數(shù)列與函數(shù)的極限公式概念

1、極限與連續(xù)一、數(shù)列的極限定義：1、給定數(shù)列xn，如果當(dāng)n無限增大時(shí)，其通項(xiàng)xn無限趨過于某個(gè)常數(shù)A，則稱數(shù)列xn以A為極限，記作：limnxn=A或者xnA(n)2、當(dāng)數(shù)列xn以實(shí)數(shù)A為極限時(shí)，稱數(shù)列xn收斂于A，否則稱數(shù)列xn發(fā)散。二、數(shù)列極限的性質(zhì)：1)極限的惟一性：若數(shù)列收斂，則其極限惟一，若 limnxn=a，則limnxn+1=a2)有界性：收斂數(shù)列必有界. （數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要非充分條件）3）數(shù)列的極限：如數(shù)列：則它的極限為3即：三、幾個(gè)需要記憶的常用數(shù)列的極限 四、運(yùn)算法則： 如果 則： 二、函數(shù)極限：函數(shù)極限limxf(x)=A的充分必要條件是limx-f(x)=limx

2、+f(x)=A函數(shù)極限limxx0f(x)=A的充分必要條件是limxx0-f(x)=limxx0+f(x)=A分段函數(shù)極限與該點(diǎn)有無定義無關(guān)，只與左右極限有關(guān).即 limxx0fx存在 limxx0-fx= limxx0+fx函數(shù)極限的性質(zhì)：1)極限的惟一性：若函數(shù)f(x)當(dāng)xx0（或x）時(shí)有極限，則其極限惟一.極限運(yùn)算法則：設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B,則1)limf(x)±g(x)=A±B2)limf(x)g(x)=AB3)當(dāng)B0時(shí)，limf(x)g(x) =AB4)limcf(x)=climf(x) (c為常數(shù))5）limf(x)k= limf(x)k

3、(k為常數(shù))小結(jié)：當(dāng)a00, b00時(shí)，有l(wèi)imxa0xn+a1xn-1+anb0xm+b1xm-1+bm = a0b0 當(dāng)n=m時(shí) 0 當(dāng) n<m時(shí) 當(dāng)n>m時(shí)復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則：limxx0fx=limuu0fu數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則：設(shè)有3個(gè)數(shù)列xnynzn,滿足條件：1）ynxnzn （n=1,2,）；2）limnyn=limnzn=a，則數(shù)列xn收斂，且limnxn=a函數(shù)夾逼準(zhǔn)則：設(shè)函數(shù)f(x),g(x),h(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，且滿足條件：1）g(x) f(x) h(x);2) limxx0g(x)=A, limxx0hx=A. 則極限limxx0fx存在且等于A

4、.單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限.即單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限；即單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限.兩個(gè)重要的極限：重要極限：limx0 sinxx =1重要極限：limx(1+1x)x =e , limx0(1+x)1x=e無窮小的性質(zhì)：1)有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮小.2)有界變量與無窮小的乘積為無窮小.3)常量與無窮小的乘積為無窮小.4)有極限的量無窮小的乘積為無窮小.5)有限個(gè)無窮小的積為無窮小.在某個(gè)自變量變化過程中l(wèi)imf(x)=A的充要條件是f(x)=A+(x). 其中(x)是該自變量變化過程中的無窮小量.無窮小的比較：設(shè)=(x) ，=(x)都是自變量同一變化過程中的無窮小.1

5、.若lim=c (c0,是常數(shù))，則稱與是同階無窮小.2.若lim=1，則稱與是等價(jià)無窮小，記作.3.若lim=0，則稱與是高階無窮小，記作=o()4.若lim k =c(c0,k是正整數(shù)), 則稱與是k階無窮小.5.的充要條件為-是(或)的高階無窮小,即-=o或=+o()6., ',',都是自變量同一變化過程中的無窮小,且 ',',lim''存在，則有l(wèi)im= lim''常用等價(jià)無窮?。合喑说臒o窮小因子可用等價(jià)無窮小替換，加、減的不能x0時(shí)，x sinx tanx arcsinx arctanx ln(1+x) ex-1; 1-

6、cosx x22；(1+x)a-1ax(a0) ;ax-1xlna(a>0,a1);n1+x - 1 xn常用等價(jià)無窮小：當(dāng)變量時(shí)，1+x - 1 1 2 x 無窮大：函數(shù)無窮大 無界xx0時(shí)，若f(x)為無窮大，則1f(x)為無窮小；xx0時(shí)，若f(x)為無窮小，且在x0的某去心鄰域內(nèi)f(x) 0, 則1f(x)為無窮大.注：分母極限為0，不能用商的運(yùn)算法則初等函數(shù)：連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算所得到的函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù).一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.如果f(x)是初等函數(shù)，x0是其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則limxx0fx=f(x0).最值定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則它在a,b上必有最值.有界性定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則它在a,b上有界.介值定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b),則對(duì)于f(a)與f(b)之間的任何數(shù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f()= .零點(diǎn)定理(根的存在性定理)：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)(f(a)f(b)<0)