自動(dòng)控制原理第四章根軌跡法

1、123 閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程02gKss兩個(gè)根為兩個(gè)根為gKs4121212, 1 當(dāng)增益從當(dāng)增益從Kg0開始增加取不同值時(shí)，可求得相應(yīng)開始增加取不同值時(shí)，可求得相應(yīng)的特征根的特征根s1，s2如表如表4-1所示。所示。 設(shè)一隨動(dòng)系統(tǒng)如圖設(shè)一隨動(dòng)系統(tǒng)如圖4-1所示。所示。2( )gcgKGsssK閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1()(ssKsGgo4 由于系統(tǒng)的閉由于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)是連續(xù)變化環(huán)極點(diǎn)是連續(xù)變化的，表示在的，表示在s平面平面上即為引例系統(tǒng)的上即為引例系統(tǒng)的根軌跡圖如圖根軌跡圖如圖4-2所示。所示。 5 （引例系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)）（引例系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)）

2、在圖在圖4-2上，上，閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為即即所以所以02ss0) 1(ss6，方程為，方程為方程有兩個(gè)重根方程有兩個(gè)重根 s1,2= -0.5所以所以0Kg0.25時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在實(shí)軸上如時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在實(shí)軸上如圖所示。圖所示。025. 02 ss后，閉環(huán)極點(diǎn)為后，閉環(huán)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)根的實(shí)部為常數(shù)值共軛復(fù)數(shù)根的實(shí)部為常數(shù)值-0.5，虛部隨著，虛部隨著Kg的增大的增大向兩邊延伸如圖所示。向兩邊延伸如圖所示。gKs4121212, 1jKsgKg5 . 04121212, 1有有7 從引例系統(tǒng)的根軌跡圖可以得到，從引例系統(tǒng)的根軌跡圖可以得到，再再之，選擇合適的增益值可以保證滿意的動(dòng)態(tài)性能。之

3、，選擇合適的增益值可以保證滿意的動(dòng)態(tài)性能。 引例系統(tǒng)的根軌跡圖是求解特征方程的根作出的，引例系統(tǒng)的根軌跡圖是求解特征方程的根作出的，但是高階系統(tǒng)求根是很麻煩的。那么高階系統(tǒng)的根軌但是高階系統(tǒng)求根是很麻煩的。那么高階系統(tǒng)的根軌跡是如何作出的？跡是如何作出的？s平面上的哪些點(diǎn)在根軌跡上？平面上的哪些點(diǎn)在根軌跡上？如如何根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡圖來分析自動(dòng)控制系統(tǒng)何根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡圖來分析自動(dòng)控制系統(tǒng)等問題就等問題就是本章要解決的問題。是本章要解決的問題。8一般控制系統(tǒng)一般控制系統(tǒng) 一般系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖一般系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-3所示。所示。 開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()(sHsGsGO閉環(huán)傳遞函

4、數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )(1)()()(1)()()()(sGsGsHsGsGsRsCsGOC9系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)來表示時(shí)可以寫為來表示時(shí)可以寫為)()()(11inijmjgOpszsKsG(4-1)10此算式中，此算式中， 1mjjz11mjjogniizKKp(4-2)11用系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)用系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Go(s)來表示，則有來表示，則有系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為1( )0oGs(4-3)( )1oGs (4-4)1)()(11inijmjgpszsK(4-5)12 ( )1gos sGs(4-6)( )180 (21),0,1,2,gos sG s

5、kk (4-7)式式(4-6)與與(4-7)的的13零、極點(diǎn)表達(dá)式分別為零、極點(diǎn)表達(dá)式分別為(4-8)1)()(11gssinijmjgpszsK (4-9)11()()180 (21)gmnojiiis sszspk 14s平面上的任意點(diǎn)平面上的任意點(diǎn)s=sg，15控制系統(tǒng)的根軌跡圖控制系統(tǒng)的根軌跡圖 控制系統(tǒng)的根軌跡圖是滿足根軌跡條件方程的，控制系統(tǒng)的根軌跡圖是滿足根軌跡條件方程的， 但是不能遍歷但是不能遍歷s s平面上所有的點(diǎn)來繪制。因?yàn)樵跐M足根平面上所有的點(diǎn)來繪制。因?yàn)樵跐M足根軌跡條件方程的基礎(chǔ)上，根軌跡圖是有一些規(guī)律的。軌跡條件方程的基礎(chǔ)上，根軌跡圖是有一些規(guī)律的。 繪制根軌跡草圖的

6、繪制根軌跡草圖的 可以在根軌跡圖的基礎(chǔ)上來分析系統(tǒng)的性能，得可以在根軌跡圖的基礎(chǔ)上來分析系統(tǒng)的性能，得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的基本信息，根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的基本信息，根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)(以及零以及零點(diǎn)點(diǎn))與系統(tǒng)性能指標(biāo)間的關(guān)系來分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)與系統(tǒng)性能指標(biāo)間的關(guān)系來分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。 16 由于根軌跡增益由于根軌跡增益Kg在由在由0 變化時(shí)是連續(xù)變化的，變化時(shí)是連續(xù)變化的，所以系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根也是連續(xù)變化的，所以系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根也是連續(xù)變化的， 線性定常系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的系數(shù)全部是實(shí)數(shù)，線性定常系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的系數(shù)全部是實(shí)數(shù)，其根必為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，所以其根必為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，所

7、以 n階系統(tǒng)對(duì)于任意增益值其特征方程都有階系統(tǒng)對(duì)于任意增益值其特征方程都有n個(gè)根，個(gè)根，所以當(dāng)增益所以當(dāng)增益 Kg在由在由 0 變化時(shí)，在變化時(shí)，在s平面有平面有n條根軌條根軌跡，跡，17由根軌跡方程由根軌跡方程(4-5)可得可得11()1()mjjngiiszKsp (4-a) 為使式為使式(4-a)成立，必有成立，必有s=-zj，j=1，2，m，而而s=-zj為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn) 所以所以18當(dāng)當(dāng)Kg時(shí)方程時(shí)方程有有1lim0gKgK當(dāng)當(dāng)Kg時(shí)，有時(shí)，有s，方程方程有有11()1limlimlim0()gmmjjnnn mKsssiiszssssp19在實(shí)軸上選取實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在實(shí)軸上

8、選取實(shí)驗(yàn)點(diǎn)si，圖中，圖中，而而(-5,-1)段和段和(0,+)段不是根軌跡。段不是根軌跡。 實(shí)軸上根軌跡的判別方法。實(shí)軸上根軌跡的判別方法。20 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試求實(shí)軸上的根軌跡。試求實(shí)軸上的根軌跡。)4)(5 . 1)(1()5 . 0()(2sssssKsGgo根據(jù)實(shí)軸上根軌跡的判別條件可以得到：根據(jù)實(shí)軸上根軌跡的判別條件可以得到：區(qū)間區(qū)間右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為5，以及區(qū)間以及區(qū)間右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為為3，均為奇數(shù)。，均為奇數(shù)。系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)為-0.5， 開環(huán)極點(diǎn)為開環(huán)極

9、點(diǎn)為0,0(二重極二重極 點(diǎn)），點(diǎn)），-1，-1.5，-4，如圖，如圖4-5所示。所示。21 如圖如圖4-6所示所示某系統(tǒng)的某系統(tǒng)的根軌跡圖根軌跡圖實(shí)軸上有兩個(gè)交點(diǎn)實(shí)軸上有兩個(gè)交點(diǎn)A 和和B。22實(shí)軸分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的判別實(shí)軸分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的判別 分離角分離角 d與相分離的根軌跡的支數(shù)與相分離的根軌跡的支數(shù)k有有關(guān)，即關(guān)，即kd180(4-10)23分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)位置的計(jì)算分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)位置的計(jì)算 數(shù)條根軌跡在復(fù)平面上某點(diǎn)相遇又分開，該點(diǎn)數(shù)條根軌跡在復(fù)平面上某點(diǎn)相遇又分開，該點(diǎn)必為特征方程的重根。必為特征方程的重根。如兩條根軌跡相遇又分開，該點(diǎn)為二重根。如兩條根軌跡相遇又分開，該點(diǎn)為二重根。 三

10、條根軌跡相遇又分開，該點(diǎn)為三重根等等。三條根軌跡相遇又分開，該點(diǎn)為三重根等等。重根的確定可以借助于代數(shù)重根法則。重根的確定可以借助于代數(shù)重根法則。24已知已知n次代數(shù)方程為次代數(shù)方程為0.)(0111axaxaxxfnnn(4-11)q ，則滿足其導(dǎo)，則滿足其導(dǎo)數(shù)方程數(shù)方程f (x)=0的根不是原方程的根不是原方程f(x)=0的根。的根。q ，則滿足其一階導(dǎo)數(shù)方程，則滿足其一階導(dǎo)數(shù)方程f (x)=0的根仍然含有原方程的根仍然含有原方程f(x)=0的根。的根。 q ，則滿足其一階導(dǎo)數(shù)方程，則滿足其一階導(dǎo)數(shù)方程f (x)=0的根，二階導(dǎo)數(shù)方程的根，二階導(dǎo)數(shù)方程f(x)=0的根的根，直至直至滿足其滿

11、足其m-1階導(dǎo)數(shù)方程階導(dǎo)數(shù)方程f (m-1)(x)=0的根，都含有原方的根，都含有原方程程f(x)=0的根。的根。25例如例如:方程有互異單根方程有互異單根 x1-l，x2= -2。023)(2xxxf例如例如:方程有二重根方程有二重根 xc2=2。0)2)(1()(2xxxf032)( xxf一階導(dǎo)數(shù)方程的根為一階導(dǎo)數(shù)方程的根為 x=-2/3，不是原方程不是原方程f(x)=0的根。的根。0)1( 2) 2)(2()(xxxxf一階導(dǎo)數(shù)方程的一個(gè)根一階導(dǎo)數(shù)方程的一個(gè)根xc2=2仍然是原方程仍然是原方程f(x)=0的根。的根。 26 根據(jù)代數(shù)重根法則，可以計(jì)算根軌跡的分離點(diǎn)。根據(jù)代數(shù)重根法則，可

12、以計(jì)算根軌跡的分離點(diǎn)。其中其中N(s)為變量為變量s的分子多項(xiàng)式，方次為的分子多項(xiàng)式，方次為m， D(s)為變量為變量s的分母多項(xiàng)式，方次為的分母多項(xiàng)式，方次為n。( )( )( )0gF sD sK N s(4-13)0)()(1sDsNKg(4-12)閉環(huán)特征方程可以寫為閉環(huán)特征方程可以寫為11()( )( )( )()mjjoggniiszN sGsKKD ssp系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為27 如計(jì)算所得的值在實(shí)軸上，那么要判別該線段是如計(jì)算所得的值在實(shí)軸上，那么要判別該線段是否是根軌跡。如果該線段是根軌跡，則計(jì)算結(jié)果就是否是根軌跡。如果該線段是根軌跡，則計(jì)算結(jié)果就是分離點(diǎn)

13、。否則，不是分離點(diǎn)，要舍去。分離點(diǎn)。否則，不是分離點(diǎn)，要舍去。 ( )( )( )( )0Ns D sN s D s(4-25) 根據(jù)代數(shù)重根法則，如果閉環(huán)極點(diǎn)為二重根，即根據(jù)代數(shù)重根法則，如果閉環(huán)極點(diǎn)為二重根，即分離點(diǎn)處為二重根，則有分離點(diǎn)處為二重根，則有也含有方程也含有方程(4-14)的根，聯(lián)立式的根，聯(lián)立式(4-13)和式和式(4-14)可得可得( )( )( )0gF sD sK N s(4-14)28其其0)()(sNsDdsddsdKg(4-17)得到得到 ( ) ( )( )( )0N s D sN s D s對(duì)對(duì)Kg求極值的方法和重根法所得的結(jié)果是一樣的。求極值的方法和重根法所

14、得的結(jié)果是一樣的。( )( )gD sKN s (4-16) 由于函數(shù)由于函數(shù)f(x)可以在重根處獲得極值，由式可以在重根處獲得極值，由式(4-12)可以得到可以得到則根軌跡增益表為則根軌跡增益表為s的函數(shù)。的函數(shù)。29Kg具有極值和具有極值和 具有極值是一樣的。因此上式也可寫具有極值是一樣的。因此上式也可寫為為gK10)()(sNsDdsd( )0odG sds或或30111111nidimjdjpz式中，式中，m1，n1分別為開環(huán)傳遞函數(shù)在實(shí)軸上零、極點(diǎn)數(shù)。分別為開環(huán)傳遞函數(shù)在實(shí)軸上零、極點(diǎn)數(shù)。31繪出了繪出了4支根軌跡在實(shí)軸上分離的情況。支根軌跡在實(shí)軸上分離的情況。繪出了在復(fù)平面上有分離

15、點(diǎn)的情況，復(fù)平面上的繪出了在復(fù)平面上有分離點(diǎn)的情況，復(fù)平面上的分離點(diǎn)是實(shí)軸對(duì)稱的。分離點(diǎn)是實(shí)軸對(duì)稱的。32由實(shí)軸根軌跡判別可知，由實(shí)軸根軌跡判別可知，。2( )(0.1)(0.5)0.60.05D sssss( ) ( )( )( )0N s D sN s D s由根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的方程由根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的方程220.60.05(1)(20.6)+2s+0.55=0sssss1,21 0.671.67, 0.33s 試確定實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的位置。試確定實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的位置。 )5 . 0)(1 . 0() 1()(sssKsGgo 單位反饋

16、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為( )(1)N ss由由Go(s)可得可得33將將- d1= -0.33和和- d2= -1.67值的代入值的代入計(jì)算式，計(jì)算式，可得相應(yīng)的根軌跡增益，可得相應(yīng)的根軌跡增益，Kgd10.06 和和 Kgd22.6。在區(qū)間在區(qū)間-0.5，-0.1，根軌跡有分離點(diǎn)根軌跡有分離點(diǎn)- d1= -0.33。在區(qū)間在區(qū)間-，-1，根軌跡有會(huì)合點(diǎn)根軌跡有會(huì)合點(diǎn)- d2= -1.67。(4-8)1)()(11gssinijmjgpszsK 34 由上一性質(zhì)可知，若由上一性質(zhì)可知，若n m，則則Kg時(shí)，有時(shí)，有n-m條條根軌跡趨于根軌跡趨于s平面的無窮遠(yuǎn)處。（如何

17、趨向無窮遠(yuǎn)？）平面的無窮遠(yuǎn)處。（如何趨向無窮遠(yuǎn)？） (4-20)11nmijijpznm 由于相角的周期為由于相角的周期為360o，, 2 , 1 , 0,) 12(180kmnko35 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定根軌跡的分支數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)。若終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)試確定根軌跡的分支數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)。若終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，試確定漸近線和實(shí)軸的交點(diǎn)及漸近線的傾斜角。處，試確定漸近線和實(shí)軸的交點(diǎn)及漸近線的傾斜角。)5)(1()(sssKsGgo 由于由于n3，所以所以。 分別在分別在-p10，-p2-1和和-p3 =-5。 由于由于 m0，開環(huán)傳遞函數(shù)沒有有限值零點(diǎn)，開環(huán)傳遞函

18、數(shù)沒有有限值零點(diǎn)， 。3610 1 5230niipnm 3) 12(180) 12(180kmnkoo當(dāng)當(dāng)k=0時(shí)，時(shí)， 1=60；當(dāng)當(dāng)k=1時(shí)，時(shí)， 2=180；當(dāng)當(dāng)k=2時(shí)，時(shí)， 3=300。根軌跡的起點(diǎn)和三條漸近線如圖根軌跡的起點(diǎn)和三條漸近線如圖所示。所示。 其漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)其漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)-及傾斜角及傾斜角 分別為分別為37課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：38 根軌跡可能與虛軸相交，根軌跡可能與虛軸相交， 根軌跡與虛軸相交相應(yīng)于系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。根軌跡與虛軸相交相應(yīng)于系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。39 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為 即即(1)(2)0gs ssK32320gsssK3

19、2()3()2()0gjjjK) 2)(1()(sssKsGgo 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為試求根軌跡和虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算臨界增益。試求根軌跡和虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算臨界增益。則特征方程為則特征方程為40上式分解為實(shí)部和虛部，并分別等于零，即上式分解為實(shí)部和虛部，并分別等于零，即 解得解得=0， ，相應(yīng)相應(yīng) Kgp=0，62230gpK32302jKgp0時(shí)，為根軌跡起點(diǎn)。時(shí)，為根軌跡起點(diǎn)。Kgp6時(shí)，根軌跡和虛軸相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，根軌跡和虛軸相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為 32116121ppKKgpop可以計(jì)算出可以計(jì)算出為為41也可利用也可利用確定確定Kgp和和值，可列出勞斯陣為值，可列出勞斯陣為

20、gpgpgpKKKssss363210123當(dāng)勞斯陣當(dāng)勞斯陣s1行等于行等于0時(shí)，特征方程出現(xiàn)共軛虛根。時(shí)，特征方程出現(xiàn)共軛虛根。令令s1行等于行等于0，則得，則得6gpK2js共軛虛根值可由共軛虛根值可由s2行的輔助方程求得行的輔助方程求得即即223360gpsKs42 根據(jù)根軌跡方程的幅角條件，可求得根據(jù)根軌跡方程的幅角條件，可求得出射角和入出射角和入射射角角。43 nxiiimjjoxck11) 12(180(4-22)niimyjjjoyrk11) 12(180(4-23)44 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)極、零點(diǎn)如圖設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)極、零點(diǎn)如圖4-10所示，試確所示，試確定根軌跡離開共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出

21、射角。定根軌跡離開共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角。 利用公式利用公式(4-22)，由作圖可得，由作圖可得111121314180 (21)()()()()180 (21) 45(9013526.6 )180226.6ockpzppppppkk考慮到幅角的周期性，考慮到幅角的周期性，。 同理，可得同理，可得。該系統(tǒng)的根軌跡詳見例該系統(tǒng)的根軌跡詳見例4-9。45).().()()()(0111011111asasasbsbsbsKpszsKsGnnnmmmginijmjo(4-29)式中式中miimmzzzzzb13211.miimzzzzzb132110.njjnnpppppa13211njjnppppp

22、a1321046設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為-s1，-s2，-sn，則則1121212( ) ()() ()()nnnnnF ss s s ss sssss ss ss 當(dāng)當(dāng)n-m2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和等于開環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和等于開環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和且為常數(shù)和且為常數(shù) ，即，即111nnjjnjjaps上式表明，上式表明，。對(duì)應(yīng)于任一對(duì)應(yīng)于任一Kg值，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和保持不變。值，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和保持不變。將上兩式比較，可得如下將上兩式比較，可得如下：0).(.)(01110111bsbsbsKasasassFmmmgnnn系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為47 閉環(huán)極

23、點(diǎn)之積和開環(huán)零極點(diǎn)具有如下關(guān)系閉環(huán)極點(diǎn)之積和開環(huán)零極點(diǎn)具有如下關(guān)系 00111nnmjgjgijjisaK bpKz 對(duì)應(yīng)于某一對(duì)應(yīng)于某一Kg值，若已求得閉環(huán)系統(tǒng)的某些極點(diǎn)，值，若已求得閉環(huán)系統(tǒng)的某些極點(diǎn)，則利用上述結(jié)論可求出其他極點(diǎn)。則利用上述結(jié)論可求出其他極點(diǎn)。miignjjzKs11(4-33)即閉環(huán)極點(diǎn)之積和根軌跡增益成正比。即閉環(huán)極點(diǎn)之積和根軌跡增益成正比。48 綜上所述，在給出開環(huán)零、極點(diǎn)的情況下，綜上所述，在給出開環(huán)零、極點(diǎn)的情況下，一般來說靠近虛軸和原點(diǎn)一般來說靠近虛軸和原點(diǎn)附近的根軌跡是比較重要的，應(yīng)盡可能精確繪制。附近的根軌跡是比較重要的，應(yīng)盡可能精確繪制。49 綜合應(yīng)用第

24、二節(jié)講述的繪制根軌跡圖的一些基本綜合應(yīng)用第二節(jié)講述的繪制根軌跡圖的一些基本規(guī)則，可以繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖。草圖繪出規(guī)則，可以繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖。草圖繪出后，再根據(jù)幅角條件選擇一些試驗(yàn)點(diǎn)作一些修正，就后，再根據(jù)幅角條件選擇一些試驗(yàn)點(diǎn)作一些修正，就可以得到滿意的根軌跡圖?？梢缘玫綕M意的根軌跡圖。50 （同例（同例4-3）設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。)5 . 0)(1 . 0() 1()(sssKsGgo 繪制根軌跡圖的步驟如下：繪制根軌跡圖的步驟如下：(1) 根軌跡共有根軌跡共有。在開環(huán)極點(diǎn)在開環(huán)極點(diǎn)s-0.1，-0.5，一支根

25、軌跡在一支根軌跡在s-1，另一支沿負(fù)實(shí)軸趨向無窮遠(yuǎn)另一支沿負(fù)實(shí)軸趨向無窮遠(yuǎn)處。處。(2) 在區(qū)間在區(qū)間- ，-1，-0.5，-0.1。51(4) 復(fù)平面上的根軌跡是圓（證明見教材）。復(fù)平面上的根軌跡是圓（證明見教材）。 此圓與實(shí)軸的交點(diǎn)就是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)此圓與實(shí)軸的交點(diǎn)就是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)，和會(huì)合點(diǎn)，完整的根軌跡如圖完整的根軌跡如圖4-11所示。所示。33. 01d67. 12d(3) 根軌跡在實(shí)軸的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)已在例根軌跡在實(shí)軸的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)已在例4-4中求得中求得坐標(biāo)為坐標(biāo)為 ，Kgd10.06；坐標(biāo)為坐標(biāo)為 ，Kgd22.6。52 繪制步驟如下：繪制步驟如下：

26、(1) 求得系統(tǒng)的開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為求得系統(tǒng)的開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為-1j。(2) 根軌跡共有根軌跡共有， 在開環(huán)極點(diǎn)在開環(huán)極點(diǎn) 0，-3，-1j， 一條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)一條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)-2，其余其余3條終止于無窮遠(yuǎn)處。條終止于無窮遠(yuǎn)處。 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 )22)(3()2()(2sssssKsGgo53當(dāng)當(dāng) k=0，1，2時(shí)分別得傾斜角為時(shí)分別得傾斜角為 。3) 12(180) 12(180kmnkoo(5) 實(shí)軸上實(shí)軸上。(6) 根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)-1j的的，已在例，已在例4-5中中求得求得。(4

27、) 實(shí)軸上根軌跡在區(qū)間實(shí)軸上根軌跡在區(qū)間 。(3) 根軌跡的根軌跡的1 2)1130(31)(111jjzpmnmjjnii54列出勞斯陣為列出勞斯陣為g0ggg1gg2g3g42KsK3450K)Ks2K5)K(640sK65s2K81s6(7) 計(jì)算根軌跡與虛軸的交點(diǎn)計(jì)算根軌跡與虛軸的交點(diǎn)43258(6)20ggsssKsK2(3)(22)(2)0gs sssKs系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為55相應(yīng)的相應(yīng)的值由值由s2行系數(shù)組成的輔助方程確定，即行系數(shù)組成的輔助方程確定，即240(67)5270s 由于由于Kg0，若勞斯陣第一列的若勞斯陣第一列的s1行等于零，則系統(tǒng)行等于零，則

28、系統(tǒng)具有共軛虛根。即當(dāng)具有共軛虛根。即當(dāng)034506gggKKK可解得可解得 可得可得 解得解得1.6sj 56完整的根軌跡圖如圖完整的根軌跡圖如圖4-12所示所示。57對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)如圖對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)如圖4-13(a)所示，所示， )()()(sHsGsGo開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為58系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為)()(1)(1)()(1)()(1)()(sGsHsGsGsHsHsGsGsGcooc 以開環(huán)傳遞函數(shù)以開環(huán)傳遞函數(shù)Go(s)繪制根軌跡可以得到單位反繪制根軌跡可以得到單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)饋閉環(huán)系統(tǒng) 的極點(diǎn)，的極點(diǎn)，)(sGc)(1sH)(sGc 這時(shí)，這時(shí)，5

29、9圖圖4-14繪出了繪出了常見的一些負(fù)常見的一些負(fù)反饋系統(tǒng)的零、反饋系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布及相極點(diǎn)分布及相應(yīng)的根軌跡圖應(yīng)的根軌跡圖。60 61 利用繪制根軌跡的法則（過程從略）可繪出利用繪制根軌跡的法則（過程從略）可繪出K從從0變化變化到到 時(shí)系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。時(shí)系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。由圖可見，由圖可見， 設(shè)某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制根軌跡圖，并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)試?yán)L制根軌跡圖，并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。的取值范圍。 22(24)( )(4)(1.41)oK ssGss sss62 條件穩(wěn)定系統(tǒng)可由根軌跡圖確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)條件穩(wěn)定系統(tǒng)可由根軌跡圖確定

30、使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。取值范圍。 在右半平面的極點(diǎn)是（在右半平面的極點(diǎn)是（1,0）。因此，必有一部分根軌）。因此，必有一部分根軌跡在右半平面，它跡在右半平面，它。 ，在右半，在右半s s平面上具有零點(diǎn)或平面上具有零點(diǎn)或極點(diǎn)，例如極點(diǎn)，例如2(1)( )(1)(416)oK sG ss sss 條件穩(wěn)定系統(tǒng)的工作性能往往不能令人滿意。在條件穩(wěn)定系統(tǒng)的工作性能往往不能令人滿意。在工程實(shí)際上，應(yīng)注意參數(shù)的選擇或通過適當(dāng)?shù)男Ｕ焦こ虒?shí)際上，應(yīng)注意參數(shù)的選擇或通過適當(dāng)?shù)男Ｕ椒ㄏ龡l件穩(wěn)定問題。法消除條件穩(wěn)定問題。 63 ，典型的二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，典型的二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)2()(2n

31、nosssG當(dāng)當(dāng) 變化時(shí)變化時(shí),作出系統(tǒng)根軌跡如圖作出系統(tǒng)根軌跡如圖4-29。閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為22 , 11nnjjsarccos 和和 有確定的關(guān)系為有確定的關(guān)系為 利用根軌跡法可清楚地看到開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增利用根軌跡法可清楚地看到開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益或其他參數(shù)改變時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置及其動(dòng)態(tài)性益或其他參數(shù)改變時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置及其動(dòng)態(tài)性能的改變情況。能的改變情況。64 根據(jù)二階系統(tǒng)超調(diào)量根據(jù)二階系統(tǒng)超調(diào)量Mp和和 的關(guān)系，如圖的關(guān)系，如圖4-30所示。所示。 用根軌跡法分析二階用根軌跡法分析二階系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)時(shí)， 也可根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間也可根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間ts和和n的近似關(guān)系式，的近似