第三章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：多元回歸.

1、第三章第三章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：多元線性回歸模型多元線性回歸模型 多元線性回歸模型多元線性回歸模型 多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的參數(shù)估計 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 多元線性回歸模型的預測多元線性回歸模型的預測 回歸模型的其他形式回歸模型的其他形式 回歸模型的參數(shù)約束回歸模型的參數(shù)約束3.1 3.1 多元線性回歸模型多元線性回歸模型 一、多元線性回歸模型一、多元線性回歸模型 二、多元線性回歸模型的基本假定二、多元線性回歸模型的基本假定 一、多元線性回歸模型一、多元線性回歸模型 多元線性回歸模型多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線

2、性回歸模型中的解釋變量有多個。 一般表現(xiàn)形式一般表現(xiàn)形式：ikikiiiXXXY 22110i=1,2,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，j稱為回歸參數(shù)回歸參數(shù)（regression coefficient）。ikikiiiXXXY 22110也被稱為也被稱為總體回歸函數(shù)總體回歸函數(shù)的的隨機表達形式隨機表達形式。它。它 的的非隨機表達式非隨機表達式為為:kikiikiiiiXXXXXXYE 2211021),|(表示：表示：各變量各變量X X值固定時值固定時Y Y的平均響應的平均響應。 習慣上習慣上：把常數(shù)項常數(shù)項看成為一虛變量虛變量的系數(shù)，該虛變量的樣本觀測值始終取1。于是：模型中解釋變量的數(shù)目為

3、（模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1） 總體回歸模型n個隨機方程的矩陣表達式矩陣表達式為: XY其中其中 j也被稱為偏回歸系數(shù)偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，X j每變化1個單位時，Y的均值E(Y)的變化; 或者說j給出了X j的單位變化對Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。)1(212221212111111knknnnkkXXXXXXXXXX1)1(210kk121nn用來估計總體回歸函數(shù)的樣本回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)為：kikiiiiXXXY22110其其隨機表示式隨機表示式: : ikikiiiieXXXY22110 ei稱為殘差殘差或剩余項剩余項(residuals

4、)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機擾動項 i的近似替代。 樣本回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)的矩陣表達矩陣表達: XY或或eXY其中其中：k10neee21e二、多元線性回歸模型的基本假定二、多元線性回歸模型的基本假定 假設(shè)1，解釋變量是非隨機的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無多重共線性）。 假設(shè)2，隨機誤差項具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性。0)(iE22)()(iiEVar0)(),(jijiECovnjiji, 2 , 1, 假設(shè)3，解釋變量與隨機項不相關(guān) 0),(ijiXCovkj,2 , 1 假設(shè)4，隨機項滿足正態(tài)分布 ), 0(2Ni上述假設(shè)的上述假設(shè)的矩陣符號表示矩陣符號表示 式：式： 假設(shè)1

5、，n(k+1)矩陣X是非隨機的，且X的秩=k+1，即X滿秩。 假設(shè)2， 0)()()(11nnEEEEnnEE11)( 21121nnnEI22211100)var(),cov(),cov()var(nnn假設(shè)4，向量 有一多維正態(tài)分布，即 ),(2I0N 同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下兩個重同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下兩個重要假設(shè)：要假設(shè)： 假設(shè)5，樣本容量趨于無窮時，各解釋變量的方差趨于有界常數(shù)，即n時， 假設(shè)3，E(X )=0，即 0)()()(11iKiiiiiKiiiiEXEXEXXE 其中：Q為一非奇異固定矩陣，矩陣x是由各解釋變量的離差為元素組成的nk階矩陣 knnkx

6、xxx1111x假設(shè)6，回歸模型的設(shè)定是正確的。 jjjijiQXXnxn22)(11Qxx n1或3.2 3.2 多元線性回歸模型的估計多元線性回歸模型的估計 一、普通最小二乘估計一、普通最小二乘估計 * *二、最大或然估計二、最大或然估計 * *三、矩估計三、矩估計 四、參數(shù)估計量的性質(zhì)四、參數(shù)估計量的性質(zhì) 五、樣本容量問題五、樣本容量問題 六、估計實例六、估計實例 說說 明明估計方法：估計方法：3大類方法：大類方法：OLS、ML或者或者MM在經(jīng)典模型中多應用在經(jīng)典模型中多應用OLS在非經(jīng)典模型中多應用在非經(jīng)典模型中多應用ML或者或者MM在本節(jié)中，在本節(jié)中， ML與與MM為選學內(nèi)容為選學內(nèi)

7、容一、普通最小二乘估計一、普通最小二乘估計 對于隨機抽取的n組觀測值kjniXYjii, 2 , 1 , 0, 2 , 1),(如果樣本函數(shù)樣本函數(shù)的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，則有： KikiiiiXXXY22110i=1,2n 根據(jù)最最小二乘原小二乘原理理，參數(shù)估計值應該是右列方程組的解 0000210QQQQk其中2112)(niiiniiYYeQ2122110)(nikikiiiXXXY 于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組正規(guī)方程組： kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)()()()(221102222110112

8、211022110 解該（k+1） 個方程組成的線性代數(shù)方程組，即可得到(k+1) 個待估參數(shù)的估計值$, , ,jj 012 。k正規(guī)方程組正規(guī)方程組的矩陣形式矩陣形式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn212111211102112111111即YXX)X(由于XX滿秩，故有 YXXX1)( 將上述過程用矩陣表示矩陣表示如下： 即求解方程組：0)()(XYXY0)(XXXYYXYY0)2(XXXYYY0XXYX得到： YXXX1)(XXYX于是：例例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入家庭收入-消費支出消費支出例中， 536500002150

9、02150010111111)(22121iiinnXXXnXXXXXXXX39468400156741112121iiinnYXYYYYXXXYX可求得： 0735. 10003. 00003. 07226. 0)(1EXX于是： 7770. 0172.10339648400156740735. 10003. 00003. 07226. 021E正規(guī)方程組正規(guī)方程組 的另一種寫法對于正規(guī)方程組正規(guī)方程組 XXYXXXeXXX于是 0eX或 (*)或（*）是多元線性回歸模型正規(guī)方程組正規(guī)方程組的另一種寫法。 (*)(*)0ie0iijieX樣本回歸函數(shù)的離差形式樣本回歸函數(shù)的離差形式ikiki

10、iiexxxy2211i=1,2n 其矩陣形式矩陣形式為：exy其中 ：nyyy21yknnnkkxxxxxxxxx212221212111xk21 在離差形式下，參數(shù)的最小二乘估計結(jié)果為 Yxxx1)(kkXXY110隨機誤差項隨機誤差項 的方差的方差 的無偏估計的無偏估計 可以證明，隨機誤差項的方差的無偏估計量為： 1122knkneiee * *二、最大或然估計二、最大或然估計 對于多元線性回歸模型ikikiiiXXXY 22110易知),(2XiNYi Y的隨機抽取的n組樣本觀測值的聯(lián)合概率)()(21)(212122222211022)2(1)2(1),(),(XYXYeeYYYPL

11、nXXXYnnnkikiiin 對數(shù)或然函數(shù)為)()(21)2()( 2*XYXYnLnLLnL對對數(shù)或然函數(shù)求極大值，也就是對 )()(XYXY求極小值。即為變量Y的或然函數(shù)或然函數(shù) 因此，參數(shù)的最大或然估計最大或然估計為為YXXX1)(結(jié)果與參數(shù)的普通最小二乘估計相同結(jié)果與參數(shù)的普通最小二乘估計相同* *三、矩估計三、矩估計（Moment Method, MM） OLS估計是通過得到一個關(guān)于參數(shù)估計值的正正規(guī)方程組規(guī)方程組YXX)X(并對它進行求解而完成的。 該該正規(guī)方程組正規(guī)方程組 可以從另外一種思路來導: XYXXXYXXX(YX)求期望 :0XYX)(E0XYX)(E稱為原總體回歸方

12、程的一組矩條件矩條件，表明了原總體回歸方程所具有的內(nèi)在特征。 0)1X(YXn由此得到正規(guī)方程組正規(guī)方程組 YXXX解此正規(guī)方程組即得參數(shù)的MM估計量。 易知易知MMMM估計量與估計量與OLSOLS、MLML估計量等價。估計量等價。矩方法矩方法是是工具變量方法工具變量方法(Instrumental Variables,IV)和和廣義矩估計方法廣義矩估計方法(Generalized Moment Method, GMM)的基礎(chǔ)的基礎(chǔ) 在矩方法矩方法中利用了關(guān)鍵是 E(X )=0 如果某個解釋變量與隨機項相關(guān)，只要能找到1個工具變量，仍然可以構(gòu)成一組矩條件。這就是IV。 如果存在k+1個變量與隨機

13、項不相關(guān)，可以構(gòu)成一組包含k+1方程的矩條件。這就是GMM。 四、參數(shù)估計量的性質(zhì)四、參數(shù)估計量的性質(zhì) 在滿足基本假設(shè)的情況下，其結(jié)構(gòu)參數(shù) 的普通最小二乘估計、最大或然估計最大或然估計及矩估計矩估計仍具有： 線性性線性性、無偏性無偏性、有效性有效性。 同時，隨著樣本容量增加，參數(shù)估計量具有： 漸近無偏性、漸近有效性、一致性漸近無偏性、漸近有效性、一致性。 1、線性性、線性性 CYYXXX1)(其中,C=(XX)-1 X 為一僅與固定的X有關(guān)的行向量 2、無偏性、無偏性 XXXXXXXYXXX11)()()()()()(1EEEE 3、有效性（最小方差性）有效性（最小方差性） 這里利用了假設(shè):

14、E(X )=0其中利用了 YXXX1)(XXXXXXX11)()()(和I2)(E 五、樣本容量問題五、樣本容量問題 所謂“最小樣本容量最小樣本容量”，即從最小二乘原理和最大或然原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。 最小樣本容量最小樣本容量 樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項）的數(shù)目（包括常數(shù)項）,即 n k+1因為，無多重共線性要求：秩(X)=k+1 2 2、滿足基本要求的樣本容量、滿足基本要求的樣本容量 從統(tǒng)計檢驗的角度從統(tǒng)計檢驗的角度： n30 時，Z檢驗才能應用； n-k8時, t分布較為穩(wěn)定 一般

15、經(jīng)驗認為一般經(jīng)驗認為: 當n30或者至少n3(k+1)時，才能說滿足模型估計的基本要求。 模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理論上的證明論上的證明 六、多元線性回歸模型的參數(shù)估計實例六、多元線性回歸模型的參數(shù)估計實例 例例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中國居民人中國居民人均消費均消費一元線性模型。這里我們再考慮建立多元線性模型。解釋變量：解釋變量：人均GDP：GDPP 前期消費：CONSP(-1)估計區(qū)間估計區(qū)間：19792000年Eviews軟件估計結(jié)果 LS / Dependent Variable is CONS Sample(adjust

16、ed): 1979 2000 Included observations: 22 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 120.7000 36.51036 3.305912 0.0037 GDPP 0.221327 0.060969 3.630145 0.0018 CONSP(-1) 0.451507 0.170308 2.651125 0.0158 R-squared 0.995403 Mean dependent var 928.4946 Adjusted R-square

17、d 0.994920 S.D. dependent var 372.6424 S.E. of regression 26.56078 Akaike info criterion 6.684995 Sum squared resid 13404.02 Schwarz criterion 6.833774 Log likelihood -101.7516 F-statistic 2057.271 Durbin-Watson stat 1.278500 Prob(F-statistic) 0.000000 3.3 3.3 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 一、擬合優(yōu)度檢驗一、擬合

18、優(yōu)度檢驗 二、方程的顯著性檢驗二、方程的顯著性檢驗(F(F檢驗檢驗) ) 三、變量的顯著性檢驗（三、變量的顯著性檢驗（t t檢驗）檢驗） 四、參數(shù)的置信區(qū)間四、參數(shù)的置信區(qū)間 一、擬合優(yōu)度檢驗一、擬合優(yōu)度檢驗1、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)則2222)()(2)()()()(YYYYYYYYYYYYYYTSSiiiiiiiiii 總離差平方和的分解總離差平方和的分解由于: )()(YYeYYYYiiiiikiikiiieYXeXee110=0所以有： ESSRSSYYYYTSSiii22)()(注意：注意：一個有趣的現(xiàn)象一個有趣的現(xiàn)象 222222YYYYYYYYYYYY

19、YYYYYYiiiiiiiiiiii 可決系數(shù)可決系數(shù)TSSRSSTSSESSR12該統(tǒng)計量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。 問題：問題：在應用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個解釋變量， R2往往增大（Why?) 這就給人一個錯覺一個錯覺：要使得模型擬合得好，要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可只要增加解釋變量即可。 但是，現(xiàn)實情況往往是，由增加解釋變量個數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無關(guān)，R2需調(diào)整需調(diào)整。 調(diào)整的可決系數(shù)調(diào)整的可決系數(shù)（adjusted coefficient of determination） 在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少，所以調(diào)整的思路是:將

20、殘差平將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響:) 1/() 1/(12nTSSknRSSR其中：n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總體平方和的自由度。11)1 (122knnRR *2、赤池信息準則和施瓦茨準則、赤池信息準則和施瓦茨準則 為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標準還有: 赤池信息準則赤池信息準則（Akaike information criterion, AIC）nknAIC) 1(2lnee施瓦茨準則施瓦茨準則（Schwarz criter

21、ion，SC） nnknAClnlnee 這兩準則均要求這兩準則均要求僅當所增加的解釋變量能夠僅當所增加的解釋變量能夠減少減少AICAIC值或值或ACAC值時才在原模型中增加該解釋變量值時才在原模型中增加該解釋變量。 Eviews的估計結(jié)果顯示： 中國居民消費一元例中： AIC=6.68 AC=6.83 中國居民消費二元例中： AIC=7.09 AC=7.19從這點看，可以說前期人均居民消費CONSP(-1)應包括在模型中。 二、方程的顯著性檢驗二、方程的顯著性檢驗(F(F檢驗檢驗) ) 方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系量與

22、解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上在總體上是否顯著是否顯著成立作出推斷。成立作出推斷。 1、方程顯著性的、方程顯著性的F檢驗檢驗 即檢驗模型 Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n中的參數(shù)j是否顯著不為0。 可提出如下原假設(shè)與備擇假設(shè)： H0： 0=1=2= =k=0 H1： j不全為0 F F檢驗的思想檢驗的思想來自于總離差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS由于回歸平方和2iyESS是解釋變量X的聯(lián)合體對被解釋變量Y的線性作用的結(jié)果，考慮比值 22/iieyRSSESS 如果這個比值較大，則X的聯(lián)合體對Y的解釋程度高，可認為總體存在線性關(guān)系，反之總體上可能不存在

23、線性關(guān)系。 因此因此, ,可通過該比值的大小對總體線性關(guān)系可通過該比值的大小對總體線性關(guān)系進行推斷進行推斷。 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學中的知識，在原假設(shè)H0成立的條件下，統(tǒng)計量 ) 1/(/knRSSkESSF服從自由度為(k , n-k-1)的F分布。 給定顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量F的數(shù)值，通過 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，以判定原方程總體上總體上的線性關(guān)系是否顯著成立。 對于中國居民人均消費支出的例子： 一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3給定顯著性水平 =0.05，查分布表，得到臨界值： 一元例

24、：F(1,21)=4.32 二元例： F(2,19)=3.52顯然有 F F(k,n-k-1) ，即二個模型的線性關(guān)系在95%的水平下顯著成立。 2、關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關(guān)系的討論關(guān)系的討論 由) 1/() 1/(12nTSSknRSSR) 1/(/knRSSkESSF可推出：kFknnR1112與或) 1/()1 (/22knRkRF 在在中國居民人均收入中國居民人均收入消費消費一元模型一元模型中，中， 在在中國居民人均收入中國居民人均收入消費消費二元模型二元模型中中， 三、變量的顯著性檢驗（三、變量的顯著性檢驗（t t檢驗）檢驗） 方程的總體線性

25、總體線性關(guān)系顯著 每個解釋變量每個解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的。 因此，必須對每個解釋變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。 這一檢驗是由對變量的這一檢驗是由對變量的 t 檢驗完成的。檢驗完成的。 1、t統(tǒng)計量統(tǒng)計量 由于12)()(XXCov 以cii表示矩陣(XX)-1 主對角線上的第i個元素，于是參數(shù)估計量的方差為： iiicVar2)( 其中2為隨機誤差項的方差，在實際計算時，用它的估計量代替: 1122knkneiee),(2iiiicN因此，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量 ) 1(1kntkncStiiiiiiiee 2、t檢驗檢驗 設(shè)計原假設(shè)與備擇假設(shè)： H1：i

26、0 給定顯著性水平，可得到臨界值t/2(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量t的數(shù)值，通過 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，從而判定對應的解釋變判定對應的解釋變量是否應包括在模型中。量是否應包括在模型中。 H0：i=0 （i=1,2k） 注意：注意：一元線性回歸中，一元線性回歸中，t t檢驗與檢驗與F F檢驗一致檢驗一致 一方面一方面，t檢驗與F檢驗都是對相同的原假設(shè)H0： 1=0=0 進行檢驗; 另一方面另一方面，兩個統(tǒng)計量之間有如下關(guān)系： 222212221222122212212)2()2()2()2(txnexnexnenexneyFiii

27、iiiiiii在中國居民人均收入中國居民人均收入-消費支出消費支出二元模型二元模型例中，由應用軟件計算出參數(shù)的t值：651. 2630. 3306. 3210ttt 給定顯著性水平=0.05，查得相應臨界值： t0.025(19) =2.093。 可見，計算的所有計算的所有t值都大于該臨界值值都大于該臨界值，所以拒絕原假設(shè)。即:包括常數(shù)項在內(nèi)的包括常數(shù)項在內(nèi)的3個解釋變量都在個解釋變量都在95%的水的水平下顯著，都通過了變量顯著性檢驗。平下顯著，都通過了變量顯著性檢驗。四、參數(shù)的置信區(qū)間四、參數(shù)的置信區(qū)間 參數(shù)的置信區(qū)間參數(shù)的置信區(qū)間用來考察：在一次抽樣中所在一次抽樣中所估計的參數(shù)值離參數(shù)的真

28、實值有多估計的參數(shù)值離參數(shù)的真實值有多“近近”。 在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道：在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道：) 1(1kntkncStiiiiiiiee容易推出容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信區(qū)間是 ($,$)$iitstsii22 其中，t/2為顯著性水平為 、自由度為n-k-1的臨界值。 在中國居民人均收入消費支出中國居民人均收入消費支出二元模型二元模型例中,給定=0.05，查表得臨界值：t0.025(19)=2.093計算得參數(shù)的置信區(qū)間： 0 ：(44.284, 197.116) 1 ： (0.0937, 0.3489 ) 2 ：(0.0951, 0.8080)170. 04

29、515. 0061. 02213. 051.3670.120210210sss 從回歸計算中已得到：如何才能縮小置信區(qū)間？如何才能縮小置信區(qū)間？ 增大樣本容量增大樣本容量n n，因為在同樣的樣本容量下，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標準差減??； 提高模型的擬合優(yōu)度提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應越小。 提高樣本觀測值的分散度提高樣本觀測值的分散度,一般情況下，樣本觀測值越分散，(XX)-1的分母的|XX|的值越大，致使區(qū)間縮小。3.4 3.4 多元線性回歸模型的預測多元線性回歸模型的預測 一

30、、一、E(Y0)的置信區(qū)間的置信區(qū)間 二、二、Y0的置信區(qū)間的置信區(qū)間對于模型 XY 給 定 樣 本 以 外 的 解 釋 變 量 的 觀 測 值X0=(1,X10,X20,Xk0)，可以得到被解釋變量的預測值：X00Y 它可以是總體均值E(Y0)或個值Y0的預測。 但嚴格地說，這只是被解釋變量的預測值的估計值，而不是預測值。 為了進行科學預測，還需求出預測值的置信為了進行科學預測，還需求出預測值的置信區(qū)間，包括區(qū)間，包括E(Y0)和和Y0的的置信區(qū)間置信區(qū)間。 一、一、E(Y0)的置信區(qū)間的置信區(qū)間易知 )()()()(00YEEEYEXXX000)()()(20()X(XXX0000EEYV

31、ar0102000)()()(XXXXX)(XX)(X00EEYVar容易證明 ),(020XX)X(XX100NY) 1(knt)E(YY00010XX)X(X于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信區(qū)間置信區(qū)間：010000100)()()(22XXXXXXXXtYYEtY其中，t/2為(1-)的置信水平下的臨界值臨界值。二、二、Y0的置信區(qū)間的置信區(qū)間如果已經(jīng)知道實際的預測值Y0，那么預測誤差為：000YYe容易證明 0)()()()(100000000XXXXXXXEEEeE)(1 ()()()(01022100200XXXXXXXXEeEeVare0服從正態(tài)分布，即 )(1 (

32、, 0(01020XXXXNe)(1 (010220XXXXe構(gòu)造t統(tǒng)計量 ) 1(000kntYYte可得給定(1-)的置信水平下Y0的置信區(qū)間置信區(qū)間： 010000100)(1)(122XXXXXXXXtYYtY 中國居民人均收入中國居民人均收入- -消費支出消費支出二元模型二元模型例中：2001年人均GDP：4033.1元， 于是人均居民消費的預測值人均居民消費的預測值為 2001=120.7+0.22134033.1+0.45151690.8=1776.8（元） 實測值實測值（90年價）=1782.2元，相對誤差：相對誤差：-0.31% 預測的置信區(qū)間預測的置信區(qū)間 ：00004.

33、000001. 000828. 000001. 000001. 000285. 000828. 000285. 088952. 1)(1XX3938. 0010XX)X(X于是E(E(2001）的95%的置信區(qū)間為: 3938.05 .705093.28 .1776或 （1741.8，1811.7）3938. 15 .705093. 28 .1776或 （1711.1, 1842.4） 同樣，易得2001的95%的置信區(qū)間為3.5 3.5 回歸模型的其他函數(shù)形式回歸模型的其他函數(shù)形式 一、模型的類型與變換一、模型的類型與變換 二、非線性回歸實例二、非線性回歸實例說說 明明 在實際經(jīng)濟活動中，經(jīng)

34、濟變量的關(guān)系是復雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。 如著名的恩格爾曲線恩格爾曲線(Engle curves)表現(xiàn)為冪函冪函數(shù)曲線數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟學中的菲利普斯曲線菲利普斯曲線（Pillips cuves）表現(xiàn)為雙曲線雙曲線形式等。 但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡單的數(shù)學處理，使之化為數(shù)學上的線性關(guān)系，從而可以運用線性回歸模型的理論方法。一、模型的類型與變換一、模型的類型與變換 1 1、倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換法、倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換法 例如，例如，描述稅收與稅率關(guān)系的拉弗曲線拉弗曲線：拋物線 s = a + b r + c r2 c0 s：稅收；

35、r：稅率設(shè)X1 = r，X2 = r2， 則原方程變換為 s = a + b X1 + c X2 ck。 如果出現(xiàn)n2F(n2, n1-k-1) ，則拒絕原假設(shè)，認為預測期發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化。 例例3.6.2 中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求的鄒氏檢驗。 1、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗19811994：)ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(01PPXQRSS1=0.003240 19952001：01ln71. 0ln06. 3ln55. 078.13lnPPXQ (9.96) (7.14) (-5.13) (1.81) 19812001: 01ln39. 1ln

36、14. 0ln21. 100. 5lnPPXQ (14.83) (27.26) (-3.24) (-11.17) 34.10)821/()000058. 0003240. 0(4/)0000580. 0003240. 0(013789. 0F給定=5%，查表得臨界值F0.05(4, 13)=3.18 結(jié)論結(jié)論：F F值值 臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表明中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求在設(shè)，表明中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求在19941994年前后發(fā)生了顯著變化。年前后發(fā)生了顯著變化。 2、鄒氏預測鄒氏預測檢驗檢驗65. 4) 1314/(003240. 07/ )003

37、240. 0013789. 0(F給定=5%，查表得臨界值F0.05(7, 10)=3.18 結(jié)論結(jié)論： F值值臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè) * *四、非線性約束四、非線性約束 也可對模型參數(shù)施加非線性約束非線性約束,如對模型kkXXXY22110 施加非線性約束12=1,得到受約束回歸模型受約束回歸模型: *211101kkXXXY 該模型必須采用非線性最小二乘法非線性最小二乘法（nonlinear least squares）進行估計。 非線性約束檢驗非線性約束檢驗是建立在最大似然原理最大似然原理基礎(chǔ)上的,有最大似然比檢驗最大似然比檢驗、沃爾德檢驗沃爾德檢驗與拉格朗日乘數(shù)檢驗拉格朗日乘數(shù)檢驗.1、最大似然比檢驗、最大似然比檢驗 (likelihood ratio test, LR) 估計估計: :無約束回歸模型與受約束回歸模型， 方法方法: :最大似然法， 檢驗檢驗: :兩個似然函數(shù)的值的差異是否“足夠”大。 記L( ,2)為一似然函數(shù):無約束回歸無約束回歸 : Max:),(2L受約束回歸受約束回歸 : Max:),(2L約束：g( )=0或求極值：)(),(2gL g( ):以各約束條件為元素的列向量, ：以相應拉格朗日乘數(shù)為元素的行向量 受約束受約束的函數(shù)值不會超過