空間向量在立體幾何中的應(yīng)用sxzppt課件

1、(一一)證明兩直線平行證明兩直線平行ab空間向量在立體幾何中的運(yùn)用空間向量在立體幾何中的運(yùn)用baCDABbDCaBA ,;,ABCD一一.平行問題平行問題明兩向量平行。得到兩向量，轉(zhuǎn)化為證分別取不同的兩點(diǎn)方法思路：在兩直線上bayxyxyxCDyxAB ),(),(12212211則有知a(二二)證明線面平行證明線面平行 AB0AB , . 1ABnnnaBAa若，的法向量為面面線aa1e2e . 2221121aeeaeeaa），若組基底（不共線的向量的一是平面、，的方向向量為外的直線已知面則可得線面平行。即證明數(shù)量積為這一向量與法向量垂直得一向量，證明量，在直線找不同兩點(diǎn)方法思路：求面的法

2、向，0)(nAB.,從而證線面平行外的線平行則可得面內(nèi)一直線與面相等）內(nèi)存在一向量與方向向底線性表示（即在平面組基方向向量可用平面的一方法思路：證明直線的(三三)面面平行面面平行mn . 1nmnm，和分別是的法向量與不重合的兩平面mABCDO , . 2mm若，的法向量為面與不重合的兩平面 00mOCDABCDmABmOCDABCDmABm即則兩平面平行。為證明兩法向量平行法向量，轉(zhuǎn)化方法思路：求兩平面的,兩面平行。（即都垂直），則可得量積為的不共線的兩向量的數(shù)法向量與另一面平面的法向量，再證該方法思路：求出其中一0(一一)證明兩直線垂直證明兩直線垂直ab二二.垂直問題垂直問題abbabab

3、aba0 ，則有和分別為的方向向量和直線不重合的直線則可證兩直線垂直。兩向量的數(shù)量積為，證明兩向量在兩直線上各取兩點(diǎn)得分別方向向量方法思路：找兩直線的, 0)(二二)證明線面垂直證明線面垂直llmamal . 1則有，的方向向量為平面，的方向向量為直線am可證線面垂直。需證明兩向量平行，則只及平面的法向量上取兩點(diǎn)得一向量在兩直線向向量方法思路：找直線的方,)(二二)證明線面垂直證明線面垂直laeaeaeeal00 , , . 22121且則有共線的向量）的一組基底（不是平面，的方向向量為直線1e2eam線面垂直。（即都垂直），則可證量積都為的數(shù)與平面內(nèi)兩不共線向量取兩點(diǎn)得一向量在兩直線上方向向

4、量方法思路：證明直線的 0)(三三)證明面面垂直證明面面垂直mn0 . 1nmnm，則有和為的法向量分別和不重合的平面1e2en221121n . 2eeeen則有向量），的一組基底（不共線的是平面，的法向量為平面則可證明兩平面垂直。兩向量數(shù)量積為為法向量，只需證明方法思路：找兩平面的0,線性表示。不共線的向量面的一組基底即法向量可以用另一平向量與另一平面平行面的法向量，證明該法方法思路：找其中一平)(三三.處置角的問題處置角的問題(一一)求異面所成的求異面所成的角角abABCD|,cos|cos,CDABCDABCDABbabDCaBAba則有所成的角為是兩異面直線。夾角相等或互補(bǔ)直線所成的

5、角與向量的但要理解異面套公式。為向量的夾角問題轉(zhuǎn)化線的方向向量方法思路：找兩異面直)(,l(二二)求線面角求線面角ABm|,cos|sin, mABmlBAl的法向量，則有是面若，所成的角為與面的斜線設(shè)平面互余）與兩向量所在直線夾角注意線面角再套公式。轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，向向量與平面的法向量方法思路：找直線的方(,l(三三)求二面角求二面角nml 與的法向量分別為，若面，的大小為設(shè)二面角mn|,cos|cos )2, 0() 1 (nm則有即若二面角為銳二面角，|,cos|cos )2()2(nm，則有即若二面角為鈍二面角，。（鈍）二面角，套公式，并結(jié)合圖形判斷是銳為大小的法向量，設(shè)二面角的

6、方法思路：找兩半平面lab，已知的大小為設(shè)二面角bDCaBAlblabal, |CD,ABcos|cos CD,AB, )2, 0() 1 (，故有相等或互補(bǔ)即與的夾角與等于直線，則即若二面角為銳二面角，baABCD|CD,ABcos|cos CD,AB, )2()2(，故有相等或互補(bǔ)即與的夾角互補(bǔ)與等于直線，則，即若二面角為鈍二面角，ba公式處理。是銳（鈍）二面角，套角問題，結(jié)合圖形判定為向量的夾垂線所成的角，再轉(zhuǎn)化二面角問題轉(zhuǎn)化這兩條垂直于公共棱，則可把在兩半平面各找一直線方法思路:四四.處置間隔問題處置間隔問題(一)點(diǎn)到面的間隔dPQm) (| P: , 的投影的長度在法向量向量的距離面

7、到點(diǎn)的法向量，則有是平面得任取一點(diǎn)mPQmmPQdmPQQ套公式。在法向量的投影的長度轉(zhuǎn)化為得一向量與點(diǎn)在面內(nèi)任取一點(diǎn)組可求方程任一法向量方法思路：求出平面的,PQPQ),(m(二二)求兩異面直線的間隔求兩異面直線的間隔dabABCD|m|mAC ,則兩異面直線的距離，都垂直的向量找一向量與兩異面直線，是兩異面直線，知dmbDCaBAba|m|mACd,mAB ,CA,m距離上的投影的長度在向量就是則其距離異面直線上各任取一點(diǎn)然后分別在兩向量與兩異面直線都垂直的的距離，先找一向量方法思路：求異面直線d的坐標(biāo)，可用方程組求出都垂直，、與異面直線向量 mbam五五.如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系如何建立適當(dāng)

8、的坐標(biāo)系OABC三線兩兩互相垂直有公共頂點(diǎn)的不共面的. 1錐等等。側(cè)棱垂直于底面的三棱三角形且過直角頂點(diǎn)的是直角是矩形的直棱柱、底面正方體、長方體、底面2.有一側(cè)棱垂直底面有一側(cè)棱垂直底面OABCOABOC底面是等邊三角形）（OAB1為斜邊的直角三角形是以）（OBOAB2PABCD是菱形，且四邊形底面ABCDABCDPA 的菱形是，且四邊形底面60ABCABCDABCDPA直棱柱的底面是菱形3.有一側(cè)面垂直于底有一側(cè)面垂直于底面面.60ADCABCD 2 PCDABCDP的菱形是底面垂直，的正三角形，且與底面長為是邊中，側(cè)面四棱錐32SCSAABCSAC4ABC,ABCS且，底面平面的正三角形

9、，是邊長為中在三棱錐兩平面垂直的性質(zhì)定理兩平面垂直的性質(zhì)定理:假設(shè)兩面垂直假設(shè)兩面垂直,那么在其中那么在其中一面一面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一平面,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為有一線垂直于底面的問題為有一線垂直于底面的問題.正四棱錐正四棱錐正三棱錐正三棱錐側(cè)面是正三角形另一且的斜邊是公共是全等的直角三角形、側(cè)面中在三棱錐如圖1,CDBD, 3AD,AD,ACDABD,BCDA,ABDC223112的距離。到平面求點(diǎn)的大小的正切值；求二面角；平面求證：且面的中點(diǎn)分別是、的正方形是邊長為例：如圖，GMNB)3(CMNG)2(GMN BD) 1 (2ABCDCG,AD,A

10、BNM, 4 ABCDCGAMBCDGNxyZ )0 , 4 , 4()0 , 4 , 2()2 , 0 , 0()0 , 0 , 4()0 , 4 , 0()0 , 2 , 4()0 , 0 , 0(GMNBDN, 2)0 , 2, 2(),0 , 4, 4() 1 (面又建系略略解：MBDMNBDMNBDGMNBDGMNMN面面又 ),( )(zyxmGMN個(gè)法向量為的一設(shè)平面法二AMBCDGNxyZ)0 , 4 , 4()0 , 4 , 2()2 , 0 , 0()0 , 0 , 4()0 , 4 , 0()0 , 2 , 4()0 , 0 , 0(0200242)2, 4 , 2(),

11、(022)0 , 2, 2(),(zyxyxzyxzyxGMmyxzyxMNm) 3 , 1 , 1 ( , 3, 1 , 1 mzxy故則取GMNBDGMNMN面面又 GMNBDmBDBD面又而, 0)0 , 4, 4()2 , 0 , 0()2(CGCMN的一個(gè)法向量為易得半面)20 （的大小為設(shè)二面角CMNG32tan,3111126|cosmCGmCG)0 , 0 , 2( ),3 , 1 , 1 ( ) 3(MBmGMN又的一個(gè)法向量為面11112311030121| 222mmMBdGMNB的距離到面故點(diǎn)ECABDxyZ1A1B1C1DOF的大小。求二面角的坐標(biāo)試求點(diǎn)上且在若點(diǎn)；平

12、面求證：如圖建立空間直角從標(biāo)系為原點(diǎn)的中點(diǎn)，以為棱，交于與且的棱長為例：正方體 )3(F,)2(BO) 1 (,A,ADDEOBDAC2 DCBAABCD11111111CAEBAEFBAEFEACxyz) 1 ,02(),0 , 1 , 1 ()2 , 2 , 0(),2 , 2 , 2(),2 , 0 , 2(),02, 0()0 , 2 , 0(),0 , 2 , 2(),0 , 0 , 2(),0 , 0 , 0(111EODCBADCBA), 0(zyF的距離。到平面求點(diǎn)的大小的正切值；求二面角；面求證：底面中，例：四棱錐PCDBAPCDPACBCACB)3()2() 1 (90,

13、3PA,120BAD1,CDADCD, ABABCD,PAABCDPBzyx),3, 0 , 0(),0 ,21,23(),0 ,21,23(),0 , 0 ,23(),0 , 2 , 0(),0 , 0 , 0(PDCEBAEECD的中點(diǎn)取Bzyx大小的正切值求二面角面APCDPACBC)2() 1 (3 1310,0,0 ,0,0, 3 ,0 ,02222APCD（建系略）)2()3,21,23(),0 , 1, 0(),0 , 2 , 0(DPDCB，則有的一個(gè)法向量為設(shè)面),( PDCzyxm 03212300)3,21,23(),(0)0 , 10(),.(00zyxyzyxzyxD

14、PmDCm) 1 , 0 , 2( m則可取)20(A-PC-D., PAC0 ,23,23) 1 (的大小為設(shè)二面角的一個(gè)法向量是平面知由BC51|533|,cos|cosBCmBCmBCm52sin2tan的一個(gè)法向量是面知由又PCDmPBB) 1 , 0 , 2( )2(),3, 2 , 0(),0 , 2 , 0() 3(515|530220|mmPBdPCDB的距離到平面點(diǎn)的距離到平面點(diǎn) )3(PCDB的距離。到平面求點(diǎn)的余弦值；求二面角；平面求證：。平面且上的點(diǎn)為的正方形是邊長為四邊形中直二面角如圖 )3( )2() 1 (, 2 ,ACEDEACBBCEAEACEBFCEFEBA

15、EABCDEABD以線段以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，OE所在直線所在直線為為x軸軸,AB所在直線為所在直線為y軸，過軸，過O點(diǎn)平行于點(diǎn)平行于AD的直線為的直線為z軸軸,建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖如圖.ABEBCABBCABABEABCD面故為正方形，交線為面由已知得面,ABCD)2 , 0 , 0(),2 ,01(),0 , 1 , 0(),0 , 1, 0(),0 , 0 , 0(DCBAO)0 , 0 , 1 (,EBEAEBCEAEAEBCAEBFACEBF點(diǎn)面又面xyzO3331|cos),20EACBnmnm（的平面角為設(shè)二面角；平面求證BCEAE

16、:) 1 (的余弦值；求二面角 )2(EACB的距離。到平面求點(diǎn) )3(ACED的距離。到平面求點(diǎn)的大小；求二面角；證明：的中點(diǎn)分別為面面的正三角形是邊長為中例：在三棱錐 )3( )2( ) 1 (., 32., 4 ,CMNBBCMNSBACSBABNMSCSAABCSACABCABCSxyz)( ,如圖建立空間坐標(biāo)系面交線為面面連結(jié)的中點(diǎn)取xyzOBOSOABCSOACABCSACACBOACSOBCABSCSAOBOSOAC)2, 3, 0(),0 , 3, 1 (),22 , 0 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 32 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 0 , 0(

17、NMSCBAOOxyz),2, 3, 0(),0 , 3, 1 (),22 , 0 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 32 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 0 , 0(NMSCBAOBCMN 2) 1 (）求二面角（證明：SBAC O),0 , 0 , 4(AC)22, 32 , 0(SBSBACSBAC0) 1 ,6,2 n31|22322|OS|n|OSncos),2(0則有設(shè)二面角的大小為31arccos 的大小為二面角BCMN的距離到面）點(diǎn)（CMNB3的一個(gè)法向量是平面 ) 1 ,6,2(),0 , 3, 1() 3(CMNnMB324324| nnMBdCMNB

18、的距離到平面點(diǎn)ABDC明理由。的位置；若不存在，說角？若存在，確定成與面，使上是否存在一點(diǎn)在線段的大?。磺蠖娼?；求證：另一側(cè)面是正三角形且是公共的斜邊形是全等的直角三角、側(cè)面中在三棱錐如圖例： 30)3( )2() 1 (.1,CDBD, 3AD,AD,ACDABD,BCDA)(EBCDEDEACDACBBCAD223112., 1 示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所正方體中的錐放置在一棱長為解析：依題意可把三棱)111(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (),0 , 0 , 0(ACBD), 1 ,(, 1, 0,AC),(xxEyzxzyxE即則上一點(diǎn)是線段設(shè)BCADBCDABC

19、DA0)0 , 1 , 1(),1 , 1 , 1 (6arccos31CEEAC點(diǎn)且上存在線段則有和的法向量分別是與面設(shè)面),(),()2(cbanzyxmDACBAC) 1, 1 , 1 ( 1,0) 1 , 0 , 1 (),(0)0 , 1 , 1(),(mxzxzyxCAmyxzyxBCm，則取) 1, 0 , 1 ( nDAC的一個(gè)法向量同理可求得平面)20( DACB的大小為設(shè)二面角36arccos,3623101|cos所求二面角的大小為nmnm), 1 ,(, 1, 0,AC),(xxEyzxzyxE即依題意可知上一點(diǎn)是線段設(shè))120(60,30),1 , 0 , 0(或則成

20、與面要使的一個(gè)法向量為易知平面pDEBCDEDpBCD說明理由。若不存在的位置確定？若存在成與面使是否存在一點(diǎn)上在線段的大小求二面角,30,)3( )2(EBCDEDEACDACB12|222121|,cos22xCExxxpDEpDEpDE角。成與面時(shí)，點(diǎn)且上存在故線段30 1BCDEDCEEACyxz，軸建立空間直角坐標(biāo)系分別為為原點(diǎn)以解析 , ,) 1 ( :1zyBABBB),0 , 2 , 0(),2, 0 , 0(),0 , 0 , 0(,3,2, 2, 1111BABBCCABBBBC得由于)0 ,23,23(),0 ,21,23(1CC)0 ,21,23(),(23210)2(

21、43)0 ,2 ,23()2,23(Eaaaaaa故舍去或即., 04343)02323()0 ,21,23(11EBBEEBBE即BEABBBCCAB故面又,111 , 14143|,1故距離為而的公垂線段是異面直線故BEEBABBE的夾角與為直線的平面角銳二面角11111111,)2(ABEAAEBAEBABEBEA.22tan,32|cos),2,21,23(),2, 0 , 0(111111即故而ABEAABEAEABAAB的平面角的正切值。求二面角的距離；與求異面直線如圖已知的一點(diǎn)、上異于為棱側(cè)面中在三棱柱例1111111111111)2() 1 ()( ,3, 12,2,:AEBAEBABBCCBCBBABEBEACCCCECCBBABCBAABC0)0 ,23(11EBEAEBEAaE，得