輔助圓解題精講

1、第二十五講輔助圓在處理平面幾何中的許多問(wèn)題時(shí)，常需要借助于圓的性質(zhì)，問(wèn)題才得以解決.而我們需要的圓并不存在（有時(shí)題設(shè)中沒(méi)有涉及圓；有時(shí)雖然題設(shè)涉及圓，但是此圓并不是我們需要用的圓），這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實(shí)際存在的圓找出來(lái)，添補(bǔ)輔助圓的常見(jiàn)方法1利用圓的定義添補(bǔ)輔助圓；2作三角形的外接圓；3運(yùn)用四點(diǎn)共圓的判定方法：（1）若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.（2）同底同側(cè)張等角的三角形，各頂點(diǎn)共圓.（3）若四邊形ABCD勺對(duì)角線相交于P,且PA-PC=PBPD,則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.（4）若四邊形ABCD的一組對(duì)邊ABDC的延長(zhǎng)線相交于P,且PA-PB=PC-PD,

2、則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.【例題求解】一利用圓的定義添加輔助圓【例1】如圖，若PA=PB/APB=2/ACBAC與PB交于點(diǎn)P,且PB=4,PD=3,貝UAD-DC等于（）A6B7C12D16思路點(diǎn)撥作出以P點(diǎn)為圓心、PA長(zhǎng)為半徑的圓，為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件.變式練習(xí)：5.如圖，在等腰梯形ABCD中,AB/CDAB=998,CD=1001,注：到一個(gè)定點(diǎn)等距離的幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法.變式練習(xí)：如圖，已知OA=OB=QC且/AOB=k/BOC則/ACB是/BAC的（）A-k倍B.是k倍C2kD丄2k作三角形的外接圓【例2】如圖，在ABC中，AB=AC任意延長(zhǎng)C

3、A到P,再延長(zhǎng)AB到Q使AP=BQ求證:ABC的外心Q與A,P,Q四點(diǎn)共圓.思路點(diǎn)撥先作出ABC的外心Q,連PQQQ將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明角相等.滿足條件的/BPC=90的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A0B1C21D.不小于3的整數(shù)全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）三四點(diǎn)共圓DEEF,求證：日是厶DEF的內(nèi)心.1若有一個(gè)四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓。變式練習(xí)：如圖，直線AB和AC與OO分別相切于B、C,分別為4cm、6cm,那么P到BC的距離為（【例3】如圖；已知H是厶ABC三條高的交點(diǎn)，連結(jié)DF,全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）A思路點(diǎn)撥連DF,EF,尋找PDPEPF之間的關(guān)系，證明PDFAPFE而發(fā)現(xiàn)P、DBF與P、E

4、、C、F分別共圓，突破角是解題的關(guān)鍵.注：圓具有豐富的性質(zhì)：（1）圓的對(duì)稱性；（2）等圓或同圓中不同名稱量的轉(zhuǎn)化；（3）與圓相關(guān)的角；（4）圓中比例線段.適當(dāng)發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質(zhì)的運(yùn)用創(chuàng)造了條件，圖中并不需畫(huà)出圓，可謂“圖中無(wú)圓，心中有圓”2同底同側(cè)有相等頂角的三角形，則各頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）【例4】如圖，在ABC中，高BE、CF相交于H,且/BHC=135,ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且GB=GC/BGC=3/A,連結(jié)HG求證：HG平分/BHF思路點(diǎn)撥經(jīng)計(jì)算可得/A=45°,AABEBFH皆為等腰直角三角形，只

5、需證/GHB*GHF=.由/BGC=MA=135°=ZGHC得BGH、C四點(diǎn)共圓，運(yùn)用圓中角轉(zhuǎn)化靈活的特點(diǎn)證明.注：許多直線形問(wèn)題借助輔助圓，常能降低問(wèn)題的難度，使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)解、巧解或新解.變式練習(xí)：已知等腰三角形ABC,AB=AC,AD垂直BC于D,DE垂直AC于E,F是DE中點(diǎn)，求證：AF垂直于BEo3把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；【例5】如圖，P是OO外一點(diǎn)，PA和PB是OO的切線，A,B為切點(diǎn)，PO與AB交于點(diǎn)M,即可肯定這四過(guò)M任作OO的弦CD求證：/CPO=/DPO4把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相

6、交的兩線段，點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積,點(diǎn)也共圓.【例6】如圖，P是O0外一點(diǎn)，PA切O0于A,PBC是OO的割線，AD丄P0于D.求證：更更PDCD思路點(diǎn)撥因所證比例線段不是對(duì)應(yīng)邊，故不能通過(guò)判定PBD與PCD相似證明.PA=PDPO=PBPCB、cOD共圓，這樣連OB就得多對(duì)相似三角形，以此達(dá)到證明的目的.注：四點(diǎn)共圓既是一類問(wèn)題，又是平面幾何中一個(gè)重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因?yàn)?，某四點(diǎn)共圓，不但與這四點(diǎn)相聯(lián)系的條件集中或轉(zhuǎn)移，而且可直接運(yùn)用圓的性質(zhì)為解題服務(wù).5五點(diǎn)共圓（7456）【例7】如圖，已知在凸四邊形A

7、BCDEK/BAE=3,BC=CD=DJE且/BCD=ZCDE=802.求證：/BAC=zCAD=/DAK（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）課外訓(xùn)練A組21. 如圖，正方形ABCD勺中心為0,面積為1989cm,P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且/OPB=45,PAPB=5:14,貝UPB的長(zhǎng)為.2. 如圖，在ABC中，AB=AC=2BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)R、P2，Pioo,記mjAR2BPiPiC(i=1,2,100),則m1m2m100=3. 設(shè)ABC三邊上的高分別為ADBECF,且其垂心H不與任一頂點(diǎn)重合，則由點(diǎn)AB、C、DE、F、H中某四點(diǎn)可以確定的圓共有（）DC(20006.如圖,TAD、BpcBE是銳角

8、三角形的兩條咼,A/1物B41第±世】2.1C.A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D336個(gè)4&如圖，已知ABC中，AH是高，AT是角平分線，且TD!AB,TE丄AC.求證:(1)/AHD=/AHE(2)BHBDCHCE（陜西省競(jìng)賽題）E,F,E比F離B更近，如果/BAE=CDEEAF=ZFDE證S1在凸四邊形ABCD的BC邊上取兩點(diǎn)明：/FACNEDB2如圖在ABC中，AB=ACD是BC邊上任意一點(diǎn)AD交與P試問(wèn)當(dāng)D在BC（除BC中點(diǎn)外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AD-AP的值有何變化請(qǐng)加以證明。13等邊ABC中，D,E分別是BC,CA邊上的點(diǎn)，且BD=CE=2CD.連接BE,CD交于P,證明:CP

9、垂直AD4如圖,NS是？0的直徑，弦AB垂直NS于MP為弧ANB上異于N的一點(diǎn)，PS交AB與R,PM的延長(zhǎng)線交？O與Q求證：RS>MQC組1.如圖，已知點(diǎn)P是OO外一點(diǎn)，PSPT是OO的兩條切線，過(guò)點(diǎn)P作OO的割線PAB交OOA、B兩點(diǎn)，與ST交于點(diǎn)C.求證：丄1（丄）PC2PAPB（國(guó)家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題）2.已知BE,CF是銳角ABC的兩條高，求證：ABE的平分線，ACF的平分線與線段EF的中垂線相交于一點(diǎn)。3已知三角形ABC中,ABC<ACBBD,CE是角平分線，求證：CE<BD4ABC中，M為AC的中點(diǎn)，BHAC于H,AP,CQ垂直于B的平分線，垂足為P,Q求證:M,

10、H,P,Q四點(diǎn)共圓?！纠齇ff2#1DF.fBjPCrEFDPF+ZBZFPETZCUO'Tfl(/CFF=ZFP.JI/PDF-/PBF=/*<'£=NEFP昇DP松4FPE禺PF-PDPE1B協(xié)圖準(zhǔn)Sr3tOC4P*g準(zhǔn)OWP與也OAQ中”O(jiān)C<M.由已如G4=A氐胛BQ*ACP=AftX70冊(cè)匕ABC的外血二/OCF=/(科：V#»£AJfc的外和感圭W甫的平并找上；也310£0妁從囲40>二204得iOCFMAOXQ.于赴/CTO/Ag故CU,PtQ四點(diǎn)其叭I-1Mi«11MJPA1=PDPO=PB*P

11、C，:ECU,!)四點(diǎn)共曲.由、HPHPCbd'"cd'/aibo*z£hc=nr./bgc=也a=門(mén)亍乙人占月=巧乩G+CHBS點(diǎn)共U礙ZflCGM/GHB三竺嚴(yán)=22.5U只/BHF4齊場(chǎng)/GHB令故HG班分ZBHF.【単力INKL42iSffiQAB.A.B.O.FWj§MlZAP£-AOB-11003-D.制見(jiàn)TWffljfiJt«:AFHE,BFHDiCDHSTfDC,BFEC.CDfA4.DJ-C艷何16萍址為直螳AB寫(xiě)以C?D為直徑的6.B7,井駅由BDHF,CDHE0,4M11ZFSH-/FDH=ZFCH-ZFD

12、,D；/FDEf«(UD.E*HftLlArA直輕的HlZAHD=ZATD*Z>lHE=-ZAT£,JlZATD=ZATEZ4WD=ZAHri(2RiAHB與陀丁冊(cè)私井壯乩松AH加厶1匸聽(tīng)=常啊小冃弘MEC,得器=等由于乳ISED血由BC=CD=DE,ZBCD=ZCDE：=l-2flTZCBD=ZrD0=ZPC£Z£*Fr=Q,f|BCDiC)Ef；*£訊4仃酊-如-汗即-備用«姙>站二A/QE共N同理可證乩艮口E共岡播乩毗4E其圍2SCM,aAlPAMM=MBMB10Pt二側(cè)MOVf"MA*筒”人怦二MDJKO

13、MO-MF.Z.O.D,PTC0A»t5l(X'=OD.:、CPODPQ,1L試。點(diǎn)泰佃丄AB于剛卩忙=里尹.由切割最宗理得;P51*,昭連胴陽(yáng)戰(zhàn)OF好I'于ELJdOF丄ST；由相加彥可證丹=PD盹又P-PA*PB，MZCW=ZCEO=W；.EQD四底酬0C為昶刪上F£>PDPO再PAP"町PE=±膽伽需訐*(蘇掙參考答案例1B練習(xí)1D協(xié)jfi準(zhǔn)軸Ort,OC衛(wèi)P"(X?準(zhǔn)山尤十與%£?中狀04.由已知陽(yáng)MEMP-BQ.ACP=AQ.XVOAiABC的外.*.ZOCF=ZQAC*:嘗/三金滯的外40直卩仙的平甘

14、孩上川MO/OAQ,從而ZOCf-ZO4Q.ilZiOCPiOAQ,于4ZCFD-ZAQO敲O.A,PtQ四慮共SL練習(xí)2C例3關(guān)由WfF口HE匹狀我FEH之FCfZFDEDH為"DE平赭練習(xí)323DF.fBiPClEF>ZDPF+ZB-ZFPE+ZC*UOfSzDPF=ZFPEPZPDf=ZP£f=ZPCE=£EFi人心DPFsFPE禺PFPD*P£.例47ZA=lfiO*-ZBHC=135*,ZBGC=3ZA=135*，ZABH=-45"；點(diǎn)共.軒WBCG=z：aHB=1"也兀XZHF=-45(#ZGWB-yZBHF.SlH

15、G¥分練習(xí)49.if明耽盹中點(diǎn)舐連M他則有ZOZQDZX所以MBD“W得磐二器又歸鳳虻楓瞇二黑MMDsWE故Ztf£=ZAWDM爲(wèi)DF網(wǎng)點(diǎn)共岡，從而有Z腫期二吸而MF#K,所以初丄耽例5-崖給OAJJOA丄PAAJWMBMB丄OP,AOM*=4.,2MC*M0=U4AAf匸MAMOM(MP,A點(diǎn)0£P«四點(diǎn)共IL又(XQD,；ZCPO-ZDPO.Q07RV±PD麗已&PGVB.C*a.D四盤(pán)其叭:*APCOnAPOB得島器罟丈aw必咖，樓嚅由腳需寺例7A/£,E共固，同理可證£/占£其區(qū)點(diǎn)兒乩C.£

16、;共園課外練習(xí)A組:L42捶姑(M(JilA,BQP囚點(diǎn)接1|器£腫滬乂血出=亦監(jiān)4003-D.顯!1什劇嵐有下弭SljftJt3LAFHE,BFHDDHEMFJX；/FEU(?DFB組：執(zhí)(l)D.E,HUArA直栓的IN上AHD-TDAHE-ATEATD-ZATE.故£AHD-/AHEiRaHB與吐丁創(chuàng)亦加少flZU旳皿TD亦盟"需同理4血沁耐鬧欝需.由于1例丁住凸四邊形AHCD船出:邊I：取兩點(diǎn)H比F離占蚩近1果ZBAE-ZC»>fiZ-Z僦,證明；ZfAC=Z.證明因££4F=ZF"職戰(zhàn)A、B、F、E四點(diǎn)共呦1

17、（如圖口-S）.WZK4/J+ZATO*18ffJ,又Z«1D=Z/J+ZMD,ZDCBjDFE-ZM,及=ZCD/故乙訊"*=$町*可知A,HAD輒總共岡，師以'Z叭sZfffX：-Z和K：=ZMG*Zfllf=Z材匚m-ji|jkrsi-«a.rui.f一、jl解因朋"g故乙twc=zG又點(diǎn)g7與點(diǎn)t：關(guān)于AD時(shí)ft：*故Z4B/>=D,圖13“曲八G上四點(diǎn)共=Hzc-zu*故/m四點(diǎn)共.于是ZAPB=/ACB=ABDt可礙進(jìn)血有囑三鈴，即血定值)，3工證明&A4BC的邊長(zhǎng)為hCD2atCE=a,DE/丄AC傕足匚因ZOCEft

18、P.故CE1cCDcasttF=ot_.官與F重合用/倔“虬又謝D陀鮎綸可期ZQB=Z/f£G故CEP0四點(diǎn)OZfiPt=Z0EC=9（F.10應(yīng)明如圖、連結(jié)NQAB于G連結(jié)抑、CS.因粘丄鞭有/郵藝馭又必為肓臣有/轉(zhuǎn)弘新點(diǎn)（:衛(wèi)川四點(diǎn)井SLcs為直徑,csMQMQ不能為直柱h且棄/q）M=ZCW.又ZNQ卩二Z必巴故ZCSV蘭Z曲*RiilCVS空URMSt有CS=«S.所以RS>MQc組1tttb=rt1e,s=Itrvrairfmmrr-vr*waur=»<_iFp'i理°點(diǎn)惟OELAE于E*IMPE-空與由切期翅定理埠審*Pfl，MOS,OP.ftDFJtST于DOP±ST,由相嘏幣可PO，KPS-FA-PBr而旅汽仇ChE.O,0KAftlUnC直犢的抑上匸PC*PAPD*加,0PAP吐PC*PF-少護(hù)皿化韻福壽乂字吉誥h2U.lil.i2/iAffF的平廿扯SACFSf-