一二維形式的柯西不等式

1、本講本講,我們來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上兩個(gè)有名的經(jīng)典不等式我們來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上兩個(gè)有名的經(jīng)典不等式:柯西柯西不等式與排序不等式不等式與排序不等式,知道它的意義、背景、證明方知道它的意義、背景、證明方法及其應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的美妙，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)法及其應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的美妙，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng) 設(shè)設(shè) 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù). ., , ,a b c d()()2222 abcd聯(lián)聯(lián) 想想展開這個(gè)乘積，可得展開這個(gè)乘積，可得 22222)()(bdacdcba 上式反映了上式反映了4個(gè)實(shí)數(shù)的特定數(shù)量關(guān)系，不僅排列形式上個(gè)實(shí)數(shù)的特定數(shù)量關(guān)系，不僅排列形式上規(guī)律明顯，具有簡潔、對稱的美感，而且再數(shù)學(xué)和物理規(guī)律明顯，具有簡潔、對稱的美

2、感，而且再數(shù)學(xué)和物理中有重要作用。它是柯西不等式的最簡形式，即二維形中有重要作用。它是柯西不等式的最簡形式，即二維形式的柯西不等式。式的柯西不等式。 ., )( 1等等號號成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)都都是是若若二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcaddcba bdacdcba 2222)1(bdacdcba 2222)2(根據(jù)二維形式的柯西不等式可以很容易根據(jù)二維形式的柯西不等式可以很容易地得到它的變式地得到它的變式:22222)()(bdacdcba 你能簡明地寫出這個(gè)定理的證明？你能簡明地寫出這個(gè)定理的證明？ .,., )( 2等等號號成成立立時(shí)時(shí)使使或或存存

3、在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是零零向向量量當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則是是兩兩個(gè)個(gè)向向量量設(shè)設(shè)柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式定定理理 kk 有柯西不等式的幾何意義，可以得到柯西不等式的向量有柯西不等式的幾何意義，可以得到柯西不等式的向量形式形式 111(,)P xy222(,)P xyO Oxy|-|12xx12|-|yy這個(gè)圖中有什么這個(gè)圖中有什么不等關(guān)系不等關(guān)系? ?xyO O(,)111P xy(,)222P xy由圖根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及三角形的邊長關(guān)系容易發(fā)由圖根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及三角形的邊長關(guān)系容易發(fā)現(xiàn)現(xiàn)22122122222121)()(yyxxyxyx221221222121222121

4、2222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x 22x )(2x 2x 2x )(:yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx 證明證明22122122222121)()(yyxxyxyx 2332244)()(, 1babababa證明為實(shí)數(shù)已知例運(yùn)用這個(gè)定理運(yùn)用這個(gè)定理,我們可以解決以前感覺棘手的問題我們可以解決以前感覺棘手的問題.2332222244)()()(babbaababa例例1中哪中哪4個(gè)數(shù)分別對應(yīng)二維形式的柯西不等式中的個(gè)數(shù)分別對應(yīng)二維形式的柯西不等式中的 a,b,c,d36427512

5、52222xx解：函數(shù)的定義域?yàn)榻猓汉瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，且y05 , 1當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立，即當(dāng) 時(shí)函數(shù)取最大值。xx551227127x回顧例2的求解過程，可以體會(huì)其中式子變形的作用，提高利用柯西不等式解題的能力。證明：證明：解：函數(shù)的定義域?yàn)榻猓汉瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，且y05 , 1當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立，即當(dāng) 時(shí)函數(shù)取最大值。xx551227127x回顧例2的求解過程，可以體會(huì)其中式子變形的作用，提高利用柯西不等式解題的能力。 以上幾例說明柯西不等式在證明不等式時(shí)的簡單應(yīng)用，可以上幾例說明柯西不等式在證明不等式時(shí)的簡單應(yīng)用，可以體會(huì)到，運(yùn)用柯西不等式，思路一步到位，簡潔明了，解答漂

6、以體會(huì)到，運(yùn)用柯西不等式，思路一步到位，簡潔明了，解答漂亮。亮。.1,yb, 1的最小值求且已知補(bǔ)充例yxxaRbayx 2min22222)()(.,)( )()(,1, :bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx 時(shí)時(shí)取取等等號號即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)解解 5,5. 10,10.102 ,102. 52 ,52-A.) (,10,. 122 DCBbabaRba的的取取值值范范圍圍是是則則且且若若補(bǔ)充練習(xí)補(bǔ)充練習(xí)2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的的最最小小值值是是那那么么已已知知 _1212. 3的的最最大大值值為為函函數(shù)數(shù) xxy_2, 623,. 422值是值是的最大的最大則則滿足滿足設(shè)實(shí)數(shù)設(shè)實(shí)數(shù)yxPyxyx _)1()1(, 1. 522的最小值是的最小值是則則若若bbaaba AB311225 .,),()()()1(22222等等號號成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等等號號成成立立時(shí)時(shí)使使或或存存在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是零零向向量量當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式