數形結合思想的含義數與形是數學中兩個最古老

1、數形結合思想的含義數與形是數學中兩個最古老、最基本的元素，是數學大廈深處的兩塊基石，所有的數學問題都是圍繞數和形的提煉、演變、發(fā)展而展開的：每一個幾何圖形中都蘊藏著一定的數量關系，而數量關系又常常可以通過圖形的直觀性作出形象的描述。因此，在解決數學問題時，常常根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，將數的問題利用形來觀察，提示其幾何意義；而形的問題也常借助數去思考，分析其代數含義，如此將數量關系和空間形式巧妙地結合起來，并充分利用這種結合”，尋找解題思路，使問題得到解決的方法。正恩格斯曾經說過：數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的一門科學。在數學領域中包含著兩大研究對象，即數與形，這兩大研

2、究對象既是對立的又是統(tǒng)一的，它們是數學發(fā)展的內在因素?？v觀數學知識的發(fā)展長河中，數形結合始終是發(fā)展的一條主線，并且數與形相結合能夠讓學生在實際應用中對知識的運用更加廣泛和深入。在初中數學教學中教師要特別重視將數形結合的思想滲透到教學環(huán)節(jié)中，以此來讓學生感受到數形結合的偉大力量，促進學生生成數形結合的思想，讓學生在以后的數學學習中受益1 .數形結合思想的涵義數”早期是古代的計數，現在表示數量的概念；形”早期是古代的形狀，現在表示空間的概念。家歐幾里得用自己畢生精力完成幾何原本這一千古流芳的巨著，這是體現數形轉化的文字資料。柏拉圖說過，只有數學存在的實體才具備永恒的可理解性，任何科學都只有建立在幾

3、何學帶來的概念和模式上，才可以解釋現象表面背后的結構和關系。教育家波利亞也曾說：御一個圖，并用符號表示數形結合是把數或數量關系與圖形對應起來，借助圖形來研究數量關系或者利用數量關系來研究圖形的性質，是一種重要的數學思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化。數形結合包含以形助數”和以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；二是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質等等。2 .數形結合思

4、想的發(fā)展數軸的建立使人們對數與形的統(tǒng)一有了跳躍式的認識，把實數集與數軸上的點集一一對應起來，數可以視為點，點也可以視為數，點在直線上的位置可以數量化，而數的運算，也可以幾何化。在此基礎上，笛卡爾又把數軸拓展到了直角坐標系。在高中數學中幾乎所有圖形都是建立在直角坐標系中，奠基人笛卡兒的主要數學成果都集中在他的幾何學”中。當時的代數學，他覺得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進智力的科學。因此他提出必須把幾何與代數的優(yōu)點結合起來，建立一種真正的數學”。其核心內容是：把幾何學的問題歸結成代數形式的問題，用代數學的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的。依照這種數學思想他創(chuàng)立了我們現在

5、的解析幾何學”。把相互對立著的數“與形”統(tǒng)一起來，使幾何曲線與代數方程相結合。從而把線段與數量聯系起來，通過線段之間的關系，找出兩種方式表達同一個量，這將構成一個方程”，然后根據方程的解所表示的線段間的關系進行作圖。數形結合”一詞的正式出現與中國數學界的傳奇人物華羅庚先生息息相關。華老于1964年1月撰寫了談談與蜂房結構有關數學問題這一科普小冊子，書中有一首小詞：數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非；切莫忘，幾何代數統(tǒng)一體，永遠聯系，切莫分離！”1正因為華老在中國數學界的影響力，數形結合”一詞推出后不久，立即獲得了數學界的普遍認同，

6、幾乎所有的數學教育教學刊物都出現了此詞3 .數形結合思想的運用應用數形結合的思想，應注意以下數與形的轉化：數形結合思想解決的問題常有以下幾種：（1）構建函數模型并結合其圖象求參數的取值范圍；（2）構建函數模型并結合其圖象研究方程根的范圍；（3）構建函數模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系；（4）構建函數模型并結合其幾何意義研究函數的最值問題和證明不等式；（5）構建立體幾何模型研究代數問題；（6）構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；（7）構建方程模型，求根的個數；（8）研究圖形的形狀、位置關系、性質等.常見適用數形結合的兩個著力點是：以形助數常用的有：借助數軸；借助函數圖象；

7、借助單位圓；借助數式的結構特征；借助于解析幾何方法。以數助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數量關系；借助于運算結果與幾何定理的結合。數形結合思想是解答高考數學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度。具體操作時，應注意以下幾點：（1）準確畫出函數圖象，注意函數的定義域；（2）用圖象法討論方程（特別是含參數的方程）的解的個數是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式（有時可能先作適當調整，以便于作圖），然后作出兩個函數的圖象，由圖求解.這種思想方法體現在解題中，就是指

8、在處理數學問題時，能夠將抽象的數學語言與直觀的幾何圖象有機結合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復合，通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解數形結合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決方法（以形助數），或利用數量關系來研究幾何圖形的性質，解決幾何問題（以數助形）的一種數學思想.數形結合思想使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，使問題得以解決。數形結合思想常見的四種類型1 .實數與數軸：實數與數軸上的點具有一一對應關系，因此借助數軸觀察數的特點，直觀明了。2 .在解方程（組）或不等式（組）中的應用：利用函數圖

9、象解決方程問題時，常把方程根的問題看作兩個函數圖象的交點問題來解決；利用數軸或函數圖象解有關不等式（組）的問題直觀，形象，易于找出不等式（組）解的公共部分或判斷不等式組有無公共解。3 .在函數中的應用：借助于圖象研究函數的性質是一種常用的方法，函數圖象的幾何特征與數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法。4 .在幾何中的應用：對于幾何問題，我們常通過圖形，找出邊、角的數量關系，通過邊、角的數量關系彳導出圖形的性質等。典型例題：解題反思：本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，一次函數的解析式，等腰直角三角形的判定和性質，三角形相似的判定和性質，勾股定理的應用等，難點在于（3）作輔助線構造出相似三角形和三角形的中位線.數形結合思想利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決途徑，或用數量關系研究幾何圖形的性質，