1-1集合和函數(shù)

1、集集 合合小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)函函 數(shù)數(shù)第一章第一章 函數(shù)函數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 集合與函數(shù)集合與函數(shù)( set )( function )一、集合1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的總體具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的組成這個集合的事物稱為該集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集無限集無限集,Ma ),(MaMa規(guī)定規(guī)定空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集. .).(記作記作2.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù)是指介于某兩個實數(shù)之間的

2、全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.,baRba且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxabbxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義區(qū)間長度的定義: :兩端點間的距離兩端點間的距離(線段的長度線段的長度)稱為區(qū)間的長度稱為區(qū)間的長度.3.3.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個實數(shù)是兩個實數(shù)與與設(shè)設(shè)a).(0aU 記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心

3、點點a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點點 a. axx)a(U 00,鄰域鄰域的的稱為點稱為點數(shù)集數(shù)集 aaxx 6 開區(qū)間開區(qū)間開區(qū)間開區(qū)間),(aa ,鄰域鄰域左左 ),( aa.鄰域鄰域右右 稱為稱為a的的稱為稱為a的的4. 邏輯符號邏輯符號 在邏輯推理過程中最常用的兩個邏輯記號在邏輯推理過程中最常用的兩個邏輯記號. 、 “ ”表示表示 “任取任取” , 或或 “任意給定任意給定”.“ ” 表示表示 “存在存在 ”,“至少存在一個至少存在一個”, “能夠找到能夠找到”. 如如實數(shù)的阿基米德實數(shù)的阿基米德 (Archmed

4、) 公理是這樣公理是這樣敘述的敘述的:任意給定兩個正的實數(shù)任意給定兩個正的實數(shù) a,b,都存在一個都存在一個自然數(shù)自然數(shù)n,. bna 使使得得用邏輯符號用邏輯符號, 和和將將阿基米德阿基米德公理改寫公理改寫: . bna 使使得得 , 0, ba,Nn Any(每一個每一個)或或All(所有的所有的)的字頭的字頭A的倒寫的倒寫Exist(存在存在)的的 字頭字頭E的倒寫的倒寫81.常量常量(constant quantity)與變量與變量(variable)注注二、函數(shù)二、函數(shù)(function)而是相對而是相對“過程過程”而言的而言的.常量常量; ; 變量變量. .在某過程中數(shù)值保持不變的

5、量稱為在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為而在過程中數(shù)值變化的量稱為而在過程中數(shù)值變化的量稱為一個量是常量還是變量一個量是常量還是變量, 不是絕對的不是絕對的,常量與變量的表示方法常量與變量的表示方法:通常用字母通常用字母 a, b, c等表示常量等表示常量, 用字母用字母 x, y, t等表示等表示變變量量.9 定義定義 設(shè)有兩個變量設(shè)有兩個變量x和和y,自變量自變量因變量因變量定義域定義域(domain)記作記作變量變量y的取值的的取值的集合稱為函數(shù)的集合稱為函數(shù)的值域值域(range), ,即即.),(|DxxfyyW 變量變量x的變化域為的變化域為D,如果對于如果對于D中的每一個中的每一個x

6、值值, 按照一定的法則按照一定的法則, 變變量量y總有唯一的數(shù)值與之對應總有唯一的數(shù)值與之對應, 則稱變量則稱變量y為變量為變量x的的函數(shù)函數(shù)(function), ,2. 函數(shù)概念函數(shù)概念),(xfy ,Dx 10注注(1) 函數(shù)的記號函數(shù)的記號: 除常用的除常用的f 外外,可任意選取可任意選取,如如 、Fg相應地相應地, 函數(shù)可記作函數(shù)可記作:),(xgy 等等,)(),(xyxFy 等等,也可記作也可記作:y)(x y在同一個問題中在同一個問題中, 討論到幾個不同的函數(shù)時討論到幾個不同的函數(shù)時,則必須用不同的記號分別表示這些函數(shù)則必須用不同的記號分別表示這些函數(shù), 以示區(qū)別以示區(qū)別.11

7、(2) 對應的函數(shù)值對應的函數(shù)值y總是唯一的總是唯一的,否則稱為否則稱為如如xy 是多值函數(shù)是多值函數(shù),它的兩個單值支是它的兩個單值支是:,xy 單值函數(shù)單值函數(shù), ,多值函數(shù)多值函數(shù). .約定約定:.xy 今后今后無特別說明無特別說明時時, 函數(shù)是指單值函數(shù)函數(shù)是指單值函數(shù).這種函數(shù)稱為這種函數(shù)稱為(3) 構(gòu)成函數(shù)的構(gòu)成函數(shù)的xyxylg2lg2 、是是兩個不同的函數(shù)兩個不同的函數(shù).(因為定義域不同因為定義域不同).如如定義域定義域Df與對應法則與對應法則 f .兩個要素兩個要素:,Dx 對對約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值的一切實

8、數(shù)值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D即即簡稱函數(shù)表示法的簡稱函數(shù)表示法的(4)無關(guān)特性無關(guān)特性. .xut )()()(fff 函數(shù)的表示法只與定義域和對應法則有關(guān)函數(shù)的表示法只與定義域和對應法則有關(guān),而與用什么字母無關(guān)而與用什么字母無關(guān),13例例 求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域:)16(log)1(2)1(xyx )12ln(2712arcsin)2(2 xxxxy解解 )1().4 , 2()2 , 1(022 xx.2 , 1()1 ,21(01 x11 x1712 x定義域是定義域是定義域是定義域是012 x0162 x )

9、2(112 x14例例 某商店對一種商品的售價規(guī)定如下某商店對一種商品的售價規(guī)定如下: 購買量購買量 )(xfy50 x105 x10 xx8 . 058 . 0 有些函數(shù)有些函數(shù) 58 . 0分段函數(shù)分段函數(shù). .)10(4 . 0 x)5(6 . 0 x稱為稱為函數(shù)關(guān)系也不同函數(shù)關(guān)系也不同,除了可用除了可用一個數(shù)學式子表示函數(shù)一個數(shù)學式子表示函數(shù)外外,隨著自變量取不同的值隨著自變量取不同的值,這種函數(shù)這種函數(shù)不超過不超過5千克時千克時, 每千克每千克0.8元元; 購買量大于購買量大于5千克而不千克而不超過超過10千克時千克時, 若購買若購買 x 千克的費用記為千克的費用記為 f (x),

10、則則購買量大于購買量大于10千克時千克時, 超過超過10千克部分每千克千克部分每千克0.4元元, 56 . 0 x6 . 01 x4 . 03 元元;在自然科學、工程技術(shù)和經(jīng)濟學中在自然科學、工程技術(shù)和經(jīng)濟學中,經(jīng)常會遇到分段函數(shù)的情形經(jīng)常會遇到分段函數(shù)的情形.其中超過其中超過5千克部分優(yōu)惠價每千克千克部分優(yōu)惠價每千克0.6xyO51015 用分段函數(shù)表示函數(shù)用分段函數(shù)表示函數(shù),13 xy分段函數(shù)在其整個定義域上是一個函數(shù)分段函數(shù)在其整個定義域上是一個函數(shù),答案答案: 1),1(31),1(3xxxxy即即 1,41,2xxxxy注注而不是幾個函數(shù)而不是幾個函數(shù)!13.xyO并畫出并畫出其圖形

11、其圖形. 2 4幾個今后常引用的函數(shù)幾個今后常引用的函數(shù)絕對值函數(shù)絕對值函數(shù)（1） | xy, 0 x0 x ,x,x 定義域定義域),( D值域值域)., 0 fRxyO| xy xyO符號函數(shù)符號函數(shù) xysgnxxx sgn 定義域定義域),( D值域值域.1 , 0 , 1 fR對對（2）, 0 x,1, 0 x,00 x,1 11 ,Rx 有有或或.sgn|xxx (3) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x 定義域定義域),( D值域值域.整數(shù)整數(shù)

12、fR 是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxDy01)(有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(4) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù) 定義域定義域),( D值域值域.1 , 0 fR(5) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg例例.)3(,212101)(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故1.有界性有界性 (bounded)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上有定義上有定義,Axf

13、)(則說則說 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間I上上有上有上 界界.),)(Bxf (下下), Ix 使得對所有使得對所有若存在若存在常數(shù)常數(shù)A都有都有(B),三、函數(shù)的特性 若存在常數(shù)若存在常數(shù)使得對所有使得對所有, Ix Mxf )(則稱則稱 f(x) 在在I上上有界有界. 在在 I上上無界無界;MxfM )(, 0 M都有都有 若這樣的若這樣的M 不存在不存在, 則稱則稱 f(x)即為對于任何即為對于任何, 0 M 總存在總存在,0Ix ,)(0Mxf 使使則稱則稱 f(x)在在 I上上無界無界.有界有界無界無界xyOab)(xfMM ,baI xyO20 xMxy1 )2 , 0( I在定義域上

14、有界的函數(shù)叫做在定義域上有界的函數(shù)叫做例例xysin 是有界函數(shù)是有界函數(shù);xy1 是無界函數(shù)是無界函數(shù), 但它在區(qū)間但它在區(qū)間 上上), 0( 在區(qū)間在區(qū)間 上上), 1( 注注 一定要把區(qū)間明確出來一定要把區(qū)間明確出來!不是有界函數(shù)不是有界函數(shù), 就是無界函數(shù)就是無界函數(shù).顯然顯然,(bounded function)有界函數(shù)有界函數(shù). .有界等同于既有上界又有下界有界等同于既有上界又有下界.有下界有下界,有界有界.2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)區(qū)間間的的定定義義域域為為設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),2121時時當當及及上任意兩點上任意兩點如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI ;)(上上是

15、是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時時當當及及上任意兩點上任意兩點如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有 注注 應指明單調(diào)區(qū)間應指明單調(diào)區(qū)間, 否則會產(chǎn)生錯誤否則會產(chǎn)生錯誤. 3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對于對于關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf yx

16、)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf有有對于對于關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy )1ln()1(2 xxy為為是判別是判別)(0)()(xfxfxf 判別給定函數(shù)的奇偶性判別給定函數(shù)的奇偶性,解題解題提示提示奇奇函數(shù)函數(shù)的的有效方法有效方法.判別下列函數(shù)的奇偶性判別下列函數(shù)的奇偶性:)2111)()2( xaxFy.)(, 1, 0為奇函數(shù)為奇函數(shù)其中其中xFaa 奇奇函數(shù)函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)有時也用其運算性質(zhì)有時也用其運算性質(zhì).主要是根據(jù)主要是根據(jù)奇偶性

17、的定義奇偶性的定義,4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定義域為的定義域為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)如果存在一個不為零的如果存在一個不為零的)()(xflxf 且且為周為周則稱則稱)(xf.)( ,DlxDxl 使得對于任一使得對于任一數(shù)數(shù).)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)xfl.恒成立恒成立例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)函數(shù) )(xDy,Qx .CQx , 1, 0狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(當當x是有理函數(shù)時是有理函

18、數(shù)時)(當當x是無理函數(shù)時是無理函數(shù)時)這是一個這是一個周期函數(shù)周期函數(shù), 任何正有理數(shù)任何正有理數(shù)r都是它都是它的的周期周期.因為不存在最小的正有理數(shù)因為不存在最小的正有理數(shù),所以沒有所以沒有最小正最小正周期周期.1. 函數(shù)的四則運算函數(shù)的四則運算設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(),(xgxf的定義域分別為的定義域分別為,21DD21DDD , 則可定義這兩個函數(shù)的下列運算則可定義這兩個函數(shù)的下列運算:和和( (差差) ) )(xgf:gf ;Dx 積積:gf )(xgf;Dx 商商:gf )(xgfDx 且且; 0)( xg),()(xgxf ),()(xgxf ,)()(xgxf四、函數(shù)運算四、函數(shù)運算

19、33).(1xfy 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x)的值域為的值域為W,則稱變量則稱變量x為變量為變量y的函數(shù)的函數(shù),記為記為定義定義2.反函數(shù)反函數(shù)(inverse function)如果對于如果對于W中任一中任一 y值值,從關(guān)系式從關(guān)系式 y = f (x)中可確定唯一的一個中可確定唯一的一個).(1yfx )(1yf 稱為函數(shù)稱為函數(shù)y =f (x)的的反函數(shù)反函數(shù), ,習慣上習慣上 y = f (x) 的的反函數(shù)記為反函數(shù)記為x值值,34求反函數(shù)的步驟求反函數(shù)的步驟求函數(shù)的反函數(shù)求函數(shù)的反函數(shù) y = f -1-1(x).(1) 把把x從方程從方程 y = f (x)中解出中解出;(2

20、) 把剛才所得的表達式中的把剛才所得的表達式中的x與與y對換對換,即得所即得所注意注意(1) y = f (x)的的圖形與其反函數(shù)圖形與其反函數(shù) x = f -1-1(y)的的圖形圖形y = f (x)的的圖形與其反函數(shù)圖形與其反函數(shù) y = f -1-1(x)的的圖形圖形關(guān)關(guān)xy 直線直線對稱對稱.(2) 只有只有一一對應的一一對應的函數(shù)函數(shù)才有才有反函數(shù)反函數(shù).重合重合;于于 yx)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數(shù)反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱對稱.xy 如如xy10 其反函數(shù)為其反函數(shù)為yxlg 指數(shù)函數(shù)

21、指數(shù)函數(shù)),( 定義域為定義域為值域為值域為);,0( 寫成寫成xylg Oxyxy 1xy10 1xylg 注注并不是所有函數(shù)都存在反函數(shù)并不是所有函數(shù)都存在反函數(shù).2xy 如如 函數(shù)函數(shù)),( 定義域為定義域為值域為值域為);,0 但對但對), 0( y都有兩個都有兩個yx 1和和yx 2與之對應與之對應, x不是不是y 的函數(shù)的函數(shù),2xy 不存在反函數(shù)不存在反函數(shù).并稱為對數(shù)函數(shù)并稱為對數(shù)函數(shù).,uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy 定義定義: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(ufy 的定義域的定義域fD, 而函數(shù)而函數(shù))(xu 的值域為的值域為 Z, 若若 ZDf, 則稱則稱函數(shù)函數(shù))(xfy 為為x的的

22、復合函數(shù)復合函數(shù).,自自變變量量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y3. 復合函數(shù)復合函數(shù)注意注意: :1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu)成合構(gòu)成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 3. 反過來反過來, 一個復雜的函數(shù)根據(jù)需要也可以一個復雜的函數(shù)根據(jù)需要也可以分解為若干簡單函數(shù)的復合分解為若干簡單函數(shù)的復合.39,e211xy ,e y,1 u.12xv 復合函數(shù)的分解復合函

23、數(shù)的分解(復合函數(shù)拆成幾個簡單函數(shù)復合函數(shù)拆成幾個簡單函數(shù)), 由函數(shù)的最外層運算一層層剝到最由函數(shù)的最外層運算一層層剝到最里邊里邊, 切不可漏層切不可漏層.如如uvu,v 都是中間變量都是中間變量.復合函數(shù)的定義域是復合函數(shù)的定義域是, 12 x即即)., 1()1, 1()1,(剝皮法剝皮法例例解解,01)( QxQxxD設(shè)設(shè).)().21(),57(的性質(zhì)的性質(zhì)并討論并討論求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1(1) 冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xy 定義域與定義域與 的取值有關(guān)的取值有關(guān). 五五. 初等函數(shù)初等函數(shù)(basic element

24、ary function)1.基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)xyO11)1 , 1(xy 2xy xy1 xy (2)、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey (3)、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (4)、三角函數(shù)、三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 定義域為定義域為),( 值域為值域為.1 , 1 xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)定義域為定義域為),( 值域為值域為.1 , 1 正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan 定義域定義域 Z,2

25、12 nnx值域值域).,(xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 定義域定義域Z, nnx值域值域).,(正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 50(5) 反三角函數(shù)反三角函數(shù)(inverse trigonometric function)xyarcsin xysinArc 定義域定義域值域值域,1 , 1 .2,2 主值主值反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)xyO22 11 反三角函數(shù)都是多值函數(shù)反三角函數(shù)都是多值函數(shù).但是但是,可以選取這些函數(shù)的可以選取這些函數(shù)的單值支單值支.51xyarccos 定義域定義域值域值域,1 , 1 ., 0 主值主值反余弦函數(shù)

26、反余弦函數(shù)xycosArc xyO11 52xyarctan 主值主值定義域定義域值域值域),(.2,2 反正切函數(shù)反正切函數(shù)xytanArc xyO2 2反余切函數(shù)反余切函數(shù)xyArccot xyO2 主值主值xycotarc 定義域定義域值域值域),()., 0( 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).532.初等函數(shù)初等函數(shù)(elementary function)初等函數(shù)初等函數(shù). .如如)11ln(8sin3222 xaxyx)3ln(1xy 都是初等函數(shù)都是初等函數(shù). 7 !75 ! 5

27、3 ! 3753xxxxy不是初等函數(shù)不是初等函數(shù)., 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算(加、減、乘、除加、減、乘、除)和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用成并可用一個式子表示一個式子表示的函數(shù)的函數(shù), 稱為稱為注注一般分段函數(shù)不叫初等函數(shù)一般分段函數(shù)不叫初等函數(shù),0,0, xxxxy如如 可看作分段函數(shù)可看作分段函數(shù),是否又可看作是初等函數(shù)是否又可看作是初等函數(shù)?答答: 0,0,xxxxy2|xx 故又可看作是初等函數(shù)故又可看作是初等函數(shù).是是!由于由于不是用不是用一個式子一個式子表達出來的表達出來的.因為它因為它例例).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時時當當 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20時時當當 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(212