微分中值定理與導數(shù)應用ppt課件

1、 微分中值定理微分中值定理則至少存在一點則至少存在一點 0)( f),(ba 一、羅爾定理一、羅爾定理（iiif (a)= f (b).設函數(shù)設函數(shù) f (x)滿足：滿足：證證:f (x)在在a, b上必取得最大值上必取得最大值M和最小值和最小值m .則則f (x)在在a, b上恒為常數(shù)，上恒為常數(shù)，因而因而 f (x) 0，定理定理1羅爾定理）羅爾定理） （i在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；上連續(xù)；（ii在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導；內(nèi)可導；所以對于任一點所以對于任一點 (a, b)，微分學的理論基礎導數(shù)與應用的橋梁Rolle,16521719 (1) 若若M = m，使使由由(i )

2、知知:都有都有f () = 0；否則否則 f (x)必恒為常數(shù)。必恒為常數(shù)。那么那么 M 和和 m 之中至少有一個不等于之中至少有一個不等于 f (a)， 設在點設在點(a, b)處，處，函數(shù)函數(shù)f (x)取得最大值取得最大值f () = M，都有都有f (x) f ()，即即f ( x) f ( ) 0.由條件由條件(ii)，f (x)在點在點可導，可導，于是，當于是，當x 0時，時，,0)()(xfxf 從而，從而，.0)()()(lim0 fxfxfx (2) 若若M m，不妨設不妨設M f (a)，即最大值即最大值M不是端點處的函數(shù)值。不是端點處的函數(shù)值。則對一切則對一切x(a, b)

3、，同理, 當x0時,有0)(xf因?qū)?shù)存在,)()()(xfxff所以.0)(fOABCabxy)(xfy 一條連續(xù)曲線,除端點外處處有不垂直于x軸的切線,且兩端點的縱坐標相等.若定理條件不滿足，則結(jié)論不一定成立.羅爾定理的幾何解釋:則在曲線上至少有一點C,在該點處切線水平.)(af0 x)(bfyba區(qū)間內(nèi)有不可導的點y)(bfab)(afx0 x0)(xfy兩端點的函數(shù)值不相等y)(bfab)(afx0 x0)(xfy區(qū)間內(nèi)有不連續(xù)的點并指出它們所在的區(qū)間。分別在區(qū)間 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 內(nèi)。 證：顯然, f (x)分別在閉區(qū)間1, 1, 1, 2, 2, 3上連

4、續(xù)， 例例1 1 設函數(shù)設函數(shù)f (x) = (x +1) (xf (x) = (x +1) (x1) (x1) (x2) (x2) (x3)3)，證明方程f (x)=0有三個實根，且 f (1) = f (1) = f (2) = f (3) . 由羅爾定理，在(1, 1), (1, 2), (2, 3)內(nèi)分別存在點1 , 2, 3 ，使得 f (1) = f ( 2) = f ( 3) = 0即方程f (x) = 0有三個實根，在開區(qū)間 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 內(nèi)可導，令證xnnaxaxaxfn) 12sin(123sin3sin)(21內(nèi)可導，且上連續(xù)，在在顯然)2

5、, 0(2, 0)(xf, 012) 1(3)2(, 0)0(121naaaffnn，即，使在一點故由羅爾定理，至少存0)()2, 0(f0)12cos(3coscos21naaan內(nèi)至少有一個實根。在)2,0(0) 12cos(3coscos21xnaxaxan證明方程，設例012)1(32121naaann二、拉格朗日定理abafbff)()()(（分析要證,)()()(abafbff即.0)()()(abafbff只需證：.0)()()(xxabafbfxf以下作輔助函數(shù)，利用羅爾定理給出證明. 定理定理2 (2 (拉格朗日定理拉格朗日定理) )設函數(shù)f (x)滿足： （i在閉區(qū)間a,

6、b上連續(xù)；Lagrange, 17361813則至少存在一點(a, b)，使（ii在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，令,)()()()(baxxabafbfxfxF那么 F(x) 滿足羅爾定理中的條件(i)(ii)，)()()()(aFabbafabfbF由羅爾定理知，至少存在一點),(ba使得, 0)(F即.)()()(abafbff該公式對 ab均成立。證明且abafbff)()()(拉格朗日中值公式或)()()(abfafbfOabxyABC公式可寫成下列形式:)()()(ababafafbfxxxfxfxxf)()()() 1 , 0 ( 若令f (a) = f (b)，則結(jié)論成為f ()

7、= 0。拉格朗日定理的幾何解釋 連續(xù)曲線,除端點外處處有不垂直于x軸的切線,且兩端點的縱坐標相等.則在曲線上至少有一點C,在該點處切線平行于弦AB.注:或有限增量公式可見, 羅爾定理是拉格朗日定理的特例。比較xxxfxfxxf)()()()()()()(xoxxfxfxxf羅爾定理與拉格朗日定理一樣只肯定了 存在性但并沒有給出求 的方法. 但通過中值定理定理，不用求出 我們也可得到一些有意義的結(jié)論，如推論 推論推論1 1 設函數(shù)設函數(shù)f (x)f (x)在區(qū)間在區(qū)間I I上可導，且上可導，且f f (x) (x) 0 0，則f (x)在I上為常數(shù)。 證 在I內(nèi)任取兩點x1和x2，在(x1 ,x

8、2)內(nèi)可導，由拉格朗日定理知，不妨設x1 0，（ii如果在如果在(a, b)內(nèi)內(nèi)f (x) 0，則則f (x)在在a, b上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；則則f (x)在在a, b上單調(diào)減少。上單調(diào)減少。（ii的證明類似。的證明類似。由拉格朗日定理由拉格朗日定理, 得得)()()(1212xxfxfxf 即即f (x1) 0，時時，當當)0,(x解解),()(的的定定義義域域xf因此因此f (x)在在a, b上單調(diào)增加。上單調(diào)增加。于是于是f (x2) f (x1)0，不妨設不妨設x1 0時，時，則則f (x)在在0, +)上連續(xù)，在上連續(xù)，在(0, +)內(nèi)內(nèi)因為僅在孤立點因為僅在孤立點x = 2n（

9、n為正整數(shù)處為正整數(shù)處xxsin令令xxxfsin)(0cos1)(xxf 證證: f (x) = 0，故故f (x)在在0, +)上單調(diào)增加。上單調(diào)增加。f (x) f (0) = 0， 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。設函數(shù)設函數(shù)f (x)在點在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義的某個鄰域內(nèi)有定義,對于該鄰域內(nèi)異于對于該鄰域內(nèi)異于x0的點的點x , 二、函數(shù)的極值二、函數(shù)的極值稱稱x0為為f (x)的極大小值點；的極大小值點；或或f (x) f (x0)），），則稱則稱f (x0)為為f (x)的極大值的極大值(或極小值）或極小值）如果恒有如果恒有f (x) sinx .即即xs

10、inx 0，從而當從而當x 0時，時， 定義定義 1x2x3x4x5x6x7x8x9xbaxy0函數(shù)的極值是一個局部概念，因而，一個定義在a，b上函數(shù)的在a，b上可以有許多極值，且極大值有可能小于極小值。但駐點和導數(shù)不存在的點不一定是極值點。但駐點和導數(shù)不存在的點不一定是極值點。但但f (x)在點在點x = 0不取得極值。不取得極值。Oy3xy通常稱為函數(shù)通常稱為函數(shù)f (x)的駐點的駐點因而，極值點只可能是駐點或?qū)?shù)不存在的點。因而，極值點只可能是駐點或?qū)?shù)不存在的點。 例如，對函數(shù)例如，對函數(shù)y = x 3, y = 3x 2,x = 0是駐是駐點點使導數(shù)使導數(shù)f (x)等于零的點等于零的

11、點x0從圖中可以看出，極值點一定是單增區(qū)間和單減區(qū)間從圖中可以看出，極值點一定是單增區(qū)間和單減區(qū)間的分界點，的分界點，不存在的點。不存在的點?？梢宰C明：若函數(shù)可以證明：若函數(shù)f(x)在在x 0 處可導，且在處可導，且在x 0 處取得處取得極值，則這個函數(shù)在極值，則這個函數(shù)在x 0 處的導數(shù)為零。即處的導數(shù)為零。即0)(0 xf0)( xf)(xf 因此極值點只能是因此極值點只能是 和和不存在的點。不存在的點。 (iii) 若在若在x0的兩側(cè)，的兩側(cè)，f (x)不變號，不變號， 定理定理2 2極值第一判別法）極值第一判別法）設設f (x)在在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在該鄰域在該鄰域x

12、0可除外可導，可除外可導，x0為為f (x)的駐點或使的駐點或使f (x) (i) 若當若當x 0；那么那么 f (x0) 是是f (x)的極大值；的極大值； (ii) 若當若當x x0 時，時，f (x) x0 時，時，f (x) 0，當當x x0 時，時，f (x) 0時，時，f (x0)是是f (x)的極小值。的極小值。例例8 8 54334xxxf)(求求的極值的極值.),1(121212)(223xxxxxf解解 定理定理3 3極值第二判別法）極值第二判別法）設函數(shù)設函數(shù)f (x)在點在點x0處具有二階導數(shù)，處具有二階導數(shù)， （i當當f (x0) 0時，時，f (x0)是是f (x)

13、的極大值；的極大值；令令0)( xf得駐點得駐點:. 1, 0 x. 012) 1 (, 0) 0( ff 由極值第二判別法由極值第二判別法, x=1時時, f (x)有極小值有極小值: f (1)=4.) 23(122436)(2 xxxxxf由于由于00 )(f所以所以,需用極值第一判別法判定需用極值第一判別法判定:;)(,00 xfx時時當當從而從而0 x時時,)(xf無極值無極值.010)(,)(xfxx時時當當例例9 討論討論xnenxxxy)!(212解：解：xnenxxxy)!(!(12112nxxnxenenxxx!1)!21(2令令0 y得駐點得駐點0 x極值極值n為自然數(shù)）

14、為自然數(shù)）n（1） 假設假設 為偶數(shù)，那么為偶數(shù)，那么 在在 兩側(cè)不變兩側(cè)不變號，號， y0 x所以所以 不是極值點。不是極值點。0 x0 x當當 時，時，;0y;0y（2假設假設 為奇數(shù)，則當為奇數(shù)，則當 時，時， 0 xn0 x所以所以 時，函數(shù)取得極大值時，函數(shù)取得極大值1) 0 (y極值第二判別法可以推廣到下面的一般形式：極值第二判別法可以推廣到下面的一般形式：)(xf0 x定理定理4 設函數(shù)設函數(shù) 在在 處有處有 階導數(shù)，且階導數(shù)，且n那么那么1當當 為偶數(shù)時：為偶數(shù)時：n)(0 xf )(0 xf )(0 xf0)(0) 1(xfn0)(0)(xfn)(0 xf假設假設 ， 那么那

15、么 是是 的極的極大值；大值；00)()(xfn)(xf假設假設 ， 那么那么 是是 的極的極小值。小值。)(0 xf0)(0)(xfn)(xf當當 為奇數(shù)時，為奇數(shù)時， 不是極值。不是極值。)(0 xfn（2）利用帶有皮亞諾余項的泰勞公式可以證明此定理利用帶有皮亞諾余項的泰勞公式可以證明此定理三、最大值、最小值問題三、最大值、最小值問題（2計算區(qū)間端點處的函數(shù)值；計算區(qū)間端點處的函數(shù)值； 例例8 求函數(shù)求函數(shù)312321)()(xxxf上的最大值與最小值。上的最大值與最小值。在區(qū)間在區(qū)間,22 求連續(xù)函數(shù)求連續(xù)函數(shù)f (x)在在a, b上的最大值與最小值：上的最大值與最小值：（1計算函數(shù)駐點

16、與不可導點處的函數(shù)值；計算函數(shù)駐點與不可導點處的函數(shù)值；（3對以上兩類函數(shù)值進行比較即得。對以上兩類函數(shù)值進行比較即得。32231)1(3232)(xxxxf令令0)( xf函數(shù)的不可導點為函數(shù)的不可導點為x = 0, 1 .322343221132)()(xxxx解解得駐點得駐點22x函數(shù)函數(shù)f (x)在區(qū)間端點、駐點以及不可導點處的函數(shù)值為：在區(qū)間端點、駐點以及不可導點處的函數(shù)值為：,)(,)(333422342ff比較之，得最大值：比較之，得最大值：34最小值：最小值：33341110)(,)(ff注注1：一般地說，若函數(shù)：一般地說，若函數(shù)f (x)的最大的最大(小小)值是在區(qū)間值是在區(qū)

17、間(a, b)內(nèi)取得，則該最大小值必為極大小值，內(nèi)取得，則該最大小值必為極大小值， 注注2：在實際問題中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)，就可：在實際問題中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)，就可 斷定斷定此時，如果確定此時，如果確定f (x)在這個區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點在這個區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點x0（或?qū)?shù)不存在的點），（或?qū)?shù)不存在的點），可導函數(shù)可導函數(shù)f (x)在其區(qū)間內(nèi)部確有最大值或最小值），在其區(qū)間內(nèi)部確有最大值或最小值），那么，這個點就是函數(shù)的最值點那么，這個點就是函數(shù)的最值點問底面半徑如何選取，問底面半徑如何選取， 例例9 9 做一個圓柱形罐頭，其容積做一個圓柱形罐頭，其容積 是一個常量是一個常量V。 S

18、=2r2 +2rh 解解 設罐頭的底面半徑為設罐頭的底面半徑為r，由題設由題設 r2h=V，即，即0,22)(2rrVrrSS 2322424)(rVrrVrrS 2rVh代入上式得，代入上式得，才能使用料最省即表面積最?。?？才能使用料最省即表面積最小）？令令, 0)( rs得唯一駐點得唯一駐點302Vr 因此因此S(r)的最小值必在的最小值必在r=r0處取得。此時處取得。此時032024rVrVh 即當罐頭的高與底面直徑相等時，用料最省。即當罐頭的高與底面直徑相等時，用料最省。 例例10 10 甲船位于乙船以東的甲船位于乙船以東的7575海里處，海里處，以每小時以每小時12海里的速度向西行駛

19、，海里的速度向西行駛，乙船以每小時乙船以每小時6海里的速度向北行駛，海里的速度向北行駛，問經(jīng)過幾小時兩船相距最近？問經(jīng)過幾小時兩船相距最近？解解 在時刻在時刻t 時，兩船相距時，兩船相距22)6()1275()(tttS求求S (t) 的最小值，的最小值，令令), 0(,)6()1275()()(222ttttStf)5(3606)6(2)12)(1275(2)(ttttf兩船相距最近。兩船相距最近。 75北北東東6S12t = 5為為(0, +)內(nèi)的唯一駐點。所以，經(jīng)過內(nèi)的唯一駐點。所以，經(jīng)過5小時，小時，也就是求也就是求S 2 (t)的最小值，如圖的最小值，如圖 函數(shù)的作圖函數(shù)的作圖利用初

20、等描點作圖可以繪出函數(shù)的大體形狀，一般來說，描點越多，作出的圖形越準確，但也存在缺陷。1) 選點帶有一定的盲目性,往往漏掉某些關鍵點.下面我們借助微分學的知識,來深入研究函數(shù)整體形態(tài),一. 曲線的凹凸性與拐點但僅是這些還不能比較準確的描繪出函數(shù)的研究圖形。2) 選點少了,不能準確的確定函數(shù)的彎曲方向,選多了,計算較復雜從而比較準確作出函數(shù)圖形.函數(shù)的單調(diào)性與極值,對于了解函數(shù)的圖形,是有很大的幫助,例如 在a，b上雖然都是單調(diào)增加，但圖形卻有顯著不同。212xyxy2xy 是上凹的曲線弧)2(21xxf1x2xyOx21xy 是下凹的曲線弧)2(2)()(2121xxfxfxf)2(2)()(

21、2121xxfxfxf2)()(21xfxf1x2xyOx則稱該曲線段是凸弧或向上凸的），如圖yOx凹：0)( xfyOx凸：0)( xf給出判定曲線凹凸性的判別法。定義定義1 設曲線設曲線y=f (x) 上各點處都有不垂直于上各點處都有不垂直于x軸的切線，軸的切線，若這段曲線總位于曲線上每一點切線的上方，則稱該曲線段是凹弧或向上凹的）；若這段曲線總位于曲線上每一點切線的下方，下面借助于二階導函數(shù)的符號，設函數(shù)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)具有二階導數(shù)。 此時稱區(qū)間a, b為曲線的凸區(qū)間。例例1 1 討論曲線討論曲線3xy 的凹凸性。解.0|,6,302 xyxyxy當x 0時，y 0時，

22、y 0, 所以曲線在0, +)上是凹弧。（ii如果在(a, b)內(nèi)f (x) 0，于是，曲線的凹區(qū)間為 (, 0，凸區(qū)間為0, + ) 。 定義定義2 2注意：拐點是曲線上的點)(,(00 xfx當x 0, 所以曲線在(, 0上是凹?。划攛 0時，y 0, 所以曲線在0, + )上是凸弧。解. )0(,92,313232 xxxyxy例2 求曲線的凹凸區(qū)間。3xy連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點。符號相同，則點(x0 , f (x0)不是拐點。 例1中，點0，0是曲線y = x3上凹弧與凸弧的分界點，因此是曲線的拐點，在該點處，y=0；例2中，（0，0點是曲線的拐點，在該點處y不存在

23、。 因而，曲線y = f (x)的拐點的橫坐標只能是使f (x) = 0的點或f (x)不存在的點。求連續(xù)曲線的拐點的方法如下：（i求出所有使函數(shù)f (x) 的二階導數(shù)f (x) = 0的點和f (x)不存 在的點；（ii對于i中所求出x0，若f (x)在x0兩側(cè)符號相反，則點(x0 , f (x0)是曲線的拐點；若f (x)在x0的兩側(cè)例3 討論曲線32)1(xxy的凹凸性及拐點。解 函數(shù)的定義域為（ ）。,31323235xxy令y = 0，得51x當x = 0時，y 不存在。列表討論如下：xy y)51,(51)0 ,51(0), 0( 0+不有拐點無拐點于是，曲線在51,(上是凸弧，在

24、),51是凹??；拐點為)25156,51(3.343192910 xxy二、漸近線為曲線的漸近線。 漸近線有以下三種：假如Axfx)(lim或Axfx)(lim（A為常數(shù)），則稱直線 y =A為曲線)(xfy水平的漸近線。（ii垂直漸近線則稱直線x = x0為曲線（iii斜漸近線：斜漸近線)(limaxxfbx若曲線上一動點M無限遠離原點時，某一固定直線L的距離趨近于零，（i水平漸近線：)(lim00 xfxx或)(lim00 xfxx假如,)(limxxfax稱該漸近線為曲線y = f (x)的斜漸近線。a 0 時，設直線Y = ax +b是曲線y = f (x)的漸近線。y = f (x)

25、的垂直漸近線。則稱該直線L定義定義3 3動點M到例例4 4 求曲線求曲線的漸近線。)2() 1(3xxxy解 由于,)2()1(lim30 xxxx所以x=0,x =2是曲線的兩條垂直漸近線。) 2() 1(lim3xxxxbx于是，y = x 1是曲線的斜漸近線又,11)2()1(lim3xxxxax)2() 1(lim32xxxx1) 2() 2() 1(lim23xxxxxx(2) 確定函數(shù)的連續(xù)區(qū)間及間斷點；三、函數(shù)作圖三、函數(shù)作圖函數(shù)作圖的一般步驟：(1) 確定函數(shù)f (x)的初等性質(zhì)：定義域、奇偶性、周期性等；必要時，可根據(jù)函數(shù)表達式補充一些點。(3) 求出f (x)，討論曲線的增

26、減性與極值；(4)求出f (x)，討論曲線的凹凸性與拐點；(5) 考察曲線的漸近線；(6) 確定曲線的某些特殊點 （比如，曲線與坐標軸的交點等）. (7) 繪出函數(shù)圖形。例例5 5 作出函數(shù)作出函數(shù)2xey的圖形。在此區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且為偶函數(shù)，圖形關于y軸對稱。.22,0 xy得令(3) 列表討論由對稱性，僅討論x0, +）的情形）：解 （1函數(shù)的定義域為（ ），（2）. ,22xxey；得令0, 0 xy拐點00)22, 0(22),22(極大值),22(21e1xyy y0+)12(222 xeyx（4） 因為因為0lim2xxe，所以，所以y=0是水平漸近線。是水平漸近線。正態(tài)分布曲正態(tài)

27、分布曲 線或高斯曲線。線或高斯曲線。（5作圖作圖 由以上討論可作出曲由以上討論可作出曲 線在線在0，+）內(nèi)的圖形，）內(nèi)的圖形，再由對稱性可得全圖再由對稱性可得全圖. 該曲線在概率論中也稱為該曲線在概率論中也稱為),22(21e是拐點是拐點Oyx2222例例6 繪繪 的圖形的圖形2)1 (xxy解：解： 定義域定義域),1()1 ,(42)1 ()1(2)1 (xxxxy33)1(1)1(21xxxxx1x0 y令令623)1 ()1)(1 ( 3)1 (xxxxy 2x令令0 y)2,(1), 1 ( ) 1, 2(2) 1 , 1(1)(xf )(xf )(xf211)1(lim)(limx

28、xxfxx44)1 (24)1 (33)1 (xxxxx0)(limxfx1x垂直漸近線垂直漸近線0y水平漸近線水平漸近線10yx21例例 作函數(shù)作函數(shù) 的圖形的圖形xxy12解：定義域解：定義域), 1()1,(3422)1 (2)1 ()1 (2)2()1)(22(xxxxxxxy 2222)1 (2)1 ()1 (2xxxxxxxy0 y令令2x0 x1x當當y y不存在不存在)2,(0), 0() 1, 2(2)0 , 1(1)(xf )(xf )(xf極大極小漸近線漸近線xxx1lim211x垂直漸近線垂直漸近線xxx1lim2無水平漸近線無水平漸近線1)1(lim)(lim21ax

29、xxaxxfbxx11lim)(lim2xxxxfaxx斜漸近線斜漸近線 1xy402第四節(jié)第四節(jié) 未定式的極限未定式的極限)(xf)(xg如果在同一極限過程中如果在同一極限過程中,兩個函數(shù)兩個函數(shù) , 都是無都是無窮小量或都是無窮大量窮小量或都是無窮大量,那么那么 可能存在也可能存在也可能不存在可能不存在.通常稱這種類型的極限為未定式的極限通常稱這種類型的極限為未定式的極限. )()(limxgxf一一. 未定式未定式 型的極限型的極限00定義定義,且滿足且滿足0)(lim0 xgxx10 0)(lim0 xfxx0 x定理定理 設函數(shù)設函數(shù) 和和 在點在點 的某一去心鄰域內(nèi)有的某一去心鄰域

30、內(nèi)有)(xg)(xf在在 的某一去心鄰域內(nèi)存在的某一去心鄰域內(nèi)存在,且且0 x0)( xg)()()(lim300或或Axgxfxx)(xg)(.20 xf和和則有則有）或或 ()()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx0 x)(xf)(xg可以補充或改變可以補充或改變 及及 在在處的函數(shù)值處的函數(shù)值,使使f(x0)=g(x0)=0 0 x)(xg)(xf的極限的極限 與與 及及 在在 )()(xgxf設設x 為為x0 的鄰域內(nèi)異于的鄰域內(nèi)異于x0 的任一點的任一點,利用柯西定理利用柯西定理,在以在以x0 為端點構(gòu)成的閉區(qū)間上為端點構(gòu)成的閉區(qū)間上,處的函數(shù)值無關處的函數(shù)值無關,

31、所以所以,0 xx證明證明 由于當由于當 時時,則則f(x)和和 g(x) 就在點就在點x0處連續(xù)處連續(xù))()()()()()()()(00 gfxgxgxfxfxgxf ( 介于介于 與與 之間之間) 0 xx)()(lim0 xgxfxx則得則得)()(lim)()(lim00 xgxfgfxxx 0 x 對上式取極限并注意到當對上式取極限并注意到當 時時0 xx得得0 xx令令 ,2coslim0 xeexxx例例1 )00(sinlim0型型xeexxxxxx2)1(lim10例例220)1ln(limxxx)00(型型)00(型型616sinlim0 xxx例例3 xxeexxx2s

32、in0sinlimxxeexxxx2sinsin0sin1lim30sinlimxxxx203cos1limxxx洛比達法則可以連續(xù)使用洛比達法則可以連續(xù)使用例例5)00(123lim2331型型xxxxxx23266lim12333lim1221xxxxxxx11lim111lim2222xxxxxx例例4型型）00(1arctan2limxxx mnxnxmnmx1111111lim例例6型型）00(11lim1nmxxx二二 未定式未定式 型的極限型的極限定義定義,且滿足且滿足)(lim0 xgxx10 )(lim0 xfxx20 和和 在在 的某一去心鄰域內(nèi)存在的某一去心鄰域內(nèi)存在,且

33、且)(xf)(xg0 x0)( xg)()(lim0 xgxfxx30 存在存在(或或為為 )則有則有）或或 ()()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxxx對于對于 時的未定式時的未定式 同樣適用同樣適用0 x定理定理 設函數(shù)設函數(shù) 和和 在點在點 的某一去心鄰域內(nèi)有的某一去心鄰域內(nèi)有)(xg)(xf例例82coslim2)2( xxx型型）(tan)2ln(lim)2(xxx xxx2)2(sec21lim 01lim1lim1nxnxnxnxx例例9) 0(lnlimnxxnx例例100!limlim1xnxxnxenenx xnxex lim01sincos2lim)2(

34、xxx )0( xnexx ln當當 x 充分大時，有充分大時，有例11)1ln()1ln(lim102xxxxx注意注意 ：1認真審查計算的極限是否是未定式，若不是未定認真審查計算的極限是否是未定式，若不是未定式則不能用洛比達法則，否則將得出錯誤的結(jié)論。式則不能用洛比達法則，否則將得出錯誤的結(jié)論。1222coslim2sinlim00 xexxexxxx20coslimxxexx事實上事實上xxexxexxxx2sinlimcoslim02051)1(110)1(12lim1092xxxxxxx2解題過程中注意及時化簡函數(shù)式如約去零因子，提出能確定極限值非零的部分，且注意與其它求極限的方法結(jié)

35、合起來。3洛比達法則的條件是充分條件，而不是必要條件即當 不存在時，不能斷定 不存在)()(limxgxf)()(limxgxf例1cos1limsinlimxxxxxx不存在但11sin1limsinlimxxxxxxx再如 用洛比達法則不存在xxxxsin1sinlim20事實上01sinsinlimsin1sinlim020 xxxxxxxxx4反復應用洛比達法則，若出現(xiàn)循環(huán)，要停止使用。例xxxxxeeeelim三. 其它未定式的極限0010010)()(0)(0 xxxxgxf或或)00()(1)()()(型型xgxfxgxf2020)()()(0 xxxxgxf或或)()(1)(1

36、)(1)(11)(11)()(xfxgxfxgxgxfxgxf型型）00(301000)(ln)(ln)(1)(0)()(0)(0)()()(xfxgyxgxfxgxfxgxfxgxfy)(1)(lnlim)(ln)(limlnlimxgxfxfxgy0lim1limlnlim0100 xxxxxxxx例例1xxxlnlim0 例例2)ln11(lim1xxxxxxxxxxln) 1(1lnlim10 xxxxx1)1(lnlnlim1例例3)cossin1(lim2xxx )()tan(seclim2xxx 例例4xxx0limxxylnln令令xxy 011lim1lnlimlnlim20

37、00 xxxxxxxxx10lim0exxx21111lim21xxxx0)sincos(lim2xxx )cossincos1(lim2xxxx 例例11sincoslim) 1ln(sin1lim00 xxxxxxxxx1) 1ln(sinlim0例例xxexxxnnxnlnlimlimlim而而1lim0lnlnlimeeexxxxxx1limnnn5 泰勒定理)()()()(0000 xxoxxxfxfxf一、泰勒B.Taylor, 16851731,英國數(shù)學家定理微分部分：)()()(000 xxxfxfxf，誤差較大，精確度不高。猜測：)()()(0nnxxoxpxf 定理定理1

38、1泰勒定理設函數(shù)泰勒定理設函數(shù)f (x)f (x)在含有點在含有點x0 x0的某個開區(qū)間的某個開區(qū)間(a, b)(a, b)內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到(n+1)(n+1)階的導數(shù)，則當階的導數(shù)，則當x x(a, b)(a, b)時，有時，有)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR這里 是介于x0與x之間的一個實數(shù)。（1）（2）稱公式1為f (x)按(xx0)的冪展開到n階的泰勒公式，也稱為f (x)在點x0展開的n階泰勒展開式或泰勒公式。 其中Rn(x)稱為泰勒公式的余項，公式2所

39、表示的余項稱為拉格朗日余項。nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 多項式稱為f (x)在x0點的n次泰勒多項式。注1：在泰勒公式1中，若取n=0，則公式變?yōu)槔窭嗜展剑?即)(,)()()(000之間與介于xxxxfxfxf因而，泰勒定理是拉格朗日定理的推廣。注2：用泰勒多項式近似表示函數(shù)f (x)時，產(chǎn)生的誤差為 |Rn (x)|。 如果對于某個固定的n，有| f (n+1) (x)| MM為正常數(shù)），那么 有估計式1010)1(|)!1()()!1()(| )(|nnnnxxnMxxnfxR定理定理5 5 設函數(shù)在點設函數(shù)在點x

40、 0 x 0處有直到處有直到n n階的導數(shù)，則有階的導數(shù)，則有)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中)(, )()(00 xxxxoxRnn（3）（4） 公式3稱為具有皮亞諾G.Peano,18581932，意大利數(shù)學家、邏輯學家型余項的n階泰勒公式，也稱為f (x)在x0處的n階局部泰勒公式，（4式表示的余項稱為皮亞諾余項。二、麥克勞林二、麥克勞林(C.Maclaurin,16981746,(C.Maclaurin,16981746,蘇格蘭數(shù)學家蘇格蘭數(shù)學家) )展開式展開式在泰勒公式1及3中，若令x0 = 0，則得)

41、(!)0(! 2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn （5）其中1)1()!1()()(nnnxnfxR1)1()!1()(nnxnxf（6）介于0與x之間，. 10或)()(nnxoxR（7） 公式5稱為f (x)的n階麥克勞林展開式或n階麥克勞林公式。公式5中，R n (x)若用6式表示，則稱5為具有拉格朗日型余項的麥克勞林公式；R n (x)若用7式表示，則稱5）為具有皮亞諾型余項的麥克勞林公式，或稱為局部麥克勞林公式。nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 由5式得近似公式：相應地，誤差估計式變?yōu)椋?|)!1(| )(|nnxnMxR由

42、公式5），容易得出幾個常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式：. 10,) 1(! 21)(12nxnxxnenxxxei. 10),212sin()!12()!12() 1(! 5! 3sin)(1212153kxkxkxxxxxiikkk. ) 10(),222cos()!22()!2() 1(! 4! 21cos)(22242kxkxkxxxxiiikkk.0,)!1()1)() 1(!) 1() 1(! 2) 1(1)1 ()(112之間、介于為任意實數(shù)，xxnnxnnxxxivnnn.10,)1 (11) 1() 1(32)1ln()(11132nnnnnxnxnxxxxxv以下推證公式i），其余公式類似：令xexf)(，那么,)()()()(xnexfxfxf 從而，1)0()0()0(, 1)0()( nffff代入公式5得：例1 求xxfsin)(在4x處的三階泰勒公式。解4)4(32)4(! 4)()4(! 3)4()4(! 2)4()4)(4()4()( xfxfxfxffxfxxfxxfxxfxxfsin)(,cos)(,sin)(,cos)()4( .