拉格朗日插值公式的證明及其應(yīng)用講解

1、拉格朗日插值公式的證明及其應(yīng)用摘要：拉格朗日(Lagrange)插值公式是多項(xiàng)式中的重要公式之一，在理論和實(shí)踐中都有著廣泛的應(yīng)用本文闡述了Lagrange插值的基本理論，譬如：線形插值，拋物插值，Lagrange多項(xiàng)式等.然后將線形插值，拋物插值，Lagrange多項(xiàng)式插值分別應(yīng)用到高中知識(shí)中，并且學(xué)會(huì)用計(jì)算機(jī)程序來(lái)編寫插值法的思想與中國(guó)剩余定理一脈相承，體現(xiàn)了代數(shù)中線性化"(即表示為求和和數(shù)乘的形式)這一基本思路，大巧若拙.本文的目的是通過(guò)介紹拉格朗日插值公式的推導(dǎo)，唯一性，證明過(guò)程及其在解題與實(shí)際生活問(wèn)題中的應(yīng)用來(lái)尋找該公式的優(yōu)點(diǎn)，并且引人思考它在物理，化學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用通過(guò)實(shí)際鑒

2、定過(guò)程，利用插值公式計(jì)算生活中的成本問(wèn)題，可以了解它的計(jì)算精度高，方法快捷關(guān)鍵詞：拉格朗日插值公式唯一性證明解題應(yīng)用資產(chǎn)評(píng)估曲線插值問(wèn)題，直觀地說(shuō)，認(rèn)為已知的一批數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,f丄是準(zhǔn)確的，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)所表現(xiàn)的kkk=0準(zhǔn)確函數(shù)關(guān)系fG)是未知的，在這種情況下要作一條近似曲線pO且點(diǎn)點(diǎn)通過(guò)這些點(diǎn)，插值問(wèn)題不僅要討論這種近似曲線P(x)的構(gòu)造方法，還要討論點(diǎn)增多時(shí)這種近似曲線P(x)是否穩(wěn)定地收斂于未知函數(shù)f6)，我們先研究一種簡(jiǎn)單常用的插值一一拉格朗日插值一定義，推導(dǎo)及其在解題中的應(yīng)用1線性插值1.1. 線性插值的定義假定已知區(qū)間tx,x的端點(diǎn)處的函數(shù)值ykk+1kky=f(x),要求線性插值多項(xiàng)

3、式l(x)使它滿足k+1k+11L(x)=yL(x)=y.1 kk1k+1k+1y=L(x)的幾何意義：通過(guò)兩點(diǎn)(x,y)和(x,y)的直線，1kkk+1k+1如圖1所示，LG)的表達(dá)式由幾何意義直接給出，即1L1(x)=yk+(x-xk)(點(diǎn)斜式)，圖1k+1kx一x+yx一xk+1k+1k(兩點(diǎn)式).()x-xLkx丿=ky1x一xkkk+1(x)3由兩點(diǎn)式方程看出，小）由兩個(gè)線性函數(shù)lk°）=三*kk+1一,l(x)=x一x的線性組合x一xk+1k-k得到,其系數(shù)分別為y及y，即L(x)=yl(x)+yl(x).kk+11kkk+1k+1k+1k+1顯然,l6）及l(fā)6）也是插值

4、多項(xiàng)式，在節(jié)點(diǎn)x及x上滿足條件kl(x)=1,kkCx)=0,k+1l(x)=0,l(x)=1.kkk+1k+1稱函數(shù),iG）k(圖2)及1k+16)（圖3）為一次插值基函數(shù)或線性插值基函數(shù).圖象為:圖31.2.例解：由題意取x=0.320y=0.314567'0x=0.341y1=0.333487'x2y2=0.36=0.352274圖2線性插值例題1.已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用線性插值計(jì)算.若取x二0.32,x二0.34為節(jié)點(diǎn)，則線性插值為:01sin0.3367沁LG.3367)=y+人一y

5、0G.3367-x)10x一x010=0314567+船X°.°167=0330365-若取x=0.34,x=0.36為節(jié)點(diǎn)，則線性插值為:12sin0.3367沁L(0.3367)=y+y2一y1G.3367-x)11x一x12 1=0.333487+0.018787xC0.0033)=0.3303870.022.二次插值2.1. 二次插值的定義若n二2時(shí)，假定插值節(jié)點(diǎn)為x,x,x要求二次插值多項(xiàng)式L(x),使它滿足L()=yk-1kk+122jj(j=k-1,k,k+1)y=L(x)的幾何意義：通過(guò)三點(diǎn)的(x,y),(x,y),(x,y)的拋物線.2k-1k-1kkk+

6、1k+1(j=k,k+1)(j=k-1,k+1)(j=k-1,k)iCx)=1,iC)=o<iG)=1,iv)=okk、kj()lG)=1,lk丿=0、k+1k+1k+1j例如lk-1C)，因?yàn)樗袃蓚€(gè)零點(diǎn)x,xk+1故可表示為:(x)=A(xk-1)(x-x).k+1由lk-1(xk-1)=1得A=)(x-x)kk+1所以,l(x)=k-1xxk-xk-1)(xk-x)k-1k+1同理l(x)=kx-x)(x-x)，-xx-x丿kk1kk+1l(x)=k+1(x-x)(x-x)k+1k-1xk-xk+1k函數(shù)lk-1(x),l(x),lC)稱為二次插值基函數(shù)或拋物插值基函數(shù).kk+1在

7、區(qū)間5-1'xk+上的圖形分別為:利用二次插值基函數(shù)lk-1(x),lk(x),lk+1(x),立即可得到二次插值多項(xiàng)式L(x)=yl2k-1k-1l(x)+ylkk+1k+1即J)-yk1顯然,它滿足條件匕k1,k,k+1).x)(x-x)xk1)(x-x+1)+kk1kk+1(x-x)(x-x)Fk+)+yxxxk1kk1k+1yk+1(x-x)C-x)xk1)(x)k+1k1k+1k2.2. 拉格朗日公式(二次插值)在解題中的應(yīng)用例2.已知函數(shù)f(x)ax2c(a,c為實(shí)數(shù))。若4<fG)<1，1<fG)<2，則f(8)的最大值是多少？提示：由f)ax2c

8、是偶函數(shù)，得f(1)f6).令節(jié)點(diǎn)x0-1,x1-1，x2-2，由拉格朗日插值公式(拋物插值)得l(8)-0(xx)(xx)(81)82)(11)12)7x)(xx0102(xx)(x)(8+1)82)_x-x0)G-x)(1+1)(2)271012(xx)(x)(8+1)81)_.x-x0)(c-x)(2+1)2-1)212021f(8)7f(1)27fG)+21f(2)7f(1)27fG)+21f(1)<122l(8)-11 (8)-211注：用高中知識(shí)很難解決該題，從此題中可知拉格朗日公式在解題中的方便與快捷.1例3.已知f(x)x2+bx+c求證：|f(1)f(2)Jf(3)中至

9、少有一個(gè)值不小于-證明：根據(jù)二次函數(shù)的插值公式f0+(l#iOf+防防f(3)()G-2)(x-3)f&)x2+bx+c12)(3)比較上式兩邊x2的系數(shù)，有2f(1)f(2)+2f(3)1假若If6),1f，f(3)都小于2，則1=丄f(1)f(2)+丄fG)2<2<f3+|f(2)+2|f(3)<1.1+1+1.1-122222得出矛盾.1所以，f6),1f(2),|f(3)中至少有一個(gè)值不小于2注：這是一道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題，對(duì)高中生有一定難度，但應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)做卻易如反掌。從這方面可看出高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)我們中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)有重要作用。例4.設(shè)a,b,c為

10、非等腰AABC的三邊長(zhǎng)，S為面積。求證:a3b3c331(a-b)G-c)5a)b-c)+(c-a)C-b)>2X兀'2分析：由不等式左邊分母聯(lián)想到拉格朗日插值公式證明：構(gòu)造二次多項(xiàng)式：fdX3-（x一a）（x一b）（x-c）則由拉格朗日插值公式得33aa3X-3-a比較等式兩邊x2的系數(shù)得a3b3c3(a-b)C-c)+(b-a)b-c)+(c-a)t-b)二°+b+°二2P由海倫公式得S2=p(p-a)G-b)G-c)"3p-(a+b+c)3=匕L327因?yàn)閍,b,c不全相等，所以，上式等號(hào)不成立.3 131,x為互不相等的n個(gè)數(shù)，則nj豐kIV

11、jG于是，p>34S2n2p>2x34S2小結(jié)：由此可推廣設(shè)*x2,例5.二次函數(shù)f（x）滿足f（一10）=9,f（一6）=7,f（2）=一9，則f（2008）的值是多少?提示：由拉格朗日插值公式可設(shè)(x+6)(x-2)(10+6)一102)f(-10)+(x+10)(-2)(-6+10)(-6-2)例6.已知4=2,y9=3八16=4,求耳7的近似值解：令y=，列表Xx=40x=91x=162y二y二20y1=3y=421）.用線性插值多項(xiàng)式三組數(shù)據(jù)中，可以任取兩組數(shù)據(jù)構(gòu)造線性插值多項(xiàng)式L1°鑒于插值點(diǎn)所處的位置，應(yīng)選取Cx,y),Cx,y)構(gòu)造L(x).00111L1

12、(x)=10(x)y0+丫a)y=x一9x2+x一4x3=-2(x-9)+3(x-4)14-99-455所以，v7-L(7)=2.61L(x)=1Cx)y+1(x)y+1(x)200112"(x-9)(x-16)c(x-4)(x-16)(x-4)(x-9)彳y2(4-9)(4-16)x+(9-4)(»-16)X+(16-4)(6-9)X用全部數(shù)據(jù)構(gòu)造拋物插值多項(xiàng)式L(x)2所以,3812門L2(7)=5+537=2.62862).用拋物插值多項(xiàng)式結(jié)論：對(duì)比n=1,n=2時(shí)，拋物插值更精確.例7.已知f6)=ax2+bx+c(a豐0)滿足一7<f(1)<-1,-5

13、<f(2)<3,-1<f(3)<&求f(4)的取值范圍.分析：解決本題關(guān)鍵是用fGffG)表示f(4),用高中知識(shí)聯(lián)立方程組f0=a+b+<f(2)=4a+2b+cf(3)=9a+3b+c求出a,b,c并代入f(4)=16a+4b+c，從而確定f(4)的取值范圍，這樣做過(guò)程較繁，而使用二次函數(shù)的拉格朗日公式卻恰到好處解：由二次拉格朗日公式得f(x)=-f(1)G-2)(一3)-f(2)(一3)(一1)+f(3)(一1)(一2)則f(4)=fG-3f(2)+3f(3)由已知得19<f(4)<383.n次Lagrange插值多項(xiàng)式上面對(duì)n=1及n=

14、2的情況，得到一次與二次插值多項(xiàng)式LG)及L(x),用插值基函數(shù)表示的12方法容易推廣到一般情形下面討論n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)x<x<<x的n次插值多項(xiàng)式L(x)，假定它01nn滿足條件L(x)=y(j=0,1,n)(1)njj為了構(gòu)造L(x)，先定義n次插值基函數(shù).n定義：若n次多項(xiàng)式lj(x)(j=0,1，,n)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0<x1<<xn上滿足條件l(x)=jk0,;jc,k=。入,n)就稱這n+1個(gè)n次多項(xiàng)式l6)l(x),l6)為節(jié)點(diǎn)x,x,x上的n次插值基函數(shù).類似n=101n01n-x)(x-x)(x-x)x-1兀x+1)xxx/kk1kk+1c7(

15、)(x-x)(x及n=2的推導(dǎo)方法，可得n次插值基函數(shù)為1&)=k(k=0,1,n).滿足(1)的插值多項(xiàng)式可表示L(x)=工yl(x)(2)nkkk=0由lk。的定義知化(xjL工yklk(xj)=J(j=°,h,")k=0形如(2)式的插值多項(xiàng)式LnC)稱為L(zhǎng)agrange插值多項(xiàng)式.令w(x)=(x-x)(x-x)(x-x)n+101n易求w'Ct)=Ctn+1kk一x)(x-x)(x-x)(x一x)0kk-1kk+1kn則(2)可改寫為:()w(x)L匕丿=乙y(n)(_)nkx-x)w'Vx1k=0kn+1k注意：n次插值多項(xiàng)式L(x)通常

16、是次數(shù)為n的多項(xiàng)式,特殊情況次數(shù)可能小于n.n二.拉格朗日(Lagrang)插值公式的證明設(shè)已知函數(shù)fO在n+1個(gè)互異的點(diǎn)x,x,，x處的函數(shù)值01nC)=y,(j=0,1,n)現(xiàn)構(gòu)jj造一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式，使?jié)M足L(x)=y,k=0,1,n.(3nkk1.唯一存在性滿足插值條件(3)的次數(shù)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式L(x)=a+a(x一x)+a(x一x)(x一x)+a(x一xn010201n0)(x-x)(x-x)(4)1n是唯一存在。證明：把條件（3）帶入（4）式得:+ax11-x0)=y1a+a(x01n)a(xnx)G0nx)=n，a的系數(shù)組成的行列式為x)(x0n-x)(x1,-x)n

17、n-1n-1由于x_,x_,，x互異,所以這樣a0,a1,有唯一的解,n所以L（x）唯一存在.n2.證明過(guò)程證明：以x,x0代入（4）式得:x)=0y1解得：sa1從而有L(x)=a10)=x-x01x-x10y010+y1l1這里x-x1x-x01x-x0x-x10易證：lk1,0,k幻這就證明了n二2時(shí)，公式成立.現(xiàn)假設(shè)n=p-1時(shí)公式成立，則n二p時(shí)，我們把x代入（4）得p解得:x)-iFaCp0pp(5)X)1從而L(x)=a+ap01k10pp2ppP1PJX丿p0JX丿pP一1111一x)+aLC+a)=L(x)+aCp1pp把（5）式代入上式得p(X-X)(XP1L(x)=LpX

18、從假設(shè)得：L（x）=Eyp)(xX)-Q-)(xX+1)()-Ek=0p(x-x0XP1:一Xkp1kk=0(x-X)(X(xXk0£ykk=0x)(xx)C(xxSX+1)(kk1kk+1)(-)+丿WXxXkp1pk(xX)(xX)-(xX)(xk0kk1一XP1Xkk+1(XX(xXk一1k=0kk=0xX丿k0k(xX)(xXk0)(xX)(4XxXk1kk+1XX/k+1X丿kk+1£y/(x)kkk=0這里l(x)=kl易證:0,k幻P時(shí)成立.得證.1,k=j-x)p-1)X一X丿kp1P1XPP1)_XXp1xXkp1xX)p1xXkp-1k)-x一x1一kX

19、一XpkX)仁r+yp(X-x)(x-Xkk1kk+1Xkil從證明過(guò)程可看出，插值基函數(shù)的結(jié)構(gòu)和由來(lái)是自然而合理的三拉格朗日插值公式在實(shí)際生活（資產(chǎn)評(píng)估）中的應(yīng)用XXk0PL-XP1+yp(xX)F0)kp1)13函數(shù)曲線功L(x)=£ynkk=0kk1kk+1kn1資產(chǎn)評(píng)估公式資產(chǎn)評(píng)估就是在利用現(xiàn)時(shí)條件下，被評(píng)估資產(chǎn)全新狀態(tài)的重置成本減去資產(chǎn)的各種陳舊貶值后的差額作為被評(píng)估資產(chǎn)現(xiàn)時(shí)價(jià)值，基本計(jì)算公式為：資產(chǎn)價(jià)值=重置全價(jià)V實(shí)體性貶值+功能性貶值+經(jīng)濟(jì)性貶值)2. 理論方法與實(shí)際應(yīng)用分析假設(shè)某類設(shè)備n+1個(gè)功能參數(shù)與價(jià)格，即已知n+1個(gè)功能參數(shù)：x,x,x，及其相對(duì)01n的n+1個(gè)

20、價(jià)格:y,y,y，,y，現(xiàn)在的問(wèn)題是如何根據(jù)此組數(shù)據(jù)列表:012nxx0x1x2xnyy0y1y2yn功能與成本數(shù)據(jù)表找出功能與成本之間的函數(shù)關(guān)系：y=fG)假設(shè)在該參數(shù)區(qū)間(插值區(qū)間)內(nèi)存在一條代數(shù)多項(xiàng)式的函數(shù)曲線，在該曲線上的數(shù)值均滿足以上各點(diǎn)的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系，以此函數(shù)曲線作為關(guān)系式y(tǒng)=fG)的模擬曲線，就是所謂的拉格朗日插值法.利用這條曲線(圖4)，輸入新的功能參數(shù)，即可得到重置成本參考價(jià).拉格朗日插值多項(xiàng)式為由此公式，代入x,x，x時(shí),可看出結(jié)果就是對(duì)應(yīng)的y,y,y,，y，假設(shè)令n=1,即只有01n012n兩個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，就得到兩點(diǎn)插值計(jì)算公式：()xxxxL匕丿=y+y4(7)10x一x1

21、x一x0110這是個(gè)線性函數(shù),利用已知兩點(diǎn)作一條直線，作為擬合曲線，代表功能與成本之間的關(guān)系，也叫線性插值(圖5)若n=2時(shí),則得到3點(diǎn)插值計(jì)算公式：()(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)L匕丿=y(啪+y(r+y(8)20vxx)(xx丿1vxx)(xx丿2vxx丿1xx丿010210122021這是個(gè)二次函數(shù)，在圖形上，即通過(guò)已知各點(diǎn)作一條拋物線，代表功能與成本之間的關(guān)系，叫拋物線插值(圖6)圖52.計(jì)算機(jī)運(yùn)算方法分析根據(jù)以上理論,已知設(shè)備信息點(diǎn)越多，曲線擬合也越復(fù)雜，品評(píng)估的準(zhǔn)確率就越高，計(jì)算公式也相應(yīng)地復(fù)雜起來(lái).所以只能依靠計(jì)算機(jī)來(lái)解決.為便于計(jì)算，可將拉格朗日插值多項(xiàng)式改寫為ykx-xJL(x)nk=0編制程序時(shí)，只須利用一個(gè)二重循環(huán)就可完成L(x)值的計(jì)算:先通過(guò)內(nèi)循環(huán)，即先固定k，令J從n0到n累乘;然后再通過(guò)外循環(huán)，即令k從0到n累加得出插值結(jié)果L(x).n程序流程圖見圖7:Vy二y+p*yk輸出x，y圖73. 結(jié)論由以上分析可知，采用拉格朗日插值法計(jì)算設(shè)備的功能重置成本，計(jì)算精度較高，方法快捷。但是,由于上述方法只能針對(duì)可比性較強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)備，方法本身也只考慮單一功能參數(shù)，