八個無敵模型

1、八個有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）類型一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）圖1方法:ab2c2，即2R找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）a2b2c2，求出R例1A.例1A.（1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為16B.20C.24體積為16，則這個球的表面積是（.32(2)(2)若三棱錐的三個側面兩垂直，且側棱長均為則其外接球的表面積是解:16,a222,4Ra2h2441624，S24，選C；(2)4R2334R29(3)在正三棱錐SABC中,M、N分別是棱SC、BC的中點，且A

2、MMN,若側棱SA2、3則(3)題-1C(3)題-2正三棱錐SABC外接球的表面積是。36解：引理：正三棱錐的對棱互垂直。證明如下：如圖（3）-1，取AB,BC的中點D,E，連接AE,CD,AE,CD交于H，連接SH，則H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC,SHAB,ACBC,ADBD,CDAB,AB平面SCD,ABSC,同理：BCSA,ACSB,即正三棱錐的對棱互垂直,本題圖如圖(3)-2,AMMN,SB/MN,AMSB,ACSB,SB平面SAC,SBSA,SBSC,SBSA,BCSA,SA平面SBC,SASC,故三棱錐SABC的三棱條側棱兩兩互相垂直，(2R)2(2.3)2(2、3

3、)2(2、3)236，即4R236,正三棱錐SABC外接球的表面積是36(4)在四面體SABC中，SA平面ABC,BAC120,SAAC2,AB1,則該四面體的外接(5)(6)解析:BC球的表面積為（D）A.11B.7如果三棱錐的三個側面兩兩垂直，它們的面積分別為已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為何體外接球的體積為(4)在ABC中，BC2AC2AB22AB、7，ABC的外接球直徑為2rBCsinBAC(2R)2(2r)2SA2（5）三條側棱兩兩生直,設三條側棱長分別為ab12bcabc24，a3，bac(6)(2R)b2c23，R23，410C.-36、4、40D.33，那么它的外接

4、球的表面積是1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾BCcos1203，選Da,b,c(a,b,c，則c2，(2R)2b2類型二、垂面模型1.題設：如圖5,PA平面ABC解題步驟：第一步：將ABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑AD，連接PD，貝UPD必過球心0;（一條直線垂直于一個平面）第二步：0,為徑0,DasinA29，S4R229，ABC的外心，所以00,平面ABC，算出小圓0,的半r（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得c2r),001IpA；sinBsinC2第三步:利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；R2r2

5、OO12Rr2OOi22.題設：如圖6,7,8,P的射影是ABC的外心三棱錐PABC的底面ABC在圓錐的底上，頂點三棱錐PABC的三條側棱相等P點也是圓錐的頂點圖8-3解題步驟:第一步：確定球心O的位置，取ABC的外心Oi，則PQO三點共線;第二步:先算出小圓Oi的半徑AOi第三步:方法二:r，再算出棱錐的高PO1h（也是圓錐的高）；勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2，解出R小圓直徑參與構造大圓。例2一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為C.里D.以上都不對3()CA.B.解:選C,(.3R)2R2,32、3RR21R2,423R0,23'S4R2圖9

6、-14.圖9-2圖9-3圖9-4類型三、切瓜模型（兩個平面互相垂直）（2）正四棱錐SABCD的底面邊長和各側棱長都為2，各頂點都在同一個球面上，則此球的體積為1題設：如圖9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心0必是PAC的外心，即PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC2r；第二步：在PAC中，可根據(jù)正弦定理ab2R，求出RsinAsinBsinC2.如圖9-2，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑）OChr,故球心在正方形的中心SAC的外接圓，此處特殊，o1c2o1o2R2r20102AC2一R2O1O23.如圖9-3，平面PAC平面

7、ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑），且P的射影是ABC的外心三棱錐PABC的三條側棱相等三棱PABC的底面ABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取ABC的外心O1，則PQOj三點共線；第二步：先算出小圓O1的半徑AO1r，再算出棱錐的高PO1h（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2（hR）2r2，解出R4.如圖9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑），且PAAC，貝U利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2PA2（2r）22R.PA2（2r）2；R2r2OO12Rr2OO12例3（1）正四棱錐的頂點

8、都在同一球面上，若該棱錐的高為1，底面邊長為23，則該球的表面積為<解：（1）由正弦定理或找球心都可得2R7,S4R249（2）方法一：找球心的位置，易知r1,h方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是ABCD處，R1,V3RtSAC的斜邊是球半徑，2R2,R1,V（3）在三棱錐PABC中，PAPBPC.3,側棱PA與底面ABC所成的角為60,則該三棱錐外接球的體積為（A.B.C.4D.解：選D,圓錐A,B,C在以r3的圓上,2（4）已知三棱錐SABC的所有頂點都在球徑,且SC2，則此棱錐的體積為（O的求面上,AABC是邊長為1的正三角形，SC為球0的直D.A.Al6解：001、.R2r

9、2.1(j)22.63!Sh類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）圖10-2,圖10-2,C02¥0I11rli1O0:C!/J01叢A一O1一圖10-2圖10-3題設：如圖10-1,是任意三角形）10-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以第一步：確定球心O的位置，01是ABC的外心，則001平面ABC;第二步：算出小圓01的半徑AO1001丄AA12（AA1h也是圓柱的高）；第三步：勾股定理:OA2O1A20102R2(h)2r22h2r2)2，解出R例4（1）一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,

10、9且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為81解：設正六邊形邊長為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的關徑為r，則a,2底面積為S63(-)2-，V柱428R2R1，球的體積為V-3(2)直三棱柱ABCA1BQ1的各頂點都在同一球面上,ABACAA12,BAC120，則此球的表面積等于解:BC23，"4，r2，R5，S20(3)已知EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直,EAEB3,AD2,AEB60，則多面體E球的表面積為。16解析：折疊型，法一:EAB的外接圓半徑為r,3，OO11，ABCD的外接R132；法二:O1M3，r2O2D22，S16(4)在直三棱柱A

11、BCAB1C1中，AB4,AC6,A-,AA134則直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面積為1603解析:BC2163628，BC2.7，2r2一74.73，R22AA2(三)283403，160S-3類型五、折疊模型第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD畫在小圓上，找出BCD和ABD的外心H1和H2；第二步：過H1和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點即為球心O，連接OE,OC；勾股定理：OH12CH12OC2例5三棱錐PABC中，平面PAC平面ABC，錐PABC外接球的半徑為PAC和ABC均為邊長為2的正三角形，則三棱解析:2ri2r2sin60O2HR2O2H253,

12、R.15；法二:O2H1.3,OiHAH1,R2AO2AH2O1H2O1O2類型六、對棱相等模型（補形為長方體）題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；(ABCD,ADBC,ACBD)第二步：設出長方體的長寬高分別為a,b,c，ADBCx，ABCDy，ACBDz，列方程組,2ab22cb22c2a2x2y2z22(2R)ab22z>補充:VaBCDabclabc614abc3第三步：根據(jù)墻角模型,2RR2lx2y2z2、R8，求出R，例如,正四面體的外接球半徑可用此法。圖12(1)題第三步：解OEH1，算出OH1，

13、在RtOCH1中,例6（1）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（2）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是v'3個截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（2）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是v'31的球面上，其中底面的三個頂點313A.圧4PO2解：（1）截面為PCO1，面積是2；（2）高hR1，底面外接圓的半徑為R1，直徑為2R2,（1）題解答圖設底面邊長為a，則2R-2,a3,Sa233,sin60441 .

14、9;3三棱錐的體積為V-Sh34(3)在三棱錐ABCD中，ABCD2,ADBC3,ACBD4,則三棱錐ABCD外接球的表面積為292設長寬高分別為a,b,c，則a2b29，a,b,c，解析：如圖12,設補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長,b22c4,2ca2162(a2b2c2)941629,2(a2b2c2)941629,2.2229229o29abc4R2，22(4)如圖所示三棱錐ABCD,其中ABCD5,ACBD6,ADBC7,則該三棱錐外接球的表面積為.解析：同上，設補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設長寬高分別為22222222(a2b2c2)253649110，a2b

15、2c255，4R255，S【55;對稱幾何體；放到長方體中】(5)正四面體的各條棱長都為.2，則該正面體外接球的體積為解析：這是特殊情況，但也是對棱相等的模式，放入長方體中，2R.3，薦433扁R，V2 382類型七、兩直角三角形拼接在一起題設：APBACB90,C求三棱錐PABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點O,連接1OPAB,2半徑)，當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關，只要不是平角球半徑都為定OP,OC，貝yOAOBOCO為三棱錐PABC外接球球心，然后在OCP中求出值。例7(1)在矩形ABCD中，AB4,則四面體ABCD的外接球的體積為(125125A.-

16、12BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD,)12561253(斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型解：(1)2RAC5,R解：(1)2RAC5,R434125125R3 38（2）在矩形ABCD中，AB2,BC3,沿BD將矩形，選C6ABCD折疊，連接AC,所得三棱錐ABCD解析：（2）BD的中點是球心O,2RBD13,S4R213的外接球的表面積為類型八、錐體的內(nèi)切球問題1題設：如圖14，三棱錐PABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步:先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個三角形的外心;第二步:求DH1BD3，POPHr，PD是側面ABP的高;第三步:由PO

17、E相似于PDH，建立等式：竺DHPO，解出rPDB圖14-H2.題設：如圖15，四棱錐ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步:先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,P,O,H三點共線;第二步:1求FHBC,PO2PHPF是側面PCD的高;第三步:OG由POG相似于PFH，建立等式：OGHFPO，解出PFD圖153.題設：三棱錐PABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設內(nèi)切球的半徑為r，建立等式:VPABCVOABCVOPABPACVoPBCVpABC1SSABC3SpaBrSpac33rSpb

18、c3r3(SabcSPABSpaCSpbc)r第三步:解出3VpABC習題：1. 若三棱錐A.3解：【A】（2R）2,41616ABC的三條側棱兩兩垂直，B.6C.366,R3且SA2,SBSCD.94,則該三棱錐的外接球半徑為（【三棱錐有一側棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共兩種】三棱錐SABC中，側棱SA平面ABC，底面ABC是邊長為3的正三角形,323棱錐的外接球體積等于V3224解析：2r2,（2R）41216,R4,R2，外接球體積sin603【外心法（加中垂線）找球心；正弦定理求球小圓半徑】SA23，則該三323.正三棱錐SABC中，底面ABC是邊長為.3的正三角形，側棱長為于2，則該三棱錐的外接球體積等解析：ABC外接圓的半徑為，三棱錐SABC的直徑為2R2sin602或R2(R.,3)21,R_，外接球體積V4.三棱錐PABC中，平