第六章 二次型習(xí)題課

1、212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x12,nx xx222223232222nna xa x xax x2333332nna xax x2nnnax一、元二次型一、元二次型的二次齊次多項(xiàng)式的二次齊次多項(xiàng)式含有個(gè)變量含有個(gè)變量稱為稱為二次型二次型21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 或記為或記為當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為實(shí)數(shù)時(shí)，稱為實(shí)二次型；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為實(shí)數(shù)時(shí)，稱為實(shí)二次型；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為復(fù)數(shù)時(shí)，稱為復(fù)二次型當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為復(fù)數(shù)時(shí)，稱為復(fù)二次型只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型22212111222(,)nnnnf x xxa xa xa

2、x稱為二次型的稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形特別地，稱特別地，稱22221211(,)()nppp qf x xxxxxxpqn為二次型的為二次型的規(guī)范形規(guī)范形1111112122212nnnnnaaaaaaAaaa 則則二次型二次型TfX AX 其中矩陣其中矩陣為為對稱矩陣對稱矩陣. .令令12nxxXx 1111112122212nnnnnaaaaaaAaaa 則則二次型二次型TfX AX 其中矩陣其中矩陣為為對稱矩陣對稱矩陣. .令令12nxxXx 任一任一二次型二次型對稱對稱矩陣矩陣! 任一任一對稱矩陣對稱矩陣二次型二次型! 一一對應(yīng)一一對應(yīng)稱為稱為對稱對稱矩陣矩陣的的二次型二次型；稱為稱為

3、二次型二次型的的矩陣矩陣；對稱矩陣對稱矩陣的秩稱為的秩稱為二次型二次型的秩的秩11111221221122221122,nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc ycyxcycycy 設(shè)設(shè) ,ijCc Cyx 對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形記記記作記作 Tfx Ax 將其代入將其代入AxxfT . yACCyTT CyACyT 有有若若|C| 0|C| 0，則稱為非退化線性變換，則稱為非退化線性變換注注二次型經(jīng)過非退化線性變換仍為二次型二次型經(jīng)過非退化線性變換仍為二次型設(shè)設(shè)

4、, ,為階方陣，若存在階可逆陣為階方陣，若存在階可逆陣，使得，使得,TP APB 則稱則稱合同于合同于, ,記為記為.AB反身性反身性對稱性對稱性傳遞性傳遞性合同矩陣具有相同的秩合同矩陣具有相同的秩. .與對稱矩陣合同的矩陣也是對稱矩陣與對稱矩陣合同的矩陣也是對稱矩陣. . 等價(jià)等價(jià)說明說明2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使變變成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形經(jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換要要使使二二次次型型, 2 Cyxf. ,),(212121 yyykkkyyynnn.成成為為對對角角矩矩陣陣也也就就是是要要使使ACCT; ,1 ACCBAfCyx. T 變變?yōu)闉榈牡木鼐仃囮囉捎傻?/p>

5、其秩秩不不變變后后二二次次型型經(jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換一、配方法（拉格朗日配方法）一、配方法（拉格朗日配方法）化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法：二、正交變換法二、正交變換法 化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形使使正正交交變變換換總總有有任任給給二二次次型型定定理理fPyxaaxxafjiijnjijiij, 21, ,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩陣陣是是其其中中ijnaAf 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟;,. 1AAxxfT求求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形形式式 ;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求

6、出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 記記得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形則則得得作作正正交交變變換換 .,0 ,0 , )(11122222112222211相相等等中中正正數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)中中正正數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)與與則則及及使使及及有有兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)的的可可逆逆變變換換為為它它的的秩秩設(shè)設(shè)有有實(shí)實(shí)二二次次型型慣慣性性定定理理定定理理 rrirrirrTkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 定義定義 在實(shí)二次型在實(shí)二次型 的標(biāo)準(zhǔn)形中：的標(biāo)準(zhǔn)

7、形中： ),(21nxxxf注：由于注：由于實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣與與實(shí)二次型實(shí)二次型之間的一一對應(yīng)，可以類似地之間的一一對應(yīng)，可以類似地 定義實(shí)對稱矩陣的定義實(shí)對稱矩陣的正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)負(fù)慣性指數(shù)與與符號差符號差。正平方項(xiàng)正平方項(xiàng) 的項(xiàng)數(shù)的項(xiàng)數(shù) p 稱為稱為 的的正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)； ),(21nxxxf負(fù)平方項(xiàng)負(fù)平方項(xiàng) 的項(xiàng)數(shù)的項(xiàng)數(shù) q 稱為稱為 的的負(fù)慣性指數(shù)負(fù)慣性指數(shù)。 ( q = r - p ，其中，其中 r 是二次型是二次型 的秩。的秩。) ),(21nxxxf ),(21nxxxf 它們的差：它們的差： p - q = p - ( r-p ) = 2 p - r

8、稱為稱為 的的 符號差。符號差。 ),(21nxxxf二、實(shí)二次型的規(guī)范形二、實(shí)二次型的規(guī)范形設(shè)設(shè) 是一個(gè)實(shí)系數(shù)二次型，經(jīng)過適當(dāng)是一個(gè)實(shí)系數(shù)二次型，經(jīng)過適當(dāng)?shù)牡姆峭嘶€性變換非退化線性變換（包括改變（包括改變 變量排列次序），變量排列次序），總可使總可使 變成如下的變成如下的 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形： ),(21nxxxf ),(21nxxxf)6 . 3 . 6(22112211rrppppydydydyd式中式中 ( i = 1, 2 , r ) ； r 是是 的秩的秩 。 ),(21nxxxf0id由前面的討論可知，由前面的討論可知， r 和和 p 是由二次型：是由二次型： 唯一確定的唯一確定的

9、。 ),(21nxxxf再經(jīng)過非退化線性變換：再經(jīng)過非退化線性變換：就變成：就變成：)7 . 3 . 6(,221221rppzzzz 式（式（6.3.7）稱為）稱為實(shí)二次型實(shí)二次型 的規(guī)范型。的規(guī)范型。 ),(21nxxxf .,1,111111nzrrrrrzyzyzdyzdy正(負(fù))定二次型的概念 ., , 0)(0;,00 0, 0,)( 1是是負(fù)負(fù)定定的的并并稱稱對對稱稱矩矩陣陣為為負(fù)負(fù)定定二二次次型型則則稱稱都都有有如如果果對對任任何何是是正正定定的的并并稱稱對對稱稱矩矩陣陣次次型型為為正正定定二二則則稱稱顯顯然然都都有有如如果果對對任任何何設(shè)設(shè)有有實(shí)實(shí)二二次次型型定定義義Afxf

10、xAffxfxAxxxfT AXXxxxfTn ),(21實(shí)二次型實(shí)二次型 正定正定存在可逆矩陣存在可逆矩陣C，使實(shí)對稱矩陣，使實(shí)對稱矩陣A CTCA是正定矩陣是正定矩陣f 滿足：滿足：prn實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣A的的n個(gè)順序主子式個(gè)順序主子式 全大于零。全大于零。實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣A合同于合同于E實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣A的的n個(gè)特征值個(gè)特征值 全大于零。全大于零。f 的的 規(guī)范形為規(guī)范形為22221nzzzf 的的 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形2222221121),(nnydydydyyyg nidi, 2 , 1, 0 （1）A的主對角元的主對角元 （2）), 2 , 1(0niaii 0 A.2223

11、),(,:323121232221321xxkxxxxxxxxxxfk 二次型二次型使下列二次型成為正定使下列二次型成為正定的值的值求求例例.2),(:222121321是是正正定定的的充充分分必必要要條條件件型型求求二二次次型型成成為為正正定定二二次次例例bxxhxaxxxxf .:,)4(.)3(;)2(;)1(:,:*1也為正定矩陣也為正定矩陣則必有則必有若若均為正定矩陣均為正定矩陣證明證明均為正定矩陣均為正定矩陣設(shè)設(shè)例例ABBAABAABABA .:,254:,:23為為正正定定矩矩陣陣證證明明且且滿滿足足為為實(shí)實(shí)對對稱稱矩矩陣陣設(shè)設(shè)例例AOEAAAA .)(:,:nArAAmnnmA

12、T 件為件為為正定陣的充分必要條為正定陣的充分必要條證明證明矩陣矩陣為為設(shè)設(shè)例例例：試證二次型例：試證二次型 為正定二次型。為正定二次型。 njijiniinxxxxxxf1122122),( 例：設(shè)例：設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，是實(shí)對稱矩陣，t是一個(gè)實(shí)數(shù)，證明：當(dāng)是一個(gè)實(shí)數(shù)，證明：當(dāng)t 充分大之后，充分大之后，tE+A 是正是正定矩陣。定矩陣。例：設(shè)例：設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，且是實(shí)對稱矩陣，且 ,證明必存在證明必存在n維實(shí)向量維實(shí)向量X，使，使 XTAX0。0 A 例：設(shè)是一個(gè)實(shí)二次型例：設(shè)是一個(gè)實(shí)二次型 且存在且存在n維實(shí)向量維實(shí)向量X1與與X2，使得，使得 AXXxxxfTn ),(21 X1TAX10，X2TAX20 證明證明:必存在必存在n維實(shí)向量維實(shí)向量X0，使，使X0TAX00。例：設(shè)例：設(shè)A與與B是兩個(gè)是兩個(gè)n階實(shí)對稱矩陣，并且階實(shí)對稱矩陣，并且A是是正定矩陣，證明：存在正定矩陣，證明：存在n階