線性系統(tǒng)的根軌跡法4學時

1、 第4章 線性系統(tǒng)的根軌跡法（4學時）【主要講授內容】4.1 根軌跡法的基本概念4.2 根軌跡繪制的基本法則4.3 系統(tǒng)性能分析4.4 控制系統(tǒng)復域設計【重點與難點】1、重點：由根軌跡分析系統(tǒng)性能。2、難點：廣義根軌跡的分析與應用。 【教學要求】1、了解根軌跡法的概念；2、掌握根軌跡方程以及繪制根軌跡的基本法則；3、會用根軌跡法分析系統(tǒng)；4、掌握主導極點的概念及其應用；5、會用MATLAB繪制根軌跡【實施方法】課堂講授，PPT配合4.1根軌跡法的基本概念根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數由零變化到無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根（閉環(huán)極點）在平面上變化的軌跡, 它是一種由開環(huán)傳函求閉環(huán)特征根的圖解方法。利

2、用根軌跡法可以研究系統(tǒng)某個參數的變化對控制系統(tǒng)閉環(huán)傳函數極點分布的影響?？梢愿鶕壽E決定反饋控制系統(tǒng)的型別，根據系統(tǒng)的型別和開環(huán)增益就可以決定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。分析表明:根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著密切的聯(lián)系. 所謂根軌跡法就是根據系統(tǒng)的結構、參數(即系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數)給出系統(tǒng)的根軌跡圖，并利用系統(tǒng)根軌跡對系統(tǒng)進行分析和設計。 由此可見，根軌跡法的關鍵是先要給出系統(tǒng)的根軌跡圖。4.2根軌跡繪制的基本法則根軌跡是系統(tǒng)所有閉環(huán)極點的集合。我們以圖4-1所示系統(tǒng)為例說明: 圖4-1 控制系統(tǒng)框圖 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為:令閉環(huán)傳遞函數表達式的分母為零，得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程:上式為根軌跡方程，其實質就是系統(tǒng)

3、的閉環(huán)特征方程。根軌跡上的點應同時滿足的兩個條件：幅值條件和相角條件。由于幅值條件與有關，而相角條件與無關，所以滿足相角條件的任一點，代入幅值條件總可以求出一個相應的值，也就是說滿足相角條件的點，必同時滿足幅值條件。所以相角條件是確定平面上根軌跡的充要條件。注意：繪制根軌跡時，只需要使用相角條件，只有當需要確定根軌跡上各點的對應的值時，才使用幅值條件。 常規(guī)根軌跡及其繪制繪制根軌跡時，需將開環(huán)傳遞函數化為用零、極點表示的標準形式以根軌跡增益或開環(huán)增益為可變參數繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡（常見情況）。 法則1 根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。對于實際的物理系統(tǒng)，開環(huán)零點數m一般小于或等于開

4、環(huán)極點數n。 當 m<n 時 可認為有條根軌跡的終點位于無窮遠處 當 m>n 時可認為有條根軌跡的起點在無窮遠處 法則2 根軌跡的分支數與開環(huán)有限零點數和有限極點數 中的大者相等，它們是連續(xù)的并且對稱于實軸。 根軌跡的漸近線漸近線可認為是Kg、s 時的根軌跡。漸近線的數目等于趨向無窮遠處根軌跡的分支數。法則3 當開環(huán)有限極點數大于開環(huán)有限零點數時，有條根軌跡分支沿著與實軸交角為、交點為的一組漸近線趨向無窮遠處，且有法則4 實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數零、極點個數之和為奇數，則該區(qū)域必是根軌跡。 根軌跡的分離點法則5 兩條或兩條以上根軌跡分支在平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌

5、跡的分離點（或會合點），分離點坐標由下式決定：法則6 始于開環(huán)復數極點處的根軌跡的出射角和止于開環(huán)復數零點處的根軌跡的入射角可分別按下式計算:法則7 若根軌跡與虛軸相交，則交點處的Kg值和值可用勞斯判據確定，也可令閉環(huán)特征方程中的，然后分別令其實部和虛部為零而求得。 閉環(huán)極點的和與積 法則8 在的情況下，閉環(huán)n個極點之和滿足；閉環(huán)個極點之積滿足。 開環(huán)根軌跡增益g的求取根軌跡上任意點的值，可由根軌跡方程的幅值條件在根軌跡上圖解求取。根軌跡的幅值條件為：由此可得：所以利用上式，在根軌跡上用圖解法可求出任意點的值。 繪制根軌跡的一般步驟在已知系統(tǒng)的開環(huán)零、極點的情況下，利用以上繪制根軌跡的基本法則

6、就可以迅速準確地確定出根軌跡的主要特征和大致圖形。如果需要，再利用根軌跡方程的相角條件。利用試探法確定若干點，就可以繪制出準確的根軌跡。繪制概略根軌跡的一般步驟為：第一步：根據給定的開環(huán)傳遞函數，求出開環(huán)零、極點，并把它們標在復平面上；第二步：確定實軸上的根軌跡；第三步：確定根軌跡的漸近線；第四步：確定根軌跡的分離點(會合點)。第五步：計算根軌跡的出射角和入射角；第六步：確定根軌跡與虛軸的交點；第七步：大體繪出根軌跡的概略形狀；第八步：必要時，對根軌跡進行修正，以畫出系統(tǒng)精確根軌跡。需要注意的是，在根軌跡繪制過稱中，由于需要對相角和模值進行圖解測量，所以橫坐標軸與縱坐標軸必須采用相同的坐標比例

7、尺。廣義根軌跡及其繪制在控制系統(tǒng)中，除根軌跡增益Kg（或開環(huán)增益K）外，其他情形下的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。參數根軌跡的繪制法則與常規(guī)根軌跡完全相同，但在繪制之前需要對閉環(huán)特征方程進行等效變換。假設系統(tǒng)除Kg外的任意變化參數為A，則需要用閉環(huán)特征方程中不含有A的各項去除該方程，使原特征方程式變?yōu)榈男问健?式中為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數，它具有如下形式若研究的控制系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)（在右半s平面具有開環(huán)零、極點的系統(tǒng)）或正反饋系統(tǒng)，繪制根軌跡時，其相角遵循的條件，而不是常規(guī)根軌跡遵循的，故一般稱為零度根軌跡。法則 3 漸近線與與實軸的交角應改為 法則 4 根軌跡在實軸上的分布應改為：實軸上的某一

8、區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數零、極點個數之和為偶數，則該區(qū)域必是根軌跡。法則5始于開環(huán)復數極點處的根軌跡的出射角和止于開環(huán)復數零點處的根軌跡的入射角可分別按下式計算除以上三個法則外，其他法則不變。4.3 系統(tǒng)性能分析得到了系統(tǒng)的根軌跡，就可以用它來分析控制系統(tǒng)的性能，即通過系統(tǒng)根軌跡的形狀、走向和一些關鍵點（如與虛軸的交點，與實軸的交點等）等，對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)特性和動態(tài)特性進行分析。 基于根軌跡的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)極點均在平面的左半平面，而根軌跡是所有閉環(huán)極點的集合，因此，只要控制系統(tǒng)的根軌跡位于平面的左半平面，控制系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定的。當系統(tǒng)的參數變化引

9、起系統(tǒng)的根軌跡從左半平面變化到右半平面時，系統(tǒng)從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，根軌跡與虛軸交點處的參數值就是系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界值。 因此，根據根軌跡與虛軸的交點可以確定保證系統(tǒng)穩(wěn)定的參數取值范圍。根軌跡與虛軸之間的相對位置，反映了系統(tǒng)穩(wěn)定程度的大小，根軌跡越是遠離虛軸，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越大，反之則越小。 基于根軌跡的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析利用誤差系數得到典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差： 基于根軌跡的系統(tǒng)動態(tài)性能分析根軌跡法的基本任務就是根據已知開環(huán)零、極點的分布及開環(huán)根軌跡增益，通過圖解的方法找出系統(tǒng)的閉環(huán)極點。由系統(tǒng)的根軌跡圖確定指定Kg值（或KK值）時的閉環(huán)極點，一般是根據根軌跡方程的幅值條件采用試探法確定。一旦閉環(huán)

10、零點、極點都確定了，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數也就確定了，于是就可采用拉氏變換法或直接利用計算機求解得到閉環(huán)系統(tǒng)的時間響應，從時間響應就可以得到各項性能指標。 增加零、極點對根軌跡的影響在開環(huán)傳遞函數中增加極點，可以使根軌跡向右方移動，從而降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)響應的調整時間（注意，增加積分控制相當于增加位于原點的極點，因此降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性）。在開環(huán)傳遞函數中增加零點，可以導致根軌跡向左方移動，從而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)響應的調整時間。4.4 控制系統(tǒng)復域設計用MATLAB繪制根軌跡利用MATLAB產生根軌跡是非常簡單的。在應用MATLAB畫根軌跡時，需要將根軌跡方程（閉環(huán)特征方程）寫成如下形式通常采用下列MATLAB命令畫根軌跡：rlocus(num,den) 其中,num和den分別為多項式P(s)和Q(s)的系數向量。利用該命令，可以在屏幕上得到畫出的根軌跡圖，增益向量自動確定。對于定義在狀態(tài)空間內的系統(tǒng)，則采用下列命令rlocus(A,B,C,D) 如果用戶需要自己定義增益向量，則上述命令相應變?yōu)閞locus(num,den,K) 及 rlocus(A,B,C,D,K)若引入左端變量，即r,K=rlocu