立體幾何證明題專(zhuān)題(教師版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上立體幾何證明題考點(diǎn)1：點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系及平面的性質(zhì)例1.下列命題：空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面；有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合；空間兩兩相交的三條直線(xiàn)確定一個(gè)平面；三角形是平面圖形；平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；垂直于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行；一條直線(xiàn)和兩平行線(xiàn)中的一條相交，也必和另一條相交；兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形其中正確的命題是_【解析】由公理3知，不共線(xiàn)的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，所以知命題錯(cuò)，中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(xiàn)(當(dāng)這三個(gè)公共點(diǎn)共線(xiàn)時(shí))，錯(cuò)空間兩兩相交的三條直線(xiàn)有三個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)，若為三個(gè)交點(diǎn)，則這三線(xiàn)共面，若只有一個(gè)交點(diǎn)，則可能確定一個(gè)平面或

2、三個(gè)平面中平行四邊形及梯形由公理2可得必為平面圖形，而四邊形有可能是空間四邊形，如圖(1)所示在正方體ABCDABCD中，直線(xiàn)BBAB，BBCB，但AB與CB不平行，錯(cuò)ABCD，BBABB，但BB與CD不相交，錯(cuò)如圖(2)所示，ABCD，BCAD，四邊形ABCD不是平行四邊形，故也錯(cuò)【答案】2.若P是兩條異面直線(xiàn)l、m外的任意一點(diǎn)，則()A過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l、m都平行B過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l、m都垂直C過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l、m都相交D過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l、m都異面答案B解析對(duì)于選項(xiàng)A，若過(guò)點(diǎn)P有直線(xiàn)n與l，m都平行，則lm，這與l，m異面矛盾對(duì)于選項(xiàng)B，過(guò)點(diǎn)P與l、m都

3、垂直的直線(xiàn)，即過(guò)P且與l、m的公垂線(xiàn)段平行的那一條直線(xiàn)對(duì)于選項(xiàng)C，過(guò)點(diǎn)P與l、m都相交的直線(xiàn)有一條或零條對(duì)于選項(xiàng)D，過(guò)點(diǎn)P與l、m都異面的直線(xiàn)可能有無(wú)數(shù)條3.已知異面直線(xiàn)a，b分別在平面，內(nèi)，且c，那么直線(xiàn)c一定()A與a，b都相交B只能與a，b中的一條相交C至少與a，b中的一條相交D與a，b都平行答案C解析若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據(jù)公理4，則ab，與a，b異面矛盾考點(diǎn)2：共點(diǎn)、共線(xiàn)、共面問(wèn)題例1.下列各圖是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的圖形是()【解析】在A中易證PSQR，P、Q、R、S四點(diǎn)共面在C中易證PQSR，P、Q、R、S四點(diǎn)共

4、面在D中，QR平面ABC，PS面ABC P且PQR，直線(xiàn)PS與QR為異面直線(xiàn)P、Q、R、S四點(diǎn)不共面 在B中P、Q、R、S四點(diǎn)共面，證明如下：取BC中點(diǎn)N，可證PS、NR交于直線(xiàn)B1C1上一點(diǎn)，P、N、R、S四點(diǎn)共面，設(shè)為.可證PSQN，P、Q、N、S四點(diǎn)共面，設(shè)為.、都經(jīng)過(guò)P、N、S三點(diǎn)，與重合，P、Q、R、S四點(diǎn)共面【答案】D2.空間四點(diǎn)中，三點(diǎn)共線(xiàn)是這四點(diǎn)共面的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案A3.下面三條直線(xiàn)一定共面的是()Aa、b、c兩兩平行 Ba、b、c兩兩相交Cab，c與a、b均相交 Da、b、c兩兩垂直答案C4.已知三個(gè)平面兩兩相交

5、且有三條交線(xiàn)，試證三條交線(xiàn)互相平行或者相交于一點(diǎn)【解析】設(shè)a，b，c，由a，b，則abO，如圖(1)，或ab，如圖(2)，若abO，Oa，a，則O，Ob，b，則O，又c，因此Oc；若ab，a，b，則a，又a，c，則ac.因此三條交線(xiàn)相交于一點(diǎn)或互相平行5.如圖所示，已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且.(1)求證：三條直線(xiàn)EF，GH，AC交于一點(diǎn)(2)若在本題中，2，3，其他條件不變求證：EH、FG、BD三線(xiàn)共點(diǎn)【解析】(1)E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，由中位線(xiàn)定理可知，EH綊BD.又，在CBD中，F(xiàn)GBD，且FGBD.由公理4知，EH

6、FG，且EH<FG.四邊形EFGH是梯形，EH、FG為上、下兩底兩腰EF、GH所在直線(xiàn)必相交于一點(diǎn)P.P直線(xiàn)EF，EF平面ABC，P平面ABC.同理可得P平面ADC.P在平面ABC和平面ADC的交線(xiàn)上又面ABC面ADCAC，P直線(xiàn)AC.故EF、GH、AC三直線(xiàn)交于一點(diǎn)(2)2，EFAC.又3，HGAC，EFHG，且EF>HG.四邊形EFGH為梯形設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，則P平面ABD，P平面BCD.P在兩平面的交線(xiàn)BD上EH、FG、BD三線(xiàn)共點(diǎn)考點(diǎn)3：異面直線(xiàn)的夾角1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)求BD1與CE所成角的余弦值【解析】連接AD1，A1D交點(diǎn)為M，連

7、接ME，MC，則MEC(或其補(bǔ)角)即為異面直線(xiàn)BD1與CE所成的角，設(shè)AB1，CE，MEBD1，CM2CD2DM2.在MEC中，cosMEC，因此異面直線(xiàn)BD1與CE所成角的余弦值為.2.如圖，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則異面直線(xiàn)BD1與AD所成角的正切值是_答案3.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為AA1中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)BE與CD1所成角的余弦值為()A.B. C. D.答案C解析連接BA1，則CD1BA1，于是A1BE就是異面直線(xiàn)BE與CD1所成的角(或補(bǔ)角)，設(shè)AB1，則BE，BA1，A1E1，在A1BE中，cosA1BE，選C.4

8、.已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AE與BC所成角的余弦值為_(kāi)【解析】取A1B1的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)A，則有EFB1C1BC，AEF即是直線(xiàn)AE與BC所成的角或其補(bǔ)角設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2a，則有EF2a，AFa，AE3a.在AEF中，cosAEF.因此，異面直線(xiàn)AE與BC所成的角的余弦值是.【答案】考點(diǎn)4：直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì)1.下列命題中正確的是_若直線(xiàn)a不在內(nèi)，則a；若直線(xiàn)l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l；若直線(xiàn)l與平面平行，則l與內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都平行；如果兩條平行線(xiàn)中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行；若l與

9、平面平行，則l與內(nèi)任何一條直線(xiàn)都沒(méi)有公共點(diǎn)；平行于同一平面的兩直線(xiàn)可以相交答案解析aA時(shí)，a不在內(nèi)，錯(cuò)；直線(xiàn)l與相交時(shí)，l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在內(nèi)，故錯(cuò)；l時(shí)，內(nèi)的直線(xiàn)與l平行或異面，故錯(cuò)；ab，b時(shí)，a或a，故錯(cuò)；l，則l與無(wú)公共點(diǎn)，l與內(nèi)任何一條直線(xiàn)都無(wú)公共點(diǎn)，正確；如圖，長(zhǎng)方體中，A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，正確2.給出下列四個(gè)命題：若一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面平行；若一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行，則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面平行；若平面外的一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行；若兩條平行直線(xiàn)中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條也與這

10、個(gè)平面平行其中正確命題的個(gè)數(shù)是_個(gè)答案1解析命題錯(cuò)，需說(shuō)明這條直線(xiàn)在平面外命題錯(cuò)，需說(shuō)明這條直線(xiàn)在平面外命題正確，由線(xiàn)面平行的判定定理可知命題錯(cuò)，需說(shuō)明另一條直線(xiàn)在平面外3.已知不重合的直線(xiàn)a，b和平面，若a，b，則ab；若a，b，則ab；若ab，b，則a；若ab，a，則b或b，上面命題中正確的是_(填序號(hào))答案解析若a，b，則a，b平行或異面；若a，b，則a，b平行、相交、異面都有可能；若ab，b，a或a.4.正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且APDQ.求證：PQ平面BCE.【證明】方法一如圖所示作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N，連接

11、MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB，AEBD.又APDQ，PEQB.又PMABQN，.PM綊QN，即四邊形PMNQ為平行四邊形PQMN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.方法二如圖，連接AQ，并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于K，連接EK.AEBD，APDQ，PEBQ，.又ADBK，PQEK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，PQ平面BCE.方法三如圖，在平面ABEF內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PMBE，交AB于點(diǎn)M，連接QM.PM平面BCE.又平面ABEF平面BCEBE，PMBE，.又AEBD，APDQ，PEBQ.，.MQAD.又ADBC，MQBC，MQ平面BCE.又PMMQM，平面PMQ平

12、面BCE.又PQ平面PMQ，PQ平面BCE.5.一個(gè)多面體的直觀(guān)圖和三視圖如圖所示(其中M，N分別是AF，BC中點(diǎn))<1>求證：MN平面CDEF；<2>求多面體ACDEF的體積解析(1)證明由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱，且ABBCBF2，DECF2，CBF90°.取BF中點(diǎn)G，連接MG，NG，由M，N分別是AF，BC中點(diǎn)，可知：NGCF，MGEF.又MGNGG，CFEFF，平面MNG平面CDEF，MN平面CDEF.(2)作AHDE于H，由于三棱柱ADEBCF為直三棱柱，AH平面CDEF，且AH.VACDEFS四邊形CDEF·AH&

13、#215;2×2×.6.若P為異面直線(xiàn)a，b外一點(diǎn)，則過(guò)P且與a，b均平行的平面()A不存在B有且只有一個(gè)C可以有兩個(gè) D有無(wú)數(shù)多個(gè)答案B7.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CMDN，求證：MN平面AA1B1B.【證明】方法一如右圖，作MEBC，交BB1于E；作NFAD，交AB于F，連接EF，則EF平面AA1B1B.BDB1C，DNCM，B1MBN.，MENF.又MEBCADNF，MEFN為平行四邊形NMEF.又MN面AA1B1B，MN平面AA1B1B.方法二如圖，連接CN并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，連接B1P，則B1P平面AA1B

14、1B.NDCNBP，.又CMDN，B1CBD，MNB1P.B1P平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.方法三如右圖，作MPBB1，交BC于點(diǎn)P，連接NP.MPBB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN.，NPDCAB.平面MNP平面AA1B1B.MN平面AA1B1B.8.如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn)(1)求證：PA平面EFG；(2)求三棱錐PEFG的體積解析(1)證明如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H.E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，EFCD.G，H分別是BC，AD的中點(diǎn)，GHCD.EFGH，E，F(xiàn)，

15、H，G四點(diǎn)共面F，H分別為DP，DA的中點(diǎn)，PAFH.PA平面EFG，F(xiàn)H平面EFG，PA平面EFG.(2)PD平面ABCD，CG平面ABCD，PDCG.又CGCD，CDPDD，GC平面PCD.PFPD1，EFCD1，SPEFEF·PF.又GCBC1，VPEFGVGPEF××1.9.如圖所示，a，b是異面直線(xiàn)，A、C與B、D分別是a，b上的兩點(diǎn)，直線(xiàn)a平面，直線(xiàn)b平面，ABM，CDN，求證：若AMBM，則CNDN.【證明】連接AD交平面于E點(diǎn)，并連接ME，NE.b，ME平面ABD，平面面ABDME，MEBD.又在ABD中AMMB，AEED.即E是AD的中點(diǎn)又a，E

16、N平面ACD，平面面ADCEN，ENAC，而E是AD的中點(diǎn)N必是CD的中點(diǎn)，CNDN.10.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E為AC上一點(diǎn)，若AB1平面C1EB，求：AEEC.【解析】連接B1C交BC1于點(diǎn)F，則F為B1C中點(diǎn)AB1平面C1EB，AB1平面AB1C，且平面C1EB平面AB1CEF.AB1EF，E為AC中點(diǎn)AEEC11.【答案】11考點(diǎn)5：面面平行的判定及性質(zhì)1.設(shè)m，n是平面內(nèi)的兩條不同直線(xiàn)；l1，l2是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，則的一個(gè)充分而不必要條件是()Am且l1Bml1且nl2 Cm且n Dm且nl2答案B解析因m，l1，若，則有m且l1，故的一個(gè)必要條件是m且l1，排

17、除A.因m，n，l1，l2且l1與l2相交，若ml1且nl2，因l1與l2相交，故m與n也相交，；若，則直線(xiàn)m與直線(xiàn)l1可能為異面直線(xiàn)，故的一個(gè)充分而不必要條件是ml1且nl2，應(yīng)選B.2.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P，Q，R分別是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，給出下列結(jié)論：PR與BQ是異面直線(xiàn)；RQ平面BCC1B1；平面PQR平面D1AC；過(guò)P，Q，R的平面截該正方體所得截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形以上結(jié)論正確的是_(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))答案解析由于PR是A1BC1的中位線(xiàn)，所以PRBQ，故不正確；由于RQA1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1

18、，所以不正確；由于PRBC1D1A，PQA1BD1C，所以正確；由于A1BC1是邊長(zhǎng)為的正三角形，所以正確故填.3.已知P為ABC所在平面外一點(diǎn)，G1、G2、G3分別是PAB、PCB、PAC的重心<1>求證：平面G1G2G3平面ABC；<2>求SG1G2G3SABC.【解析】(1)如圖，連接PG1、PG2、PG3并延長(zhǎng)分別與邊AB、BC、AC交于點(diǎn)D、E、F.連接DE、EF、FD.則有PG1PD23，PG2PE23.G1G2DE.又G1G2不在平面ABC內(nèi)，G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又因?yàn)镚1G2G2G3G2，平面G1G2G3平面ABC.(2)由(1)

19、知，G1G2DE.又DEAC，G1G2AC.同理G2G3AB，G1G3BC.G1G2G3CAB，其相似比為13.SG1G2G3SABC19.4.給出下列關(guān)于互不相同的直線(xiàn)l、m、n和平面、的三個(gè)命題：若l與m為異面直線(xiàn)，l，m，則；若，l，m，則lm；若l，m，n，l，則mn.其中真命題為_(kāi)答案解析中當(dāng)與不平行時(shí)，也能存在符合題意的l、m.中l(wèi)與m也可能異面中l(wèi)m，同理ln，則mn，正確5.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)求證：平面AMN平面EFDB.【證明】連接MF，M、F是A1B1、C1D1的中點(diǎn)，四邊形A1B1

20、C1D1為正方形，MF A1D1.又A1D1 AD，MF AD.四邊形AMFD是平行四邊形AMDF.DF平面EFDB，AM平面EFDB，AM平面EFDB，同理AN平面EFDB.又AM、AN平面ANM，AMANA，平面AMN平面EFDB.6.在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別是C1C，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP平面A1BD.證明方法一如圖(1)所示，連接B1D1.P，N分別是D1C1，B1C1的中點(diǎn)，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN平面A1BD，PN平面A1BD.同理：MN平面A1BD.又PNMNN，平面PMN平面A1BD.方法二如圖(2)所示，連接

21、AC1，AC，ABCDA1B1C1D1為正方體，ACBD.又CC1平面ABCD，AC為AC1在平面ABCD上的射影，AC1BD.同理可證AC1A1B，AC1平面A1BD.同理可證AC1平面PMN.平面PMN平面A1BD.7.如圖所示，平面平面，點(diǎn)A，C，點(diǎn)B，D，點(diǎn)E、F分別在線(xiàn)段AB，CD上，且AEEBCFFD.求證：EF.【證明】當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)，由，平面ABDCAC，平面ABDCBD，ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又EF，BD，EF.當(dāng)AB與CD異面時(shí)，設(shè)平面ACDDH，且DHAC，平面ACDHAC，ACDH.四邊形ACDH是平行四邊形 在AH上取一點(diǎn)G，使AGGHCF

22、FD，又AEEBCFFD，GFHD，EGBH.又EGGFG，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.綜上，EF.8.已知：如圖，斜三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)D、D1分別為AC、A1C1上的點(diǎn)(1)當(dāng)?shù)闹档扔诤沃禃r(shí)，BC1平面AB1D1；(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值【解析】 (1)如圖，取D1為線(xiàn)段A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)1，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)在A1BC1中，點(diǎn)O、D1分別為A1B、A1C1的中點(diǎn)，OD1BC1.又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1平面AB1D1.1時(shí)，BC1平面

23、AB1D1.(2)由已知，平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BDC1BC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，因此BC1D1O，同理AD1DC1.，.又1，1，即1.考點(diǎn)6：線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面垂直1.設(shè)、是兩個(gè)不同的平面，a、b是兩條不同的直線(xiàn)，給出下列四個(gè)命題，其中真命題是()A若a，b，則abB若a，b，ab，則C若a，b，ab，則D若a、b在平面內(nèi)的射影互相垂直，則ab答案C解析與同一平面平行的兩條直線(xiàn)不一定平行，所以A錯(cuò)誤；與兩條平行直線(xiàn)分別平行的兩個(gè)平面未必平行，所以B錯(cuò)誤；如圖(1)，設(shè)OAa，OBb，直線(xiàn)OA、OB確定的平面分別交、于AC、BC，則OAAC，OBBC，所以

24、四邊形OACB為矩形，ACB為二面角l的平面角，所以，C正確；如圖(2)，直線(xiàn)a、b在平面內(nèi)的射影分別為m、n，顯然mn，但a、b不垂直，所以D錯(cuò)誤，故選C.2.“直線(xiàn)l垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)”是“l(fā)”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件答案B3.若m，n表示直線(xiàn)，表示平面，則下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()nmnmn nA1 B2 C3 D4答案C解析正確，錯(cuò)誤4.如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)求證：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.【證明】(1)PA底面ABCD

25、，CDPA.又CDAC，PAACA，故CD平面PAC，AE平面PAC.故CDAE.(2)PAABBC，ABC60°，故PAAC.E是PC的中點(diǎn)，故AEPC.由(1)知CDAE，從而AE平面PCD，故AEPD.易知BAPD，故PD平面ABE.5.設(shè)l是直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面()A若l，l，則B若l，l，則C若l，則lD若，l，則l答案B解析A項(xiàng)中由l，l不能確定與的位置關(guān)系，C項(xiàng)中由，l可推出l或l，D項(xiàng)由，l不能確定l與的位置關(guān)系6.設(shè)b，c表示兩條直線(xiàn)，表示兩個(gè)平面，下列命題中真命題是()A若b，c，則bcB若b，bc，則cC若c，c，則 D若c，則c答案C解析如果一條直線(xiàn)平行于一

26、個(gè)平面，它不是與平面內(nèi)的所有直線(xiàn)平行，只有部分平行，故A錯(cuò)；若一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的直線(xiàn)平行，該直線(xiàn)不一定與該平面平行，該直線(xiàn)可能是該平面內(nèi)的直線(xiàn)，故B錯(cuò)；如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)平行，那么這兩個(gè)平面垂直，這是一個(gè)真命題，故C對(duì)；對(duì)D來(lái)講若c，則c與的位置關(guān)系不定，故選C.7. 在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBCAA12，ACB90°，E為BB1的中點(diǎn)，A1DE90°，求證：CD平面A1ABB1.證明連接A1E，EC，ACBC2，ACB90°，AB2.設(shè)ADx，則BD2x.A1D24x2，DE21(2x)2，A1E2(2)21.A1DE

27、90°，A1D2DE2A1E2.x.D為AB的中點(diǎn)CDAB.又AA1CD，且AA1ABA，CD平面A1ABB1.8.如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中點(diǎn)，E是棱AA1上任意一點(diǎn)<1>證明：BDEC1；<2>如果AB2，AE，OEEC1，求AA1的長(zhǎng)【解析】(1)如圖，連接AC，A1C1，AC與BD相交于點(diǎn)O.由底面是正方形知，BDAC.因?yàn)锳A1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD.又由AA1ACA，所以BD平面AA1C1C.再由EC1平面AA1C1C知，BDEC1.(2)設(shè)AA1的長(zhǎng)為h，連接OC1.

28、在RtOAE中，AE，AO，故OE2()2()24.在RtEA1C1中，A1Eh，A1C12.故EC(h)2(2)2.在RtOCC1中，OC，CC1h，OCh2()2.因?yàn)镺EEC1，所以O(shè)E2ECOC.即4(h)2(2)2h2()2，解得h3.所以AA1的長(zhǎng)為3.考點(diǎn)7：面面垂直1.ABC為正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證：DEDA；平面BDM平面ECA；平面DEA平面ECA.【證明】取EC的中點(diǎn)F，連接DF.BDCE，DBBA.又ECBC，在RtEFD和RtDBA中，EFECBD，F(xiàn)DBCAB，RtEFDRtDBA，DEDA.取CA的中點(diǎn)N，連接M

29、N、BN，則MN綊EC.MNBD，N點(diǎn)在平面BDM內(nèi)EC平面ABC，ECBN.又CABN，BN平面ECA.BN平面BDM，平面BDM平面ECA.DMBN，BN平面ECA，DM平面ECA，又DM平面DEA，平面DEA平面ECA.2.已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC.AE平面PBC，E為垂足求證：PA平面ABC；當(dāng)E為PBC的垂心時(shí)，求證：ABC是直角三角形【證明】在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DFAC于F.平面PAC平面ABC，且交線(xiàn)為AC，DF平面PAC.又PA平面PAC，DFPA.作DGAB于G，同理可證：DGPA.DG、DF都在平面ABC內(nèi)，PA平面ABC.連接BE并延長(zhǎng)交PC于

30、H，E是PBC的垂心，PCBH.又已知AE是平面PBC的垂線(xiàn)，PC平面PBC，PCAE.又BHAEE，PC平面ABE.又AB平面ABE，PCAB.PA平面ABC，PAAB.又PCPAP，AB平面PAC.又AC平面PAC，ABAC.即ABC是直角三角形3.如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB AC，側(cè)面BB1C1C底面ABC.(1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：ADCC1；(2)過(guò)側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線(xiàn)BC1的平面交側(cè)棱于M，若AMMA1，求證：截面MBC1側(cè)面BB1C1C；(3)AMMA1是截面MBC1側(cè)面BB1C1C的充要條件嗎？請(qǐng)你敘述判斷理由【證明】(1)ABAC

31、，D是BC的中點(diǎn)，ADBC.底面ABC側(cè)面BB1C1C，且交線(xiàn)為BC，由面面垂直的性質(zhì)定理可知AD側(cè)面BB1C1C.又CC1側(cè)面BB1C1C，ADCC1.(2)方法一取BC1的中點(diǎn)E，連接DE、ME.在BCC1中，D、E分別是BC、BC1的中點(diǎn)DE綊CC1.又AA1綊CC1，DE綊AA1.M是AA1的中點(diǎn)(由AMMA1知)，DE綊AM.AMED是平行四邊形，AD綊ME.由(1)知AD面BB1C1C，ME側(cè)面BB1C1C.又ME面BMC1，面BMC1側(cè)面BB1C1C.方法二延長(zhǎng)B1A1與BM交于N(在側(cè)面AA1B1B中)，連接C1N.AMMA1，NA1A1B1.又ABAC，由棱柱定義知ABCA1

32、B1C1.ABA1B1，ACA1C1.A1C1A1NA1B1.在B1C1N中，由平面幾何定理知：NC1B190°，即C1NB1C1.又側(cè)面BB1C1C底面A1B1C1，交線(xiàn)為B1C1，NC1側(cè)面BB1C1C.又NC1面BNC1，截面C1NB側(cè)面BB1C1C，即截面MBC1側(cè)面BB1C1C.(3)結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明下面僅證明必要性(即由截面BMC1側(cè)面BB1C1C推出AMMA1，實(shí)質(zhì)是證明M是AA1的中點(diǎn))，過(guò)M作ME1BC1于E1.截面MBC1側(cè)面BB1C1C，交線(xiàn)為BC1.ME1面BB1C1C.又由(1)知AD側(cè)面BB1C1C，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行，ADM

33、E1，M、E1、D、A四點(diǎn)共面又AM側(cè)面BB1C1C，面AME1D面BB1C1CDE1，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可知AMDE1.又ADME1，四邊形AME1D是平行四邊形ADME1，DE1綊AM.又AMCC1，DE1CC1.又D是BC的中點(diǎn)，E1是BC1的中點(diǎn)DE1CC1AA1.AMAA1，MAMA1.AMMA1是截面MBC1側(cè)面BB1CC1的充要條件考點(diǎn)8：平行與垂直的綜合問(wèn)題1.如圖所示，在直角梯形ABEF中，將DCEF沿CD折起使FDA60°，得到一個(gè)空間幾何體 (1)求證：BE平面ADF；(2)求證：AF平面ABCD；(3)求三棱錐EBCD的體積【解析】(1)由已知條件，可知BCAD，CEDF，折疊之后平行關(guān)系不變又因?yàn)锽C平面ADF，AD平面ADF，所以BC平面ADF.同理CE平面ADF.又因?yàn)锽CCEC，BC，CE平面BCE，所以平面BCE平面ADF.所以BE平面ADF.(2)由于FDA60°，F(xiàn)D2，AD1，所以AF2FD2AD22×FD×AD×cosFDA412×2×1×3.即AF.所以AF2AD2FD2.所以AFAD.又因?yàn)镈CFD，DCAD，ADFDD，所以