2015年上海高考數(shù)學(xué)真題（文科）試卷（word解析版）

1、絕密啟用前 2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學(xué)試卷(文史類)（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）考生注意1.本場考試時(shí)間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.2.作答前，在答題紙正面填寫姓名、準(zhǔn)考證號，反面填寫姓名，將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置.3.所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應(yīng)的區(qū)域，不得錯(cuò)位.在試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.一填空題（本大題共14小題，滿分56分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得4分，否則一律零分）1.函數(shù)的最小正周期為 .2.設(shè)全集.

2、若集合，則 .3.若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則 .4.設(shè)為的反函數(shù)，則 .5.若線性方程組的增廣矩陣為 解為，則 . 6.若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 .7.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則 .8. 方程的解為 .9.若滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 .10. 在報(bào)名的3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）.11.在的二項(xiàng)式中，常數(shù)項(xiàng)等于 （結(jié)果用數(shù)值表示）. 12.已知雙曲線、的頂點(diǎn)重合，的方程為，若的一條漸近線的斜率是的一條漸近線的斜率的2倍，則的方程為 .13.已知平面向量、滿足，且，則的最大值

3、是 .14.已知函數(shù).若存在，滿足，且，則的最小值為 .二選擇題（本大題共4小題，滿分20分）每題有且只有一個(gè)正確答案案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律零分.15. 設(shè)、，則“、均為實(shí)數(shù)”是“是實(shí)數(shù)”的（ ）. A. 充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件16. 下列不等式中，與不等式解集相同的是（ ）. A. B. C. D. 17. 已知點(diǎn) 的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）.A. B. C. D. 18. 設(shè)是直線與圓在第一象限的交點(diǎn)，則極限( ).A. B. C. D. 三解答題（本大題

4、共5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19.（本題滿分12分） 如圖，圓錐的頂點(diǎn)為，底面的一條直徑為，為半圓弧的中點(diǎn)，為劣弧的中點(diǎn).已知，求三棱錐的體積，并求異面直線與所成角的大小.20. （本題滿分14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分. 已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）根據(jù)的不同取值，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由.21.（本小題14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分. 如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時(shí)，他們之間的距離為（單位：千米）.甲

5、的路線是，速度為5千米/小時(shí)，乙的路線是，速度為8千米/小時(shí).乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時(shí)乙到達(dá)地；時(shí)，乙到達(dá)地. （1）求與的值；（2）已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是3千米.當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過3？說明理由.22.（本題滿分14分）本題共3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分. ZXXK 已知橢圓，過原點(diǎn)的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，設(shè)的面積為. （1）設(shè)，用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，并證明； （2）設(shè)，求的值；（3）設(shè)與的斜率之積為，求的值，使得無論與如何變動(dòng)，面積保持不變.23.（本題滿分16分）本題共3小題.第1小題4分，第2小題6分，第3小題6

6、分. 已知數(shù)列與滿足，. （1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)的第項(xiàng)是最大項(xiàng)，即，求證：數(shù)列的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；（3）設(shè)，求的取值范圍，使得對任意，且 .2015年上海市文科試題一填空題（本大題共14小題，滿分56分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得4分，否則一律零分）1.函數(shù)的最小正周期為 .【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以函?shù)的最小正周期為.【考點(diǎn)定位】函數(shù)的周期，二倍角的余弦公式.2.設(shè)全集.若集合，則 .【答案】【考點(diǎn)定位】集合的運(yùn)算.3.若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則 . 【答案】【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算.4.設(shè)為的反函數(shù)，則 .【答案】【解析】

7、因?yàn)闉榈姆春瘮?shù)，解得，所以.【考點(diǎn)定位】反函數(shù)，函數(shù)的值.5.若線性方程組的增廣矩陣為 解為，則 .【答案】16【解析】由題意，是方程組的解，所以，所以.【考點(diǎn)定位】增廣矩陣，線性方程組的解法.6.若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 .【答案】4【解析】依題意，解得.【考點(diǎn)定位】等邊三角形的性質(zhì)，正三棱柱的性質(zhì).7.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則 .【答案】2【解析】依題意，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即.【考點(diǎn)定位】拋物線的性質(zhì)，最值.8. 方程的解為 .【答案】2【考點(diǎn)定位】對數(shù)方程.9.若滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 .【答案】3【考點(diǎn)定位】不等式組表示的平面區(qū)域，簡單的線性規(guī)劃

8、.10. 在報(bào)名的3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】120【考點(diǎn)定位】組合，分類計(jì)數(shù)原理.11.在的二項(xiàng)式中，常數(shù)項(xiàng)等于 （結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】240【解析】由，令，所以，所以常數(shù)項(xiàng)為.【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理. 12.已知雙曲線、的頂點(diǎn)重合，的方程為，若的一條漸近線的斜率是的一條漸近線的斜率的2倍，則的方程為 .【答案】【考點(diǎn)定位】雙曲線的性質(zhì)，直線的斜率.13.已知平面向量、滿足，且，則的最大值是 .【答案】【考點(diǎn)定位】平向量的模，向量垂直.14.已知函數(shù).若存在，滿足，且，則的最小值為 .【答案】

9、8【解析】因?yàn)楹瘮?shù)對任意，欲使取得最小值，盡可能多的讓取得最高點(diǎn)，考慮，按下圖取值滿足條件，所以的最小值為8.【考點(diǎn)定位】正弦函數(shù)的性質(zhì)，最值.二選擇題（本大題共4小題，滿分20分）每題有且只有一個(gè)正確答案案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律零分.15. 設(shè)、，則“、均為實(shí)數(shù)”是“是實(shí)數(shù)”的（ ）. A. 充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)的概念，充分條件、必要條件的判定.16. 下列不等式中，與不等式解集相同的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B【解析】因?yàn)?，可能是正?shù)、負(fù)數(shù)或

10、零，所以由可得，所以不等式解集相同的是，選B.【考點(diǎn)定位】同解不等式的判斷.17. 已知點(diǎn) 的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的定義，和角的正切公式，兩點(diǎn)間距離公式.18. 設(shè)是直線與圓在第一象限的交點(diǎn)，則極限( ).A. B. C. D. 【答案】A【解析】因?yàn)槭侵本€與圓在第一象限的交點(diǎn)，而是經(jīng)過點(diǎn)與的直線的斜率，由于點(diǎn)在圓上. 網(wǎng)ZXXK因?yàn)?，所?【考點(diǎn)定位】圓的切線，極限.三解答題（本大題共5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19.（本題滿分12分）如圖，圓錐的頂點(diǎn)為

11、，底面的一條直徑為，為半圓弧的中點(diǎn)，為劣弧的中點(diǎn).已知，求三棱錐的體積，并求異面直線與所成角的大小.【答案】【考點(diǎn)定位】圓錐的性質(zhì)，異面直線的夾角.21. （本題滿分14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分. 已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）根據(jù)的不同取值，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由.【答案】（1）是非奇非偶函數(shù)；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增.【考點(diǎn)定位】函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.21.（本小題14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分. 如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時(shí)，他們之間的距離為（單位

12、：千米）.甲的路線是，速度為5千米/小時(shí)，乙的路線是，速度為8千米/小時(shí).乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時(shí)乙到達(dá)地；時(shí)，乙到達(dá)地. （1）求與的值；（2）已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是3千米.當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過3？說明理由.【答案】（1），千米；（2）不超過了3千米.【解析】（1）根據(jù)條件知，設(shè)此時(shí)甲到達(dá)A點(diǎn)，并連接，如圖所示，則，所以在中，由余弦定理得（千米）.（2）可求得，設(shè)小時(shí)后，且，甲到達(dá)了B點(diǎn)，乙到達(dá)了C點(diǎn)，如圖所示，所以，所以在中，由余弦定理，所以，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為，且，所以得最大值為，此時(shí)的最大值為，所以在上得最大值不超過3.【考點(diǎn)定位】余弦定理的實(shí)際運(yùn)用，函數(shù)的值域.22.（本題滿分14分）本題共3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分. 已知橢圓，過原點(diǎn)的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，設(shè)的面積為. （1）設(shè)，用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，并證明； （2）設(shè)，求的值；（3）設(shè)與的斜率之積為，求的值，使得無論與如何變動(dòng)，面積保持不變.【答案】（1）詳見解析；（2）或；（3）.（3）設(shè)，則，設(shè)，由，的，同理，由（1）知， ，整理得，由題意知與無關(guān)，則，解得.所以.【考點(diǎn)定位】橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.23.（本題滿分16分）本題共3小題.第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分.