蘇教版高中數(shù)學(xué)必修523等比數(shù)列等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

1、2.3.3 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課師 國(guó)際象棋起源于古代印度.相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者.這個(gè)故事大家聽(tīng)說(shuō)過(guò)嗎？ 生 知道一些，踴躍發(fā)言.師 “請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)格子里放上1顆麥粒，第二個(gè)格子里放上2顆麥粒，第三個(gè)格子里放上4顆麥粒，以此類推.每一個(gè)格子里放的麥粒都是前一個(gè)格子里放的麥粒的2倍.直到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”這就是國(guó)際象棋發(fā)明者向國(guó)王提出的要求.師 假定千粒麥子的質(zhì)量為40 g，按目前世界小麥年度產(chǎn)量約60億噸計(jì).你認(rèn)為國(guó)王能不能滿足他的要求？生 各持己見(jiàn).動(dòng)筆，列式，計(jì)算.生 能列出式子：麥粒的總數(shù)為1+2+22+263=?師 這是一個(gè)什么樣的

2、問(wèn)題？你們計(jì)算出結(jié)果了嗎？讓我們一起來(lái)分析一下.課件展示：1+2+22+2 63=?師 我們將各格所放的麥粒數(shù)看成是一個(gè)數(shù)列，那么我們得到的就是一個(gè)等比數(shù)列.它的首項(xiàng)是1，公比是2，求第1個(gè)格子到第64個(gè)格子所放的麥粒數(shù)總和，就是求這個(gè)等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和.現(xiàn)在我們來(lái)思考一下這個(gè)式子的計(jì)算方法：記S=1+2+22+23+2 63，式中有64項(xiàng)，后項(xiàng)與前項(xiàng)的比為公比2，當(dāng)每一項(xiàng)都乘以2后，中間有62項(xiàng)是對(duì)應(yīng)相等的，作差可以相互抵消.課件展示：S=1+2+22+23+2 63,2S=2+22+23+263+264,-得2S-S=2 64-1.264-1這個(gè)數(shù)很大，超過(guò)了1.8410 19，假定千

3、粒麥子的質(zhì)量為40 g，那么麥粒的總質(zhì)量超過(guò)了7 000億噸.而目前世界年度小麥產(chǎn)量約60億噸，因此，國(guó)王不能實(shí)現(xiàn)他的諾言.師 國(guó)王不假思索地給國(guó)際象棋發(fā)明者一個(gè)承諾，導(dǎo)致了一個(gè)很不幸的后果的發(fā)生，這都是他不具備基本的數(shù)學(xué)知識(shí)所造成的.而避免這個(gè)不幸的后果發(fā)生的知識(shí)，正是我們這節(jié)課所要探究的知識(shí).推進(jìn)新課合作探究師 在對(duì)一般形式推導(dǎo)之前，我們先思考一個(gè)特殊的簡(jiǎn)單情形：1+q+q2+qn=？師 這個(gè)式子更突出表現(xiàn)了等比數(shù)列的特征，請(qǐng)同學(xué)們注意觀察.生 觀察、獨(dú)立思考、合作交流、自主探究.師 若將上式左邊的每一項(xiàng)乘以公比q，就出現(xiàn)了什么樣的結(jié)果呢？生 q+q2+qn+q n+1.生 每一項(xiàng)就成了它

4、后面相鄰的一項(xiàng).師 對(duì)上面的問(wèn)題的解決有什么幫助嗎？師 生共同探索：如果記Sn=1+q+q2+qn,那么qSn=q+q2+qn+q n+1.要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)Sn=1-qn.師 提問(wèn)學(xué)生如何處理，適時(shí)提醒學(xué)生注意q的取值.生 如果q1，則有.師 當(dāng)然，我們還要考慮一下如果q1問(wèn)題是什么樣的結(jié)果.生 如果q1，那么Sn=n.師 上面我們先思考了一個(gè)特殊的簡(jiǎn)單情形，那么，對(duì)于等比數(shù)列的一般情形我們?cè)鯓铀伎?？課件展示：a1+a2+a3+an=？教師精講師 在上面的特殊簡(jiǎn)單情形解決過(guò)程中，蘊(yùn)含著一個(gè)特殊而且重要的處理問(wèn)題的方法，那就是“錯(cuò)位相減，消除差別”的方法.我們將這

5、種方法簡(jiǎn)稱為“錯(cuò)位相減法”.師 在解決等比數(shù)列的一般情形時(shí)，我們還可以使用“錯(cuò)位相減法”.如果記Sn=a1+a2+a3+an,那么qSn=a1q+a2q+a3q+anq,要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.師 再次提醒學(xué)生注意q的取值.如果q1，則有.師 上述過(guò)程如果我們略加變化一下，還可以得到如下的過(guò)程：如果記Sn=a1+a1q+a1q2+a1q n-1,那么qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如果q1，則有.師 上述推導(dǎo)過(guò)程，只是形式上的不同，其本質(zhì)沒(méi)有什么差別，都是用的“錯(cuò)

6、位相減法”. 形式上，前一個(gè)出現(xiàn)的是等比數(shù)列的五個(gè)基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四個(gè)；后者出現(xiàn)的是a1,q,Sn,n四個(gè)，這將為我們今后運(yùn)用公式求等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和提供了選擇的余地. 值得重視的是：上述結(jié)論都是在“如果q1”的前提下得到的.言下之意，就是只有當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q1時(shí)，我們才能用上述公式.師 現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們想一想，對(duì)于等比數(shù)列的一般情形，如果q1問(wèn)題是什么樣的結(jié)果呢？ 生 獨(dú)立思考、合作交流.生 如果q1，Sn=na1.師 完全正確.如果q1，那么Sn=nan.正確嗎？怎么解釋？生 正確.q1時(shí)，等比數(shù)列的各項(xiàng)相等，它的前n項(xiàng)的和等于它的任一項(xiàng)的n倍.師 對(duì)

7、了，這就是認(rèn)清了問(wèn)題的本質(zhì).師 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)還有其他的方法，下面我們一起再來(lái)探討一下：合作探究思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們有：,再由合比定理，則得,即,從而就有(1-q)Sn=a1-anq.(以下從略)思路二：由Sn=a1+a2+a3+an得Sn=a1+a1q+a2q+a n-1q=a1+q(a1+a2+a n-1)=a1+q(Sn-an),從而得(1-q)Sn=a1-anq.(以下從略)師 探究中我們們應(yīng)該發(fā)現(xiàn)，Sn-S n-1=an是一個(gè)非常有用的關(guān)系，應(yīng)該引起大家足夠的重視.在這個(gè)關(guān)系式中，n的取值應(yīng)該滿足什么條件？生 n1.師 對(duì)的，請(qǐng)同學(xué)們今后多多關(guān)注這個(gè)關(guān)系式：

8、Sn-S n-1=an，n1.師 綜合上面的探究過(guò)程，我們得出：或者例題剖析【例題1】 求下列等比數(shù)列的前8項(xiàng)的和：(1),；(2)a1=27,a9=,q0.合作探究師生共同分析：由(1)所給條件，可得，,求n8時(shí)的和，直接用公式即可.由(2)所給條件，需要從中獲取求和的條件，才能進(jìn)一步求n8時(shí)的和.而a9=a1q8，所以由條件可得q8= =，再由q0，可得，將所得的值代入公式就可以了.生 寫(xiě)出解答：(1)因?yàn)?，所以當(dāng)n8時(shí)，.(2)由a1=27,，可得，又由q0，可得,于是當(dāng)n8時(shí)，.【例題2】 某商場(chǎng)今年銷售計(jì)算機(jī)5 000臺(tái)，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起

9、，大約幾年可使總銷售量達(dá)到30 000臺(tái)(結(jié)果保留到個(gè)位)？師 根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，從中抽象出等比數(shù)列，并明確這是一個(gè)已知Sn=30 000求n的問(wèn)題.生 理解題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，并找出等比數(shù)列中的基本量，列式，計(jì)算.解：根據(jù)題意，每年的銷售量比上一年增加的百分率相同，所以，從今年起，每年銷售量組成一個(gè)等比數(shù)列an，其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.于是得到,整理得1.1n=1.6,兩邊取對(duì)數(shù)，得nlg1.1=lg1.6,用計(jì)算器算得5(年).答：大約5年可以使總銷售量達(dá)到30 000臺(tái).練習(xí)：教材第66頁(yè)，練習(xí)第1、2、3題.課堂小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)；特別是在推導(dǎo)過(guò)程中，學(xué)到了“錯(cuò)位相減法”.2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.因?yàn)楣缴婕暗降缺葦?shù)列的基本量中的4個(gè)量，一般需要知道其中的3個(gè)，才能求出另外一個(gè)量.另外應(yīng)該注意的是，由于公式有兩個(gè)形式，在應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)題意所給的條件，