數(shù)學(xué)模型人在雨中奔跑速度與淋雨量的關(guān)系

1、人在雨中奔跑的速度與淋雨量的關(guān)系摘要：本文通過對(duì)人在雨中奔跑速度與淋雨量的分析，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析和分類討論的方法，得出人在雨中奔跑時(shí)最佳的奔跑速度與淋雨量的關(guān)系。因此從以下方面分析：一，設(shè)降雨淋遍全身不考慮雨的方向，經(jīng)簡化假設(shè)得人淋雨面積為前后左右及頭頂面積之和。二，雨迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面，人淋雨面積為前方和頭頂面積之和。因各個(gè)方向上降雨速度分量不同，故分別計(jì)算頭頂和前方的淋雨量后相加即為總的淋雨量。據(jù)此可列出總淋雨量W與跑步速度v之間的函數(shù)關(guān)系。分析表明當(dāng)跑步速度為Vmax時(shí)，淋雨量最少。并計(jì)算出當(dāng)雨與人體的夾角8=0、8=30°時(shí)淋雨量三，雨從背面吹來，雨線與跑步方

2、向在同一平面內(nèi)，人淋雨量與人和雨相對(duì)速度有關(guān)。列出函數(shù)關(guān)系式分析并求解，可知當(dāng)人速度v=2m/s時(shí)淋雨量最少四，列出淋雨量W和跑步速度v之間的函數(shù)關(guān)系式，利用MATLAB畫出a分別為0°,10°，.90°的曲線圖。五，雨線與人跑步方向不在同一平面內(nèi)，則考慮人的淋雨面積為前后左右以及頭頂。分別列式表示，總的淋雨量即為三者之和。1、問題的重述要在雨中的一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且保持方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快淋雨量越少。將人簡化為一個(gè)長方體，高a1.5m/s（頸部以下），寬b0.5m,Bc0.2m,設(shè)跑步距離d1000m,跑步最大速度Vm5m/s

3、,雨速u4m/s,降雨量w2cm/h,記跑步速度為v。問題一，不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋雨量。問題二，雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1,建立總淋雨量與速度V及參數(shù)a，b，c，d，u，w，之間的關(guān)系，問速度多大，總淋雨量最少，計(jì)算0，30°時(shí)的總淋雨量。問題三，與從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為a,如圖2.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，w，之間的關(guān)系，問速度多大，總淋雨量最少，計(jì)算30°時(shí)的總淋雨量。問題四，以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對(duì)（3）作圖（考慮a

4、的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義。問題五，若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么樣的變化。2、問題的分析問題一，將人體簡化成長方體，雨以降雨量w均勻地淋遍全身，求出人接受雨的總面積，人以最大速度跑步，并計(jì)算淋雨時(shí)間、單位時(shí)間、單位面積上的降雨量，求出人跑完全程的總淋雨量W問題二，雨迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為9,如圖1所示。根據(jù)分析可以得到人在頭部及身體前面淋雨，計(jì)算模型中長方體的面積，再根據(jù)人的速度和跑步路程得出時(shí)間t，進(jìn)而求出在人體總的淋雨量.據(jù)此可得W與v之間關(guān)系，并能求出8=0和8=30°時(shí)的總淋雨量。問題三，雨從背面吹來，雨線與跑步方向在同

5、一平面內(nèi)且與人體夾角為a,如圖2所示。左右方向上淋雨量為00頭頂上單位時(shí)間內(nèi)接收雨的量W1與雨速垂直方向上的分量成正比，Wi為頭頂面積bc與時(shí)間的d/v以及wi之積。當(dāng)vusin時(shí)，前方不受雨，前后方向上單位時(shí)間內(nèi)淋雨量W2與人前進(jìn)方向上人相對(duì)于雨的速度（usin8-v）成正比,據(jù)此推算出W2；而當(dāng)vusin時(shí)，后方不受雨，由于人速已經(jīng)高于雨速，這時(shí)前面會(huì)向前撞上雨滴，即W2與vusin成正比。W2為人體前面積ab和跑步時(shí)間d/v頂淋雨量以及W2之積。由此可計(jì)算出總的淋雨量。WW,W2,據(jù)此可得W與v之間關(guān)系，并能求出a=30°時(shí)的總淋雨量。問題四以總淋雨量W為縱軸、速度丫為橫，針對(duì)

6、問題三的求解，利用MATLAB當(dāng)a分別為0°,10°,20°,30°,40°,50°,60°,70°,80°,90°時(shí)的曲線圖并加以分析。問題五，如圖三，為人體模型的俯視圖。需要分三部分計(jì)算，在前后面上，雨垂直方向分速度為ucos,相對(duì)速度為vusincos,乘上垂直受雨的面積ab以及時(shí)間9v即為前后側(cè)受雨量W20因?yàn)榇怪庇谧笥颐嫒说姆炙俣葹?,左右兩面上相對(duì)速度為usinsin乘上面積ac以及時(shí)間極為左右受雨量W3.而頭頂受雨與雨速和人速夾角v大小無關(guān)，因此Wi仍按（2）、（3）問的算法做。由

7、WW,W2W3可得雨量求法公式。1csin3bcos33、模型的假設(shè)與符號(hào)說明、模型的假設(shè)1、把人體視為長方體，人體行走過程中的震蕩引起的誤差可忽略不計(jì)。丫大小與方向包定，即沿直線勻速前進(jìn)。2、問題1中不考慮雨下落的方向，假設(shè)為自由落體。人體各個(gè)方向均勻接受雨量，即單位時(shí)間、單位面積上接受雨量恒定。3、問題2、3雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，并且雨線與人體夾角不變。在此過程中左右兩側(cè)因與雨速平行而不沾雨。4、假設(shè)雨的密度相同，雨滴大小、形狀相同，雨速均勻不變5、假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)接收雨的量與雨速成正比。、符號(hào)說明h：人的身高w:寬度d:厚度v:速度:降雨下落方向與人的夾角W:淋雨總量I:降雨大?。ń?/p>

8、雨強(qiáng)度）D:路程4、模型的建立與求解問題一：不考慮雨的方向，因?yàn)榻涤炅縲均勻地淋遍全身，所以在將人體簡化成長方體的情況下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根據(jù)淋雨時(shí)間、單位時(shí)間、單位面積上的降雨量等有關(guān)條件，列出總淋雨量W的求解公式如下：W2abbc2acw-d-,禾I用vmaxMATLA褊程求解，可得：W0.0024m3問題二：將降落在人體上的雨滴分成兩部分，s1（頂部）S2（前面），人體接收的雨量和頭頂面積、頭頂部分與雨滴垂直下落方向分量u1、行走時(shí)間有關(guān)。列式求解如下:頭頂：u1ucos0Sibc假設(shè)降雨量w與與點(diǎn)密度（均勻不計(jì)）淋雨量與人相對(duì)速度有關(guān)，所以:wUiw1wcos0正面：v

9、2vsin0Ww1sltdwcos0bcvbcdw八cos。vW2vsinOuvsin0w2s2tvsin0+1uabdw-vbdwcv當(dāng)v=5m/s時(shí)，淋雨量Wft??；當(dāng)0=0°時(shí),m3,當(dāng)8=30時(shí)，W=m3av.sin。au利用MATLA踹程求解，可得:問題三:將降落在人體上的雨滴分成兩部分,s1（頂部）S2（前后兩面），s1面積為s1bc假設(shè)：w1與雨點(diǎn)密度，雨點(diǎn)與人的相對(duì)速度成正比而雨點(diǎn)均勻分布頭頂:W1V1ViucosS1W1tw1wcos,dbcw-cosv正面：當(dāng)usin<v時(shí)，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨會(huì)沾到人的前面w2V2V2vusinvusinwuv

10、usinW2wabdv當(dāng)usin8V時(shí)，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨會(huì)沾到人的后面W2V2V2usinvusinvwuW2因?yàn)閃WiW2編程求解可得:為m3o問題四:合速度總淋雨量若ccos最小。（如下圖）bcwcosusinVbcwcosduvusinv.d一wabv,d一wabvusin>vsin當(dāng)V=2m/s時(shí)，總淋雨量最少;雨線方向與人體夾角為30°v時(shí)，淋雨量usinvbcwcosdWvbcwcosd-asin<0,即：tanusinuvusinV.6-wabvd-wabvusinusin>c/a,貝v=usin時(shí),Wft小。否則,vV=VmBWQQ當(dāng)

11、a=30°,tan>,v=2m/s,W升最小，可與v=Vm,升相比。分析結(jié)果的實(shí)際意義可知，當(dāng)雨從背面吹來，只要不太小，滿足tan>c/a,即：>時(shí)，v=usin,W最小。此時(shí)人體背面不淋雨，只有頂部淋雨。問題五：頂部淋雨量W1=bcdwsincos/v該問題中，只舉例研究雨從正側(cè)面吹來。設(shè)雨線與跑步速度方向夾角為。作圖如下:雨速水平分量ucos(方向與v相反)合速度ucos+v單位面積時(shí)間的淋雨量(ucos+v)/u迎面淋雨量W2=abd(ucos+v)/uv側(cè)面淋雨量W3=acdwsinsin/v所以，總淋雨總量:W=W1+W2+W3=bcdwscos/v+abdw(ucos+v)/uv+acdwsinsin/v由以上式子可知，當(dāng)v最大時(shí)，W最小。其他情況與問題二處理類似，利用速度分解和合成，可以解決。本質(zhì)并無區(qū)別。5、模型的評(píng)價(jià)、模型優(yōu)點(diǎn)通過模型的建立，對(duì)雨的各個(gè)方向進(jìn)行了討論，比較客觀得出了人的速度與淋雨量的關(guān)系。同時(shí)應(yīng)用了matlab等軟件的得到了比較準(zhǔn)確的結(jié)果，并與實(shí)際情況相比較，忽略次要干擾，得到了