高職類極限的四則運(yùn)算2

1、 極限的四則運(yùn)算極限的四則運(yùn)算復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): :1數(shù)列和函數(shù)的極限以及求法數(shù)列和函數(shù)的極限以及求法 na（1） 是無(wú)窮數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列n（2） 無(wú)限增大時(shí)，什么是無(wú)限趨近于無(wú)限增大時(shí)，什么是無(wú)限趨近于 ？a就說(shuō)就說(shuō)當(dāng)當(dāng)x 趨向于正無(wú)窮大時(shí)，趨向于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)函數(shù) 的極限是的極限是a ，記作，記作axfx)(lim)(xf一般地，當(dāng)自變量一般地，當(dāng)自變量x 取正值并且無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù)取正值并且無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù))(xf無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù) a ，也可記作也可記作:當(dāng)當(dāng)axfx)(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)也可記作也可記作:axfx)(時(shí)，時(shí)，就說(shuō)就說(shuō)當(dāng)當(dāng)x 趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮大

2、時(shí)，函數(shù)函數(shù) 的極限是的極限是a ，記作，記作axfx )(lim當(dāng)自變量當(dāng)自變量x 取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù)取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù))(xf無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a ， )(xf2.函數(shù)的極限函數(shù)的極限axfx)(lim)x(flimx )x(flimx 如果如果 =a,且且 =a, 那么就說(shuō)當(dāng)那么就說(shuō)當(dāng) x 趨向于趨向于無(wú)窮大時(shí)無(wú)窮大時(shí),f(x)的極限是的極限是a,記作記作 也可記作也可記作:當(dāng)當(dāng)axfx)(時(shí)，CCxlim特別地：特別地： （C C為常數(shù)）為常數(shù)） 3.3.函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與左、右極限函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與左、右極限1當(dāng)自變量當(dāng)自變量

3、x無(wú)限趨近于常數(shù)無(wú)限趨近于常數(shù)x0（但（但x不等于不等于x0）時(shí)，）時(shí)，如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a，就說(shuō)當(dāng)，就說(shuō)當(dāng)x趨近于趨近于x0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是的極限是a，記作，記作 或當(dāng)或當(dāng)xx0時(shí)時(shí)f(x)a。axfxx)(lim02當(dāng)當(dāng)x從點(diǎn)從點(diǎn)x0左側(cè)（即左側(cè)（即xx0）無(wú)限趨近于）無(wú)限趨近于x0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a，就說(shuō)，就說(shuō)a是函數(shù)是函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的處的左極限左極限，記作，記作 。axfxx)(lim03如果當(dāng)如果當(dāng)x從點(diǎn)從點(diǎn)x0右側(cè)（即右側(cè)（即xx0）無(wú)限趨近于）無(wú)限趨近于x0時(shí)，時(shí)，函

4、數(shù)函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)無(wú)限趨近于常數(shù)a，就說(shuō)，就說(shuō)a是函數(shù)是函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處的的右極限右極限，記作，記作 。axfxx)(lim04常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)f(x)=c在點(diǎn)在點(diǎn)x=x0處的極限有處的極限有 . Cxfxx)(lim0000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xaf xf xa4求下列極限求下列極限（3） （4）（1） （2）xx1limxx21lim1)12(lim21 xxxx2lim11 2 3 21 xxx212lim21 5如何求如何求1.11.011.00110.9990.990.9xxx2122 考察下表考察下表1.455561.49505

5、1.49951.51.500501.505051.5545523 觀察該極限與上題極限之間存在關(guān)系嗎觀察該極限與上題極限之間存在關(guān)系嗎?xxxxxxx21limlim212lim1121 xxxxxxx2lim)12(lim212lim12121 問(wèn)題1：函數(shù)， 你能否直接看出函數(shù)值的變化趨勢(shì)？，xxxxxf時(shí)當(dāng)1,12)(22問(wèn)題2：如果不能看出函數(shù)值的變化趨勢(shì)，那么怎樣才能把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知能求的函數(shù)極限？轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法與依據(jù)是什么？ 函數(shù)極限運(yùn)算法則函數(shù)極限運(yùn)算法則baxgxfxgxfbaxgxfxgxfxxxxxxxxxxxx)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(

6、lim000000bxgxx)(lim0axfxx)(lim0如果如果，那么那么).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx時(shí)”“0 xx新課新課也就是說(shuō)也就是說(shuō)：如果兩個(gè)函數(shù)都有極限，那么由這兩個(gè)如果兩個(gè)函數(shù)都有極限，那么由這兩個(gè)函數(shù)的各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和、差、積、商組成函數(shù)的各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和、差、積、商組成的函數(shù)的極限，分別等于這兩個(gè)函數(shù)的的函數(shù)的極限，分別等于這兩個(gè)函數(shù)的極限的和、差、積、商（各項(xiàng)作為除數(shù)極限的和、差、積、商（各項(xiàng)作為除數(shù)的函數(shù)的極限不能為的函數(shù)的極限不能為0）。）。使用極限四則運(yùn)算法則的前提使用極限四則運(yùn)算法則的前提是各部分極限必須存在！是各部

7、分極限必須存在！由由 可得到：可得到：)(lim)(lim00 xfCxCfxxxx)()(lim)(lim*00Nnxfxfnxxnxx使用極限運(yùn)算法則的前提是使用極限運(yùn)算法則的前提是各部分極限存在！各部分極限存在！（C為常數(shù)）為常數(shù)）)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx由上面的運(yùn)算法則可知：由上面的運(yùn)算法則可知：;lim,)lim(lim00000nnxxnnxxnxxxxxxx即)(*Nn請(qǐng)記清函數(shù)極限的運(yùn)算法則請(qǐng)記清函數(shù)極限的運(yùn)算法則 利用函數(shù)極限的運(yùn)算法則利用函數(shù)極限的運(yùn)算法則,可可以根據(jù)已知的幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的極以根據(jù)已知的幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的極限，求出較復(fù)

8、雜的函數(shù)的極限。限，求出較復(fù)雜的函數(shù)的極限。01lim00)1lim(1lim1limnxnnxnxnxxxxx即下面舉例說(shuō)明如何求函數(shù)的極限下面舉例說(shuō)明如何求函數(shù)的極限例例1.求求).3(lim22xxx解解:)3(lim22xxxxxxx3limlim222)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxxnnxxxx00lim)(lim)(lim00 xfCxCfxxxxxxxx222lim3)(lim102322.1212lim.22321xxxxx求例1212lim2321xxxxx解：解：) 12(lim) 12(lim23121xxxxxx1lim2limli

9、m1limlim2lim121311121xxxxxxxxxx211211112232).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx 通過(guò)例通過(guò)例1、例、例2我們可以發(fā)現(xiàn)：我們可以發(fā)現(xiàn)：函數(shù)函數(shù)f（x）在在 處有定義處有定義; 求這類函數(shù)在某一點(diǎn)求這類函數(shù)在某一點(diǎn)x=x0處的極限值時(shí)，只要把處的極限值時(shí)，只要把x=x0 代入函數(shù)解析代入函數(shù)解析式中，就得到極限值。如：式中，就得到極限值。如：0 xx 總結(jié)提高總結(jié)提高：)3(lim22xxx.1212lim2321xxxxx(1)(2)3(lim22xxxxxxx3limlim222102322(1)(2)1

10、212lim2321xxxxx) 12(lim) 12(lim23121xxxxxx211211112232分析：當(dāng)分析：當(dāng) 分母的極限是分母的極限是0，不能直，不能直接運(yùn)用上面的極限運(yùn)算法則。因?yàn)楫?dāng)接運(yùn)用上面的極限運(yùn)算法則。因?yàn)楫?dāng) 時(shí)函數(shù)的極限只與時(shí)函數(shù)的極限只與x無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于4的函數(shù)值有的函數(shù)值有關(guān)，與關(guān)，與x=4時(shí)的函數(shù)值無(wú)關(guān)，因此可以先將時(shí)的函數(shù)值無(wú)關(guān)，因此可以先將分子、分母約去公因式分子、分母約去公因式x-4以后再求函數(shù)的以后再求函數(shù)的極限。極限。4x4x.416lim24xxx例3 求觀察圖象觀察圖象例3 求.416lim24xxx416lim24xxx)4()4)(4(l

11、im4xxxx4limlim)4(lim444xxxxx844解：解：).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx例例4 求求 .121lim221xxxx解：解：) 12)(1() 1)(1(lim1xxxxx.121lim221xxxx121lim1xxx321211)12(lim)1(lim11xxxx).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx觀察圖象觀察圖象總結(jié)與提高：總結(jié)與提高： 通過(guò)例通過(guò)例3、例、例4同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)：同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)：函數(shù)函數(shù)f（x）在）在 處無(wú)定義處無(wú)定義求這類函數(shù)在某一點(diǎn)求這類函數(shù)在某一點(diǎn)

12、x=x0處的極限值時(shí)，處的極限值時(shí)，必須通過(guò)代數(shù)變形轉(zhuǎn)化為第一種類型。必須通過(guò)代數(shù)變形轉(zhuǎn)化為第一種類型。0 xx .416lim24xxx如：求如：求)4()4)(4(lim4xxxx4limlim)4(lim444xxxxx.416lim24xxx.121lim221xxxx例例3 求求例例426lim)4(22xxxx練習(xí)：練習(xí)： 求下列函數(shù)的極限求下列函數(shù)的極限1214lim) 1 (22xxxx265lim) 3(222xxxxx)2)(3()2)(1(lim)2(22xxxxx1214lim)1 (22xxxx531214lim22xxxx12212422解：解：)2)(3()2)(1(lim)2(22xxxxx解：解：)2)(3()2)(1(lim22xxxxx) 2)(3(lim) 2)(1(lim222xxxxxx) 1(lim)3(lim)2(lim) 1(lim22222xxxxxxxx3264) 22)(32() 22)(12(2（3）265lim222xxxxx) 1)(2()3)(2(lim2xxxxx13lim2xxx311232（4）26lim22xxxx2)2)(3(lim2xxxx5)3(lim2xx例例5 已知已知., 221lim221的值求實(shí)數(shù)axxaxx221lim221xx