第一章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)3,4,5

1、1.3 常系數(shù)線(xiàn)性差分方程 離散時(shí)間線(xiàn)性移不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可用常系數(shù)線(xiàn)性差常系數(shù)線(xiàn)性差分方程分方程表示： 常系數(shù)：指 （ ）是常數(shù)，決定系統(tǒng)的特征。如果系數(shù)中含有 ，稱(chēng)為變系數(shù)線(xiàn)性差分方程。 差分方程的階數(shù)：未知序列 變量序號(hào)的最高值與最低值之差。顯然上式是 階差分方程， 線(xiàn)性： 及 都只有一次冪且不存在它們的相乘項(xiàng)。 求解常系數(shù)線(xiàn)性差分方程的方法： 序列域（離散時(shí)域）求解法 迭代法：數(shù)值解法，不能得到閉合解（公式解）。 卷積和計(jì)算法：求零狀態(tài)解。 變換域求解法：用Z變換方法求解。 )()(00mnxbknyaMmmNkkMNbbbbaaaa,.,.,210210mkba ,n)(nyN

2、Nk0:)(kny)(knx 用迭代法求解差分方程求單位抽樣響應(yīng) 在本書(shū)中：數(shù)字濾波器系統(tǒng)都是松弛系統(tǒng)，即系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，系統(tǒng)無(wú)起始儲(chǔ)能。因此，單位抽樣序列作用下得到的系統(tǒng)響應(yīng)就完全代表系統(tǒng)。 對(duì)于一個(gè)差分方程：給定輸入、給定邊界條件（起始條件）那么就可用迭代法求系統(tǒng)的響應(yīng)。 例例1.3.1給定常系數(shù)線(xiàn)性差分方程求其單位抽樣響應(yīng)（起始狀態(tài) ） 解解：既然求單位抽樣響應(yīng)，那么令 ，則 ，可推出 將遞推關(guān)系改為： )() 1()(nxnayny0) 1(y)()(nnx0) 1() 1(hy0, 0)()(nnhny)()(1) 1()()(1) 1(nnhanhnxnyany 當(dāng) 時(shí)： 系統(tǒng)單

3、位抽樣響應(yīng)： 0) 1(h0) 1() 1(1)2(hah0, 0)(nnh0n11) 1()0( ahhaahh0)0() 1 (20) 1 ()2(aahhnanahnh0) 1()( 0, 00,)(nnanhn)()(nuanhn從上式看出，這個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于因果系統(tǒng)，當(dāng) 則系統(tǒng)穩(wěn)定。但是，一個(gè)常系數(shù)線(xiàn)性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，這由邊界條件來(lái)決定。還是利用這個(gè)例子，分析如下： 邊界條件改為 ，其它條件不變 ，代入 ，得 ，改一下遞推關(guān)系： 利用已知結(jié)果 ， 則當(dāng) 時(shí) ： 1a0)0(y0)0(y0n0)()(nhny)()(nnx)() 1()(nnahnh0) 1 ()0() 1

4、(ahh0)2() 1 ()2(ahh0)(nh0n)()(1) 1(nxnyany0)(nh0n0n 從上一節(jié)例題知道，此系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。 同樣道理，一個(gè)常系數(shù)線(xiàn)性差分方程相當(dāng)于一個(gè)線(xiàn)性移不變系統(tǒng)，同樣取決于所選的邊界條件，邊就是說(shuō)邊界條件合適時(shí)，一個(gè)常系數(shù)線(xiàn)性差分方程相當(dāng)于一個(gè)線(xiàn)性移不變系統(tǒng)。例如上面例題，邊界條件為： 0) 1 () 1 (1)0(hah1)0()0(1) 1(ahah2) 1() 1(1)2(ahahnanhanh) 1(1)(0,0, 0)(nannhn) 1()(nuanhn1a ，系統(tǒng)是非線(xiàn)性移變系統(tǒng)（既非線(xiàn)性系統(tǒng)，也非移不變系統(tǒng)） ，系統(tǒng)是線(xiàn)

5、性系統(tǒng)，但不是移不變系統(tǒng) ，系統(tǒng)是線(xiàn)性移不變系統(tǒng)下面證明第一個(gè)結(jié)論（ ，系統(tǒng)是非線(xiàn)性移變系統(tǒng)）。 例例1.3.2常系數(shù)線(xiàn)性差分方程 邊界條件 ，討論此系統(tǒng)是否是線(xiàn)性移不變系統(tǒng)。解：解：（1）令 , 討論 的情況 則 1)0(y0)0(y0) 1 (y1)0(y)() 1()(nxnayny1)0(y)()(1nnx1)0(1y0naxayy) 1 ()0() 1 (1112111)2() 1 ()2(axayynanxnayny)() 1()(111將方程改寫(xiě)：可遞推求得： ， 討論 的情況 令 ， 討論 的情況則 同理可遞推求得 ， 討論 的情況 得到 系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。 )()(1) 1(n

6、xnyany0)(1ny0n0n)()(1nuanyn) 1()(2nnx1)0(2y0n1) 1 ()0() 1 (222axayyaaxayy2222)2() 1 ()2(1222)() 1()(nnaanxnaynynany)(20n0n) 1() 1()()(12nuanuanuanynnn（2）討論線(xiàn)性在討論移不變性時(shí)，我們已經(jīng)知道： 令 ，則得到： ， 同理可求得： ， 又 顯然 因此，本系統(tǒng)不是線(xiàn)性系統(tǒng)。 )()(1nnx)()(1nuanyn) 1()(2nnx) 1() 1()()(12nuanuanuanynnn) 1()()()()(213nnnxnxnx1)0(3y1)

7、 1 ()0() 1 (333axayyaaxayy2333)2() 1 ()2(1333)() 1()(nnaanxnayny0n0)(3ny1n) 1()()(13nuanuanynn) 1() 1()(2)()(121nuanuanuanynynnn)()()(213nynyny 在以后的討論中，我們都假設(shè)常系數(shù)線(xiàn)性差分方程就代表線(xiàn)性移不變系統(tǒng)，而且在大多數(shù)情況下，代表可實(shí)現(xiàn)的因果系統(tǒng)。 差分方程表示法的優(yōu)點(diǎn)：可以直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（將輸入變換成輸出的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，并非實(shí)際結(jié)構(gòu)）例如： 方框圖表示法如下： ) 1()()(10nyanxbny1.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)及傅里葉級(jí)數(shù)1單位階躍信號(hào)

8、在跳變點(diǎn) 處，函數(shù)值未定義。階躍函數(shù)具有單邊特性。 0, 10, 0)(tttu0t000, 1, 0)(ttttttu 用 表示各種信號(hào)：矩形脈沖 符號(hào)函數(shù) )(tu)()()(0ttututR0, 10, 1)sgn(ttt1)(2tu2.單位沖激信號(hào) 定義：狄拉克給出的 函數(shù)的定義 的定義函數(shù)可用單位階躍函數(shù)來(lái)定義：如果矩形脈沖面積不固定為 ，比如說(shuō)是 ，我們說(shuō)沖激強(qiáng)度為 )(t)(t( )1( )( )0,0t dtttt)(0tt 0000()1()()0,tt dttttttt)2()2(1lim)(0tutut1EE 的性質(zhì)()抽樣特性 如果單位沖擊信號(hào) 與一個(gè)在 點(diǎn)連續(xù)（且處處

9、有界）的信號(hào) 相乘，那么我們有類(lèi)似地對(duì)于延遲 的單位沖擊信號(hào)有： 這兩個(gè)式子表明了沖激信號(hào)的抽樣特性，也就是說(shuō)，把 在 , 時(shí)刻的值抽取出來(lái)。 () ，即 函數(shù)是偶函數(shù) 與 關(guān)系積分： 微分： )(t)(t0t)(tf)0()()(fdttft0t)()()(00tfdttftt)(tf0t0tt )()(tt)(t)(tu)()(tudt)()(tdttdu3沖擊偶信號(hào) 沖擊信號(hào)微分（階躍函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)）稱(chēng)為沖擊偶信號(hào) ，它是具有正負(fù)極性的一對(duì)沖擊信號(hào)。兩個(gè)性質(zhì)： 為 導(dǎo)數(shù)在零點(diǎn)的值， 在 點(diǎn)連續(xù) 沖擊偶延遲 包含面積為 ，正負(fù)沖激面積抵消 )(t)(t)0()()(fdttft)0(f )

10、(tf)(tf 0)()()(00tfdttftt0t0)(dtt0二、線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)1線(xiàn)性：可加性，齊次性2時(shí)不變性：在同樣起始狀態(tài)下，系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)加于系統(tǒng)的時(shí)刻無(wú)關(guān)。3微分特性：激勵(lì) ，響應(yīng)4因果性： 時(shí)，激勵(lì)信號(hào) ,那么相應(yīng)輸出信號(hào)在 時(shí) )(te)(tr0tt 0)(te0tt 0)(tr0)(te0)(tr三、卷積1定義： 求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的重要方法2卷積性質(zhì)交換率：分配率：結(jié)合率： 3卷積的微分與積分兩個(gè)函數(shù)相卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)的卷積。 兩個(gè)函數(shù)相卷積后的積分等于其中一函數(shù)的積分與另一函數(shù)的卷積。 )()()()()(0thtethetrt)(*)()(

11、*)(1221tftftftf)(*)()(*)()()(*)(3121321tftftftftftftf)(*)(*)()(*)(*)(321321tftftftftftf)()()()()()(212121tfdttdfdttdftftftfdtdtttdftfdftfdff)()()()()()(1221214沖激函數(shù)與任意函數(shù)的卷積在信號(hào)與系統(tǒng)中，這個(gè)性質(zhì)應(yīng)用非常廣泛。進(jìn)一步有：這說(shuō)明， 與 相卷積的結(jié)果，相當(dāng)于把函數(shù)本身延遲t0 )()()()()(tfdtfttf)()()()()(000ttfdttftttf)(tf)(0tt 四、傅里葉級(jí)數(shù) 任何周期函數(shù)在滿(mǎn)足狄利赫利條件下，可

12、展成正交函數(shù)線(xiàn)性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)。如果正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集 ，那么周期函數(shù)所展成的級(jí)數(shù)就是“傅里葉級(jí)數(shù)”。1三角形式傅里葉級(jí)數(shù) 設(shè)周期信號(hào)為 ，其周期為 ，角頻率為 ，當(dāng) 滿(mǎn)足狄利赫利條件（在一個(gè)周期內(nèi)，有有限間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)，且信號(hào)絕對(duì)可積），可展成三角形式傅里葉級(jí)數(shù)。根據(jù)正交函數(shù) 的正交特性 ，可得： tntn11sin,cosetjn1)(tf1T11122Tf)(tf1110)sincos()(nnntnbtnaatf)(tgi)()()(0)()(21212jiKdttgjidttgtgittittji (所有 ) ，其系數(shù) ， 為正交函數(shù)集，那么： 0sincos1001

13、1dttmtnTttnm,nmnmTdttmtnTtt, 0,2coscos111100nmnmTdttmtnTtt, 0,2sinsin1111001)()(iiitgctf2121)()()()(2ttittiitdtgdttgtfc)(tgi 直流分量 余弦分量的幅度 正弦分量的幅度積分區(qū)間 取為 或 ，將 改寫(xiě)為：或 100)(110TttdttfTa10011cos)(2TttntdtntfTa10011sin)(2TttntdtntfTb),(100Ttt), 0(1T)2,2(11TT1110)sincos()(nnntnbtnaatf110)cos()(nnntncctf110

14、)sin()(nnntnddtf得： ( ) 通常把頻率 對(duì)應(yīng)的分量稱(chēng)為基波，頻率 、 、等分量稱(chēng)為二次諧波三次諧波等。 下面畫(huà)出 與 的關(guān)系圖形及相位 與 關(guān)系圖形。 000dca22nnnnbadcnnnnndcasincosnnnnndcbcossinnnnbatgnnnabtg, 3 , 2 , 1n111Tf 12 f13fnc1nn1n 圖A 從圖中可看出：周期信號(hào)頻譜只出現(xiàn)在 0 ， ， 等離散頻率點(diǎn)上，這種頻譜稱(chēng)為離散譜。 1122指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 當(dāng)正交函數(shù)集是 時(shí)，周期信號(hào)可直接展成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。 指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù) （或簡(jiǎn)寫(xiě)為 ） , tjne1ntjn

15、enFtf1)()(1101122ntjnnntjnnnejbaejbaa)(21cos111tjntjneetn)(21sin111tjntjneejtn)(1nFnF ， 1001)(11TtttjnndtetfTFn根據(jù)歐拉公式可得到： ( )0000adcF)(21nnjnnjbaeFFn)(21nnjnnjbaeFFn22212121nnnnnnbadcFFnnnFFcnnnFFa)(nnnFFjb, 3 , 2 , 1n同樣地我們可畫(huà)出指數(shù)形式表示的信號(hào)頻譜。因?yàn)?一般是復(fù)函數(shù)，因此這種頻譜稱(chēng)為復(fù)數(shù)頻譜。根據(jù) ，可畫(huà)出復(fù)數(shù)幅度譜 及相位譜 。圖中譜線(xiàn)長(zhǎng)度 圖B nFnjnneFFn

16、FnnncF21 與前面兩個(gè)圖形比較可知：圖A中：每條譜線(xiàn)代表一個(gè)分量的幅度，而圖B中，每個(gè)分量的幅度一分為二，在正負(fù)頻率相對(duì)應(yīng)的位置上條為一半，所以只有把正負(fù)頻率上對(duì)應(yīng)的這兩條譜線(xiàn)加起來(lái)才代表一個(gè)分量的幅度。3典型周期信號(hào)的頻譜(1)周期矩形脈沖信號(hào) 設(shè)周期矩形脈沖信號(hào) 的脈沖寬度為 ，脈沖幅度為 ，周期為 （ ） )(tfE1T1122Tf此信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi) 的表示式為： 把周期信號(hào) 展成三角形式傅里葉級(jí)數(shù)： 求出系數(shù)： 或?qū)懽?)2,2(11TT2, 02,)(ttEtf)(tf1110)sincos()(nnntnbtnaatf111022221)(1TEEdtTdttfTa12111

17、sin2cos2cos)(22222TnnEtdtnETtdtntfTaTn)2()(2111nSaETnSaTEan其中 稱(chēng)為抽樣函數(shù)其中抽樣函數(shù)定義： 特點(diǎn)： 偶函數(shù) 時(shí)， ( ) 11)sin()(1TnTnTnSatttSasin)(nt,2,0)(nSa02)(dttSadttSa )(由于 是偶函數(shù)： ，周期矩形信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)為： 將 展成指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)為 )(tf0nbnnac 11111cos)(2)(ntnTnSaTETEtf)(tf)2(1111221nSaTEdtEeTFtjnnntjnntjnnenSaTEeFtf11)2()(11顯然我們可以畫(huà)出其幅度譜

18、及相位譜。特點(diǎn)： 1. 譜線(xiàn)間隔 ，周期越大，譜線(xiàn)越靠近 2它包含無(wú)窮多條譜線(xiàn)，可分解成無(wú)窮多個(gè)頻率分量112T 3它的能量主要集中在第一個(gè)零點(diǎn)以?xún)?nèi)。因此在實(shí)際中，允許一定失真的情況下，可要求通信系統(tǒng)只傳送 頻率范圍內(nèi)的各頻譜分量，舍棄 的分量。通常將 這段頻率范圍稱(chēng)為矩形信號(hào)的頻帶寬度，記為B。 脈沖越寬，頻帶越窄(2)周期鋸齒脈沖信號(hào)(3)周期三角脈沖信號(hào)(4)周期半波余弦信號(hào)(5)周期全波余弦信號(hào) 22202B1fB1.5傅里葉變換一、FT定義： 我們可以把一個(gè)非周期函數(shù)看作一個(gè)周期為無(wú)限大的周期函數(shù)。下面直接給出傅里葉變換對(duì)： 傅里葉變換 傅里葉逆變換為了書(shū)寫(xiě)方便： 稱(chēng)為 的頻譜密度函

19、數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)：頻譜函數(shù)，一般 是復(fù)函數(shù)： ，為了與周期信號(hào)的頻譜相一致，習(xí)慣上把 、 曲線(xiàn)分別稱(chēng)為：非周期信號(hào)的幅度頻譜與相位頻譜。 dtetfFtj)()(deftftj)(21)()()(tfFF)()(1ftfF)(F)(tf)(F)()()(jeFF )(F )( 傅里葉變換存在的充分條件：在無(wú)限區(qū)間內(nèi)滿(mǎn)足絕對(duì)可積的條件： 二、典型非周期信號(hào)的頻譜矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換其傅里葉變換 幅度譜：dttf)(2, 02,)(ttEtf)2sin(2)()()(22EdtetfdtetfFtjtj)2(2 )2sin(SaEE)2()(SaEF相位譜： （ ）從 及上圖可看出：矩形脈沖信號(hào)在時(shí)域

20、集中于有限的范圍內(nèi)，然而其頻譜卻以 的規(guī)律變化，分布在無(wú)限寬的頻率范圍上，但其主要能量處于 。因此通常認(rèn)為這種信號(hào)占有頻率范圍（頻帶）B近似為 ，即 ) 1(4) 12(2,) 12(24, 0)(nnnn, 3 , 2 , 1n)(F)2(Sa10f11B單邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換鐘形脈沖信號(hào)的傅里葉變換符號(hào)函數(shù)升余弦脈沖信號(hào)的傅里葉變換 jFttetfFTIFTt1)(0, 00,)(22)2()()(0,)(eEFtEetfFTIFTtjFttttfFTIFT2)(0, 10, 1)sgn()(三、沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換1沖激函數(shù)的 可見(jiàn)單位沖激函數(shù)的頻譜是常數(shù)，即：在整個(gè)頻率范圍

21、內(nèi)頻譜是均勻分布的，稱(chēng)為均勻譜。2沖激函數(shù)的 （由逆變換定義可易得）顯然 FT)(1)()(tdtetFtjFIFT21)(1F )(21F)(2)(EEF3階躍函數(shù)的 從階躍函數(shù) 的波形中看出，不滿(mǎn)足絕對(duì)可積的條件，但是其傅里葉變換仍存在 四、卷積定理時(shí)域卷積定理：頻域卷積定理： FT)(tu)sgn(2121)(ttu jttu1)()sgn(21121)(FFF)()()()(2121FFtftfF)(*)(21)()(2121FFtftfF五、傅里葉變換的性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性若 則 當(dāng) 為偶函數(shù)時(shí)， ，時(shí)域和頻域的對(duì)稱(chēng)性完全成立。即 的頻譜為 ，那么形狀為 的波形，其頻譜必為 。（僅差一常數(shù)）線(xiàn)

22、性（疊加性）若 則 ：常數(shù) )()(tfFF)(tF)(2)(ftFF)(tf)(2)(2ff)(tf)(F)(f)()(iiFtfFniiiniiiFatfa11)()(Fia尺度變換若 則 ( 為非零系數(shù))由此特性看出，信號(hào)在時(shí)域中壓縮等效于在頻域中擴(kuò)展，反之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展，則等效于在頻域中壓縮。（因?yàn)樾盘?hào)波形壓縮 倍，信號(hào)隨時(shí)間變化加快 倍，則其所包含的頻率分量增加 倍，即頻譜展寬 倍。根據(jù)能量守恒，各頻率分量大小必然減少。若要壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，則不得不以展寬頻帶為代價(jià)。時(shí)移特性若 則 信號(hào) 在時(shí)域中沿時(shí)間軸右移 等效于頻域中頻譜乘以因子)()( FtfF)(1)(aFaatfFaaaaa)()( FtfF0)()(0tjeFttfF)(tf0t0tje頻移特性若 則 若信號(hào) 乘以 ，等效于 的頻譜 沿頻率軸右移 。 頻譜搬移技術(shù)在通信中得到廣泛應(yīng)用。例如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過(guò)程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻譜搬移的實(shí)現(xiàn)原理是將信號(hào) 乘以所謂載頻信號(hào) 或因?yàn)?得： 所以，若時(shí)間信號(hào) 乘以 或 ，等效于 的頻譜 一分為二，沿頻率軸向左向右平移 。)()( FtfF)()(00FetftjF)(tftje0)(tf)(F