多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法和隱函數(shù)求導(dǎo)公式(2)

1、整理課件1一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：)(),(xuufydxdydxdududy復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)(1)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(),(yxvyxu在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處有偏導(dǎo)數(shù)處有偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx對(duì)對(duì) x, y 的偏導(dǎo)數(shù)存在的偏導(dǎo)數(shù)存在,且且xzyz定理定理6.5.1而函數(shù)而函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(vu可微可微, 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)),(),(yxyxfzvuzxy鏈導(dǎo)法則鏈導(dǎo)法則xvvzxuuzyvvzyuuz(2)6.5 6.5 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法和隱函數(shù)求導(dǎo)公式多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法和隱函數(shù)求導(dǎo)公式6.5.1 6.5.1 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的

2、求導(dǎo)法則整理課件2若函數(shù)若函數(shù))(),(xvxu都在點(diǎn)都在點(diǎn) x 處可導(dǎo)處可導(dǎo),函數(shù)函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(vu處可微處可微,則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))(),(xxfz在點(diǎn)在點(diǎn) x 處可導(dǎo)處可導(dǎo),且且dxdvvzdxduuzdxdz全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)特例特例1.zvux如果如果),(yxfz 而而),(xy則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))(,xxfz的的全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)dxdyyzxzdxdz特例特例2.注意注意dxdz是在是在)(,xxfz對(duì)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù),xz是在是在),(yxfz 中視中視y為常量為常量,對(duì)對(duì)x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),zxy整理課件3),(),(),(yxwyxvyxu情形情形(1),

3、(wvufz xwwzxvvzxuuz),(yxufz ),(yxuyfyuufyz注意注意xz是在是在,),(yxyxfz中視中視y為常量為常量,對(duì)對(duì)x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),xf是在是在),(yxufz 中視中視yu,為常量為常量,對(duì)對(duì)x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),zxyvuwzxyu則則xzxz,xfxuuf鏈導(dǎo)法則鏈導(dǎo)法則可推廣到三元及三元以上的函數(shù)可推廣到三元及三元以上的函數(shù).說(shuō)明說(shuō)明情形情形(2)ywwzyvvzyuuzyz整理課件4例例2.cos,sintveutuvzt求求dtdz解解dtdztzdtdvvzdtduuztev)sin(tutcostttetcos)sin(coszvut例例1.,si

4、n,32tytxezyx求求dtdz解解dtdzdtdyyzdtdxxzteyxcos2223)2(teyx).6(cos22sin3ttettzyxt整理課件5例例3.設(shè)設(shè),sinyxvxyuvezu求.,yzxz解解xzveusinyveucos1 )cos()sin(yxyxyexyyvvzyuuzveusinxveucos1 )cos()sin(yxyxxexyxvvzxuuzyz整理課件6例例4.設(shè).,.sin,),(2222yuxuyxzezyxfuzyx求求解解xuxzzfxfyzzfyfyu2222zyxxeyxzezyxsin22222)sin21 (222sin2422yx

5、xeyxyx2222zyxyeyxzezyxcos22222)2sin2(4sin2422yxyeyxyxzxyu整理課件7例例5.設(shè)設(shè)fxyzzyxfw),(具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求求.,2zxwxw解解 令, zyxu,xyzv 則),(vufw xw1f 2fyz ,1uff,2vffzxw221fyzfzzf12f y zfyz2zf1zvvfzuuf1111f ,111uff ,112vff zf2zvvfzuuf2221f ,221uff ,222vff wxyzvu12fxy 22fxy 1f 2f xvvfxuuf),(11xyzzyxff),(22xyzzyx

6、ffzxw21211fxyf )(2221fxyfyz 2f y 1211)(fzxyf 222f zxy 2f y 整理課件81. 一個(gè)方程的情形一個(gè)方程的情形1.設(shè)方程設(shè)方程 0),(yxF確定函數(shù)確定函數(shù))(xyy ,求求dxdyxF0所以所以,yxFFdxdy方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得dxdyFy),(yxFu xy或或yFxFdxdy6.5.2 6.5.2 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式整理課件9例例1. 設(shè)設(shè)0 xxeyy求求0 xdxdy解法解法1xxeyyxFy),(令令, 1yxeF則則,1yyxeFdxdy00 xdxdyyxFFyyxee11于是于是解法

7、解法2方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得01)(dxdyxeedxdyyy解得解得dxdyyyxee1100 xdxdy于是于是整理課件10例例2. 設(shè)設(shè)122 yx求求dxdy及及22dxyd解法解法1yxFFyx22dxyddxdydxd2yyxy31yyxdxd2yyxxy322yxy 1),(22yxyxF令令dxdy解法解法2方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得022dxdyyxdxdyyx整理課件112. 設(shè)方程設(shè)方程0),(zyxF確定二元隱函數(shù)確定二元隱函數(shù)),(yxzz 求求yzxz , ),(zyxFu xFzxFFxzyzFzzyFFyzxyz方程兩邊對(duì)方程

8、兩邊對(duì)x 求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得xzFz0方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) y 求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得yF0zFxFzFyF整理課件12例例3. 設(shè)04222zzyx求22,xzyzxz解解zzyxzyxF4),(222xFx2, 2 ,yFy42 zFzxzzxFFzx2.2zy22xzxzx2)2()()2(zxzxz322)2()2(zxzyz ,zyFFzxx232)2(4zy整理課件13另另 解解:方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得04222zzyx0422xzxzzx解得解得zxzxxz2242方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) y 求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得0422yzyzzy解得解得zyzyyz224

9、2整理課件14例例4. 設(shè)設(shè)0 xyzez, 求求yxz2解解),(zyxFxyzezxzzxFFxyeyzz,xyeyzzyxz2)(xzy )(xyeyzyz2)()()(xyexyzeyzxyeyzyzzzzyz zyFFxyexzz3222)()(xyeyxxyzeezzzz整理課件15例例5.設(shè)設(shè)0),(2222zyyxF證明證明:xyyzzxxzyz證明證明:xz)2(221zFxF 21FzFxzyFFyz)2(2)2(221zFyFyF 212)(FzFFyyzzxxzyz21FzFxyz212)(FzFFyzxxyzxFFxF1F,2xyF1F)2(y2F,2yzF2F)2(

10、z得證得證整理課件16設(shè)設(shè)0),(0),(vuyxGvuyxF求求yvxvyuxu,確定了隱函數(shù)確定了隱函數(shù):),(yxuu ),( ,yxvv 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),得得即 xvuxvuGxvGxuGFxvFxuFxFxuFu xvFv 0 xGxuGu xvGv 02.方程組的情形方程組的情形解方程組即得解方程組即得整理課件17例例1. 設(shè)設(shè)10 xvyuyvxu求求:yvxvyuxu,方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得xuxu即即vxvxxuyuxvyxux22yx 0時(shí)時(shí)，xu,22yxyvxuxv22yxxvyu解解xvy0 xuyxvxv0解方程組得解方程組得整理課件18方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) y 求導(dǎo)求導(dǎo),得得10 xvyuyvxu00yvxyuyuyvyvyux即uyvxyuyvyvyyux當(dāng)當(dāng)22yx0時(shí)時(shí),yu,22yxyuxvyv2