據(jù)猜測，古埃及人與巴比倫人可能也都知道這 些結(jié)果，不過是以孤立的經(jīng)驗(yàn)幾何知識(shí)來存在。為何需要證明

38、？最主要的理由是經(jīng)驗(yàn)知識(shí)可能錯(cuò)誤，即“眼見不完全足憑” 。例 如，關(guān)于半徑為r的圓面積，泰勒斯從巴比倫人得到的是 3r2，又從埃及人學(xué)到 (82/9) 2r2的答案，兩者不同，因此至少必有一個(gè)是錯(cuò)誤的。又如，在萊因紙草算經(jīng)中說，四邊為a, b，c，d之四邊形，其面積為1/4 (a+ c) (b+ d)， 這只有在長方形的情形才成立。人類常會(huì)“看走了眼”，明明眼見“地靜”與“地 平”，怎么又有“地動(dòng)”與“地圓”的爭論呢？對于同一個(gè)歷史事件或物理事實(shí)， 立場不同的人可以“英雄所見完全不同”?！傍B瞰的世界”與“人看的世界”當(dāng)然 不同。人是詮釋者，也是權(quán)衡者。證明就是要以理說服自己，然后再說服他人。

39、因此，感官經(jīng)驗(yàn)雖是知識(shí)的根源，但是若要得到正確的知識(shí)，必須再經(jīng)過論證與 證明，才能分辨對錯(cuò)。這是泰勒斯深切體會(huì)到的。因此，亞里士多德說： 對于泰勒斯而言，他的主要問題并不在于“我們知道什么”，而是在于“我們是 怎么知道的”。進(jìn)一步，泰勒斯要問：“為何”知道？這里涉及到知識(shí)論的兩個(gè)基本問題：(I)如何看出或發(fā)現(xiàn)猜測？(U)如何證明或否證一個(gè)猜測？有了猜測才談得上證明，否則證明什么呢？能夠通過證明的猜測，才成為定理。 對于命題一到六，泰勒斯如何給予“證明”呢？根據(jù)數(shù)學(xué)史家的看法，當(dāng)時(shí)的“證 明”包括兩種：直觀的示明與演繹的示明。前者如蘇格拉底教男童倍平方問題就 是一個(gè)例子。我們不要忘了，泰勒斯是為

40、演繹數(shù)學(xué)立下“哥倫布的蛋”的第一人， 因此瑕疵在所難免。命題一之證明：圖 11 -15圖11 -16圖 H -17如圖11-15所示，/ 1 + Z 3 =Z 2+Z 3,兩邊同減去/ 3得/仁/2。同理可證/ 3= / 4,證畢。命題二之證明： 沿著直徑將圓折疊起來，兩半恰好重合。這只是實(shí)驗(yàn)與直觀的驗(yàn)證而已。 后來歐幾里得將這個(gè)命題當(dāng)作一個(gè)定義，他說： “一個(gè)圓的直徑是指通過圓心而 止于圓周上的任何線段，并且此線段等分此圓。 ”命題三之證明：如圖11-16所示，沿著中線 AD將三角形折疊起來，兩半恰好重合，因此/ B= / C。證畢。這個(gè)命題又叫做驢橋定理，意指“笨蛋的難關(guān)” ，對初學(xué)者已構(gòu)

41、成困難。 命題四之證明：如圖11-17所示，連結(jié)A點(diǎn)與圓心0,則厶AOB與厶AOC都是等腰三角形。由 命題三知/仁/ B，Z 2=Z C,又因?yàn)槿切蔚娜齼?nèi)角和為一平角，所以/ 1 + Z 2= / A= 一直角，證畢。泰勒斯非常喜愛這個(gè)定理，據(jù)說他是觀察到長方形的對角線互相平分而得到的。 他為此而特別宰了頭牛慶祝一番。 因此這個(gè)定理又叫做泰勒斯定理， 再推廣就是 圓周角定理。命題五之證明： 利用移形的方法，可以使兩三角形完全疊合在一起，所以它們是全等的，證畢。命題六之證明： 見前節(jié)的“相似三角形基本定理” ?？偨Y(jié)上述之證明， 所用到的基本原理計(jì)有： 等量代換法、等量減法、移形疊合法、 標(biāo)尺作

42、中線、兩點(diǎn)決定一直線與三角形三內(nèi)角和為一平角等等。 關(guān)于泰勒斯將幾何定理排成邏輯鏈條一事，歷史上并沒有實(shí)例。堅(jiān)持真理的羅素柏特蘭羅素（Bertrand Russell, 18721970年）是著名數(shù)理邏輯家，也是一位 哲學(xué)家， 他從 23 歲開始寫作， 不斷工作 75 年，共寫出一百多本書及上千篇的論 文。他在 1950年獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。他是一個(gè)和平主義者，他說： “在我的一生中，從未碰到過像從事和平主義運(yùn)動(dòng) 這樣毫不猶豫地奉獻(xiàn)全部心靈熱誠的工作， 我生平第一次發(fā)現(xiàn)了我把全副的天性 浸沉到工作的韻律中。 ”羅素講話很幽默風(fēng)趣。 他的談話， 略帶一種滑稽的味道。 有一次他對他的議員朋 友講了一

43、句令他大吃一驚的話： “民主政治至少有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，那就是一個(gè)官吏或 議員一定不會(huì)比他的選民更愚笨， 因?yàn)楸M管他們是多么的愚笨， 但是總有比他更 笨的人會(huì)選舉他們的”。第一次世界大戰(zhàn)，德國人失敗時(shí)，羅素就在 1915年預(yù)言：“一般的德國人，將會(huì) 設(shè)法尋求如何為下一次準(zhǔn)備得更好的方法， 而且將會(huì)更忠實(shí)地服從他們軍國主義 領(lǐng)袖的話。”他的預(yù)言“第一次世界大戰(zhàn)導(dǎo)致了獨(dú)裁專政的恐怖和第二次世界大 戰(zhàn)”，后來果然發(fā)生。在 1921 年他來北京大學(xué)講學(xué)，了解中國在鴉片戰(zhàn)爭之后受列強(qiáng)的欺凌，以及日 本的軍國主義的發(fā)展。他回英國演講，談“東方問題”作了兩項(xiàng)預(yù)言：（ 1 ）日本由于人口的壓力，會(huì)實(shí)行擴(kuò)張主義的政策，

44、侵略中國，并且以后會(huì)和 美國發(fā)生正面沖突，進(jìn)而演變成全面大戰(zhàn)，可是最后將會(huì)被美國擊敗。（ 2）中國如果要避免外國的征服，首先必須放棄傳統(tǒng)生活方式，并且普遍地發(fā) 展愛國心及足夠的武力， 可是這事可能會(huì)被發(fā)展得太過分， 因?yàn)橹袊似匠Ｊ抢?靜的，但是也有野蠻奮激的能力， 我們可以想像他們中的一部分也許會(huì)變成狂熱 的布爾什維克主義者。中國人必須以他們自己的力量去尋求解救之道， 而不是靠外國列強(qiáng)的仁慈心， 但 是最值得擔(dān)心的一件事是： 在中國發(fā)憤圖強(qiáng)的過程中， 不但會(huì)發(fā)展足夠的力量維 持獨(dú)立，而且可能過分地強(qiáng)大到開始其帝國主義的生涯。 ” 這些話果然在以后大部分都實(shí)現(xiàn)了。在 1916 年，他 45 歲

45、時(shí)由于反戰(zhàn)的活動(dòng)，被“三一學(xué)院”免除教職，美國哈佛大 學(xué)卻邀請他去講學(xué)， 但英國外交部不給他護(hù)照。 因此他決定留在英國， 以公開演 說為他的職業(yè)，并且準(zhǔn)備好“政治的哲學(xué)原理”的演講?？墒顷戃姴繀s發(fā)禁令： 只能在英國內(nèi)地如曼徹斯特作演說， 不能在“禁區(qū)” 所有英國的沿海城市發(fā) 表演說。理由是：“羅素的言論無疑已經(jīng)妨礙了戰(zhàn)爭的進(jìn)行我們已獲得了可 靠的情報(bào)，證明羅素將要發(fā)表一連串會(huì)嚴(yán)重打擊士氣的演說。 ” 但羅素聽了后說：“我唯一熱誠的希望是，我們的情報(bào)人員，以后對有關(guān)德國人 的情報(bào)不會(huì)像對我個(gè)人的這么不正確。 ”羅素參加了反戰(zhàn)的NCF委員會(huì)，據(jù)后來成為英國社會(huì)主義國會(huì)議員的費(fèi)納布 羅克威回憶這時(shí)期

46、的羅素說： “他是令人愉快的，充滿了好開玩笑的精神，正像 一個(gè)忍不住氣的聰明的淘氣鬼， 在那段時(shí)間， 他的經(jīng)濟(jì)情況相當(dāng)苦， 所以來委員 會(huì)時(shí)常會(huì)遲到，有一次是因?yàn)樗麤]有錢付車費(fèi)但這也許是因?yàn)樗袝r(shí)候?qū)κ?俗的瑣事很健忘的關(guān)系。還有一次，當(dāng)羅素在赴會(huì)途中， 碰到一個(gè)身世可憐的乞丐， 結(jié)果他把口袋里的錢， 全部送給那位乞丐，因此他不得不走路了。 ”有時(shí) NCF 害怕政府會(huì)禁止他們活動(dòng)，而另外組織了一個(gè)地下組織，并且他們有 精密的暗碼系統(tǒng)來控制。 有一次，布羅克威把藏有他們秘密計(jì)劃的公事皮包遺忘 在計(jì)程車上， 而被司機(jī)送到了警察局。 當(dāng)布羅克威把這情況在委員會(huì)上報(bào)告， 羅 素便會(huì)以開玩笑的口語提議：

47、 “我們休會(huì)后，馬上到蘇格蘭場去，以免再麻煩警 察大人來抓我們?！苯Y(jié)果還好，委員會(huì)有一個(gè)成員的哥哥是高級(jí)警官，通過他把 皮包拿回來，沒有被警方打開來看。再有一次， 他們聽說他們的主要辦公室將被警察搜查， 于是他們跑到另外一個(gè)臨 時(shí)場所開會(huì)， 與此同時(shí)， 聽說外面還有六個(gè)值探在尋找他們呢。 這時(shí)羅素很興奮 地說：“他們將會(huì)來找我們，那么讓我們到一位爵士之家接受逮捕吧！ ” 于是他們分乘三輛計(jì)程車到羅素哥哥的家。羅素開心地想到當(dāng)警察要進(jìn)來逮捕 時(shí)，羅素伯爵不知道要說什么而驚慌的樣子？可惜哥哥不在家， 警察也沒有來逮 捕，令他很失望。獲諾貝爾獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家羅素柏特蘭羅素（18721970年）是英國著名數(shù)

48、學(xué)邏輯家。對數(shù)學(xué)的喜好羅素在 5 歲時(shí)，有人告訴他地球是圓的，他拒絕去相信。他跑到花園，拿了一把 鏟開始掘洞，看是否能從他住的地方一直挖到澳大利亞去。有一次保姆告訴他，在他睡覺時(shí)天使會(huì)在旁邊守衛(wèi)他。他不相信地說： “可是我 從來不曾見過她們呀！”保姆說當(dāng)他睜開眼時(shí)， 天使就會(huì)溜走了。 于是小羅素決定閉著眼睛假裝睡覺， 然 后用手去抓，結(jié)果什么也沒抓到，因此他不再相信天使守衛(wèi)他的故事。在他 9 歲時(shí)，女修道院長茜普頓預(yù)言：世界末日在 1881 年會(huì)發(fā)生。就在那一年 的某一天天空黑云密布， 他看到陰沉的天空， 以為世界末日到了， 可是到了年底， 世界還是存在。他從小就有追尋事實(shí)真相的熱忱。他在回憶

49、集 (Portraits form Memory)里寫 道：“我愈是對一件事情感興趣，便愈想了解有關(guān)它的事實(shí)與真相，盡管這些事 實(shí)與真相，可能使我感到不快”他最初學(xué)九九乘法表時(shí)， 并不是太順利， 曾因費(fèi)了很大力氣學(xué)不會(huì)而哭。 他學(xué)代 數(shù)也不是一帆風(fēng)順，可是后來經(jīng)過一些努力，他進(jìn)步得很快。不久他就對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，后來他說： “要不是想多了解數(shù)學(xué)，我早在年輕時(shí)就 自殺了?！庇幸惶焖母绺缯f要教他幾何， 他非常的高興， 因?yàn)樵谶@之前他聽說幾何是用來 證明東西的。他的哥哥富蘭克比他大七歲，教他的是“歐幾里得”幾何，他開始教他定義，小 羅素馬上充分接受，可是當(dāng)哥哥教到“公理”時(shí)，就有問題產(chǎn)生了。他對歐幾

50、里得第一條公理 ( Axiom ) ：“二物同時(shí)等于第三物， 則此二物彼此相等。 ” 寫成符號(hào)是：如果 A、B都有A=C , B=C，貝U A=B。哥哥說：“這些公理是無法證明的，但是你要證明其他問題以前，這些公理必須 被假定是真的。”在后來他寫的自述為什么我選擇了哲學(xué)？ 里，他回憶起這時(shí)的學(xué)習(xí)障礙： “經(jīng) 他這么一說， 我的希望整個(gè)粉碎了。 我曾經(jīng)想去發(fā)現(xiàn)一些能夠證明的東西， 那是 很美妙的一件事， 但是現(xiàn)在卻必須先藉著那些證明的假定才能做進(jìn)一步的證明。 ” “我滿肚子不高興地看著哥哥說： 既然它們是無法證明，但是為什么我必須承 認(rèn)這些東西呢？他回答說： 好吧！要是你不接受的話，我們就無法再

51、繼續(xù)學(xué) 下去?！薄拔蚁?，那其他一些東西是很值得一學(xué)的，因此我同意暫時(shí)承認(rèn)這些公理為真， 雖然我仍然充滿了懷疑與困惑， 我仍一直希望在這個(gè)公理的領(lǐng)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)不可爭論 的明白的證明。”“但我對數(shù)學(xué)仍然發(fā)生了很大的興趣， 事實(shí)上比任何其他的研究更能給我一種如 魚得水的感覺。 我很喜歡考慮如何把數(shù)學(xué)應(yīng)用到物質(zhì)世界上去， 同時(shí)我也希望將 來有一天會(huì)產(chǎn)生像機(jī)械的數(shù)學(xué)一樣精確的有關(guān)于人類行為的數(shù)學(xué)。 我有這種希望 是因?yàn)槲蚁矚g論證， 而大半時(shí)間這種動(dòng)機(jī)甚至勝過我對自由意志的信仰欲望， 雖 然后者我也時(shí)常感到它的力量， 但是無論如何我從未完全征服我對數(shù)學(xué)正確性的 基本懷疑?！笨墒?，當(dāng)他學(xué)習(xí)更深的數(shù)學(xué)時(shí)， 他面對

52、一些新的困難， 他的老師告訴他一些他覺 得是錯(cuò)誤的證明， 這些證明后來果然被承認(rèn)是錯(cuò)誤的， 當(dāng)時(shí)他并不曉得， 后來在 離開劍橋到德國，才知道德國的數(shù)學(xué)家已經(jīng)找到更好的證明方法。到了德國， 他的眼界大開， 他才發(fā)現(xiàn)過去困擾他的那些難題， 實(shí)在是微不足道的 小事，而且都不是重要的東西。他說：“因?yàn)閯虼髮W(xué)的考試所要求的都是一些解題的技巧， 整天死啃這東西后， 我開始對數(shù)學(xué)產(chǎn)生極大的反感， 這點(diǎn)鼓舞我向哲學(xué)方面去發(fā)展。 為了設(shè)法獲得考 試的技巧，使我想到數(shù)學(xué)不過是包括了那些玩弄技巧的魔術(shù)里的雕蟲小技罷了， 它和猜字游戲那一類玩意兒太相像了。 因此，當(dāng)我通過了劍橋三年級(jí)最后一次數(shù) 學(xué)考試后，我發(fā)誓我再

53、也不看數(shù)學(xué)，并且把所有的數(shù)學(xué)書都賣光了。 ” “在這種心情之下，閱讀哲學(xué)書籍，我仿佛感覺到由山谷的小天地中解脫出來， 看到了多姿多彩的新世界。 ”他到德國念黑格爾及康德的哲學(xué)， 可是在讀康德的作品后覺得他在數(shù)學(xué)哲學(xué)方面 的立論不僅是無知而且愚昧，他轉(zhuǎn)而去讀魏爾斯特拉斯(WeierstrasS、戴德金(Dedekind)及喬治康托(George Canto、的理論。 康托是“集合論”的創(chuàng)造者。羅素最初看他的無窮大數(shù)目時(shí)，覺得很難懂， 有很長的時(shí)間沒法子了解， 因此他決定把他的書逐字逐句地抄在筆記本上， 這樣 慢慢咀嚼思考，可以逐步理解。當(dāng)他開始讀時(shí)， 他覺得康托的理論是謬論， 簡直是荒唐不經(jīng)，

54、可是等到把整本書 抄完，才發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的是他而不是康托。事實(shí)上康托的無窮數(shù)的理論是近世數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的理論， 可惜他提出時(shí)曲高和 寡，許多有名的數(shù)學(xué)家看不起他的工作， 使得他受到刺激和人論戰(zhàn)， 最后病死于 精神療養(yǎng)院。羅素在 23 歲時(shí)畢業(yè)于劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)系優(yōu)等及格第七名，他的研究論文是幾何 學(xué)的基礎(chǔ)，然后他成為英國駐巴黎大使館隨員。 第二年他到德國柏林大學(xué)研究， 在24歲時(shí)被選為劍橋大學(xué)三一學(xué)院(Trinity College、的研究員。 與懷特海德老師的合作懷特海德(Alfred North Whitehead, 18611947年)是英國著名的數(shù)學(xué)和數(shù)理邏 輯學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家。他在 1885年

55、從三一學(xué)院畢業(yè)，就留在原校任教應(yīng)用數(shù)學(xué) 和力學(xué)， 1905年在該院獲得博士學(xué)位，是羅素的老師。1890 年，羅素是劍橋大學(xué)一年級(jí)新生時(shí)，去上懷特海德的靜力學(xué)。講完課后， 教授指定全班念教科書上的第 35 篇，然后他轉(zhuǎn)過頭對羅素說：“你不必讀它， 因 為你已經(jīng)了解了。 ”因?yàn)樵谑畟€(gè)月前羅素在入學(xué)資格考試中引用過它， 懷特海德看過他的考卷， 對他 的印象很深刻， 并且告訴所有劍橋大學(xué)最優(yōu)秀的學(xué)生， 要注意羅素。 因此羅素在 到校一星期就認(rèn)識(shí)了當(dāng)時(shí)劍橋大學(xué)的精英。羅素由學(xué)生漸漸地轉(zhuǎn)變?yōu)楠?dú)立作家過程中， 得益于懷特海德的指導(dǎo)很多。 在懷特 海德 1947 年去世后，羅素寫了一篇懷念懷特海德的文章，在文

56、章結(jié)尾時(shí)他 說：“作為一個(gè)老師，懷特海德可以說是十分完美，他能把個(gè)人的興趣整個(gè)地貫 注于受教者身上， 他同時(shí)了解學(xué)生們的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)， 他能夠把學(xué)生最好的才智引 發(fā)出來，他從未犯過一些低劣的教師所常有的毛病像對學(xué)生強(qiáng)制、 譏諷及自命不 凡等，我深信所有與他接觸受他薰陶與鼓舞的優(yōu)秀年輕學(xué)子們將會(huì)像我一樣對他 發(fā)生一種誠摯而永恒的感情。 ”他在 1920年去美國旅行演講， 有機(jī)會(huì)深入觀察美國社會(huì)， 在1922年他預(yù)言：“美 國將會(huì)開始其帝國主義的生涯不是領(lǐng)土方面的侵略，而是經(jīng)濟(jì)上的征服。 ” 他對美國聽眾說： “美國不是被華盛頓政府所控制，控制你們的是油田和摩根 (Morgan， 18371913年，是當(dāng)年的財(cái)政家、，美國是遍布全球的金融帝國，要 是由眼光狹窄和殘忍無情的人所控制的話，人類將面對一個(gè)可怕的惡魔。 ” 在 1928年出版的懷疑論集中，他寫道： “世界可能會(huì)有一段長的時(shí)間，在美 國和蘇聯(lián)之間形成兩大對立的集團(tuán)。 前者將控制西歐及美國本土， 而后者將控制 整個(gè)亞洲?！?這些話后來都被證明是正確的。中外的數(shù)學(xué)家沒有幾個(gè)能像他這樣能獨(dú)具慧眼，對于事物的發(fā)展預(yù)測的這么準(zhǔn)確。1950 年，羅素獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。盡管這位諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)的得主即是作為一個(gè) 數(shù)學(xué)家