微分方程的解

1、第二章一階微分方程的初等解法教學(xué)目的：使學(xué)生會判斷基本的一階微分方程的類型；熟練掌握求解一階微分方程的基本方法；會利用所學(xué)知識解決一些實際問題教學(xué)內(nèi)容：1、變量分離方程與變量變換變量分離方程、可化為變量分離方程的類型、應(yīng)用舉例2、線性方程和常數(shù)變易法線性方程、常數(shù)變易法、Bernoulli方程3、恰當(dāng)方程和積分因子恰當(dāng)方程、積分因子法、分項組合法4、一階隱式微分方程與參數(shù)表示一階隱式微分方程及參數(shù)解法教學(xué)重點：變量分離方程、線性微分方程與常數(shù)變易法、恰當(dāng)微分方程與積分因子、一階隱式微分方程及參數(shù)解法教學(xué)難點：變量變換，積分因子法，分項組合法，建立微分方程模型。教學(xué)過程： §2.1變量

2、分離方程與變量變換要求：熟練掌握變量分離方程的解法本節(jié)重點：變量分離方程的解法；難點：變量變換.變量分離方程，或分離變量即可求解例1 求解方程 . （解為）例2 求解方程 ，. （解為）例3（略）例4 求解方程 .（解為）2.1.2可化為變量分離方程的類型令 ，可化為變量分離的方程求解例5 求解方程 . （解為，即）例6求解方程 ，. （解為）.（2）    可化為齊次方程當(dāng)時，可化為齊次方程求解當(dāng)不全為零時，但，即，我們令，可將方程化為變量分離方程求解當(dāng)不全為零時，但，即，令變換其中，是待定常數(shù)（即兩直線的交點），可將方程化為關(guān)于X與Y的齊次方程求解，最后代回原

3、變量即可得原方程的解.例7 求解方程 （解為）.應(yīng)用舉例例8 電容器的充電與放電（）.例9 探照燈反射鏡面的形狀 （）習(xí)題2.11.（1），（3），（5），（7），（9）；2. （1），（3），（5），（7）；3.（1）；4；6；9.§2.2線性微分方程與常數(shù)變易法要求：熟練掌握一階非齊次線性微分方程的解法本節(jié)重點：一階非齊次線性微分方程的解法（即常數(shù)變易法）一階線性微分方程，當(dāng)?shù)膮^(qū)間上可以寫成， （）其中在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù). 若，（2.21）變?yōu)椋?（）（）稱為一階齊次線性微分方程若，（2.21）稱為一階非齊次線性微分方程.齊線性方程變量分離求解，得 （）非齊線性方程用常數(shù)

4、變易法求解為非齊線性方程通解公式。常數(shù)變易法實際上是一種變量變換的方法，通過（）可將方程（2.2.1）化為變量分離方程.例1 求方程的通解.（解為）例2 求方程的通解.（解為）形如， （）的方程，稱為伯努利（Bernoulli）方程. 這里是的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù).利用變量變換可將伯努利（Bernoulli）方程化為線性微分方程.例3 求方程的通解.（解為，或 及）習(xí)題2.21.（1），（3），（5），（7），（9），（11），（13），（15）；2. 3. 5.（1），（3）； 7. （1），（3）.§2.3恰當(dāng)微分方程與積分因子要求：熟練掌握恰當(dāng)微分方程的解法，積分因子的求法.本節(jié)重

5、點：恰當(dāng)微分方程的解法，積分因子的求法. 難點：積分因子的求法.恰當(dāng)微分方程（全微分方程）如果微分方程（）的左端恰是某一函數(shù)的全微分，即，（）則稱（）為恰當(dāng)微分方程（或全微分方程）.容易驗證，（）的通解是，（）其中是任意常數(shù).問題：（1） 如何判斷（）是恰當(dāng)微分方程？（2） 如果（）是恰當(dāng)微分方程，如何求得函數(shù)？（3）如果（）是恰當(dāng)微分方程，函數(shù)應(yīng)有什么性質(zhì)？恰當(dāng)微分方程的充要條件是（）恰當(dāng)微分方程（）的通解是=，（）例1 求方程的通解.（解為）采用“分項組合”的辦法，先把那些本身已構(gòu)成全微分的項分出，再把剩下的項湊成全微分. 這要求熟記一些簡單二元函數(shù)的全微分。例2 求解微分方程（解為）積分

6、因子法給出微分方程()如果它不是恰當(dāng)微分方程，如果能找到一個函數(shù)，使得是一個恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)，使（）則稱函數(shù)是方程 () 的一個積分因子這時是（）的通解，因而也是（）的通解.同一方程可以有不同的積分因子一個方程如果存在積分因子，那么積分因子不只是一個方程解的形式也不一定相同.函數(shù)為（）的積分因子的充要條件是，（）如果方程滿足條件它僅是x 的函數(shù)，那么易求其積分因子為同樣，方程滿足條件它僅是的函數(shù)，那么易求其積分因子為例3 試用積分因子法解線性微分方程.（解為）作業(yè)：習(xí)題2.21.（1），（3），2.（1），（3），（5），（7），（9），（11）； 3. 45. 7. .§2

7、.4 一階隱方程與參數(shù)表示要求：熟練掌握一階隱分方程的解法.本節(jié)重點：一階隱方程的解法克萊羅方程的求法. 難點：一階隱方程的求法.求解隱式方程                                      &

8、#160;          （）的問題分兩種情況考慮：    1 假如能從()中把解出，就得到一個或幾個顯式方程                    如果能用初等積分法求出這些顯式方程的解，那么就得到方程()的解.    &#

9、160;例1 求解方程                      （解為 及 ）2如果在()中不能解出時，則可用下面介紹的“參數(shù)法”求解，本節(jié)主要介紹其中兩類可積類型，類型              類型   

10、           可以解出（或）的方程考慮類型中的方程                                     

11、;           （）注意：當(dāng)從方程()中解出時，只 要將其代入()的第三式，就得到()的通解了，而不要再將 p 認為，再積分來求 y 同理，可以考慮類型的方程                           

12、                      ()例2 求解方程                          

13、60; （解為及）例3 求解方程                                              

14、60;()這里，假定是二次可微函數(shù).（解為和）方程()稱為克萊洛 (Clairaut)方程.由()式可知，它的通解恰好是在方程()中用C取代 而成. 不顯含（或）的方程類型的特點是，方程中不含y 或x考慮類型中的方程                                

15、           （）得到方程()的參數(shù)形式通解                          同理，可以討論類型的方程