高數(shù)重要知識點

1、精品文檔高等數(shù)學(xué)上冊重要知識點第一章 函數(shù)與極限一 . 函數(shù)的概念1 兩個無窮小的比較設(shè) lim f ( x) 0, lim g( x)0 且 limf ( x)lg( x)（ 1） l = 0，稱 f ( x) 是比 g( x) 高階的無窮小，記以 f (x) = 0 g(x) ，稱 g(x)是比 f(x)低階的無窮小。（ 2） l 0，稱 f ( x) 與 g( x) 是同階無窮小。（ 3） l = 1，稱 f ( x) 與g( x) 是等價無窮小，記以 f ( x) g( x)2 常見的等價無窮小當(dāng)x 0時sin x x，tan x x， arcsinx x， arccos x x 1-

2、 cos x x2 / 2 ， ex - 1 x ， ln(1 x) x ， (1 x) 1 x二 求極限的方法1兩個準(zhǔn)則準(zhǔn)則 1單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在準(zhǔn)則 2（ 夾逼定理 ）設(shè) g( x) f ( x) h( x)放縮求極限若 lim g( x)A, lim h( x) A ，則 lim f ( x) A2兩個重要公式公式 1lim sin x1x 0x公式 2lim (1x)1/ xex 03用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換4用泰勒公式當(dāng) x0 時，有以下公式，可當(dāng)做等價無窮小更深層次ex1xx2x3.xno(x n )2!3!n!sin xxx3x5.(1)nx2n1o( x2 n 1

3、)3!5!(2n1)!cos x1x2x4.(1)nx2no( x2 n )2!4!2n!.精品文檔ln(1 x) xx2x3.( 1)n 1 xno( xn )23n(1 x)1x(1) x2.(1).(n 1) xno( xn )2!n!arctan xxx3x5. (1)n 1 x2n1o(x2n1)352n15洛必達(dá)法則定理 1設(shè)函數(shù) f (x) 、 F ( x) 滿足下列條件：（1） limf (x)0 ， lim F ( x)0 ；xx0xx0（2） f ( x)與 F (x) 在 x0 的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且F ( x) 0 ；（3） limf (x) 存在（或為無窮大），則l

4、im f ( x)lim f (x)xx0 F ( x)x x0 F ( x)xx0 F ( x)這個定理說明：當(dāng) limf ( x) 存在時， limf ( x) 也存在且等于 limf ( x) ；當(dāng)xx0 F ( x)xx0 F (x)xx0 F ( x)lim f ( x) 為無窮大時， limf ( x) 也是無窮大x x0 F ( x)x x0 F ( x)這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為 洛必達(dá)（ L H ospital ）法則 .例 1 計算極限 lim ex1 .x 0x解 該極限屬于“ 0”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得0lim e

5、x1lim ex1.x 0xx 0 1例 2 計算極限 lim sin ax x 0 sin bx解 該極限屬于“ 0 ”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得0limsin axlima cos axa x 0sin bxx 0 b cos bxb注 若 f ( x), g ( x) 仍滿足定理的條件，則可以繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則，即f ( x)f (x)f(x)limlimlimLx a g (x)x a g ( x)x a g( x)二、型未定式定理 2設(shè)函數(shù) f ( x) 、 F (x) 滿足下列條件：（1） lim f ( x)， lim F ( x)；x x0x x0（2） f ( x) 與

6、F (x) 在 x0 的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且（3） limf (x)存在（或為無窮大），則f ( x)x x0F ( x)limF ( x)xx0F ( x)0 ；limf (x)xx0F ( x).精品文檔注：上述關(guān)于 xx0 時未定式型的洛必達(dá)法則，對于 x時未定式型同樣適用xn例 3 計算極限 lim(0) xxne解 所求問題是型未定式，連續(xù) n 次施行洛必達(dá)法則，有nn 1n 2n ! 0 limxlimnxxlimn(n 1)xLlimxxxexexxexe使用洛必達(dá)法則時必須注意以下幾點：（1）洛必達(dá)法則只能適用于“0 ”和“”型的未定式，其它的未定式須0先化簡變形成“ 0 ”

7、或“”型才能運(yùn)用該法則；0（2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時并不能斷定原極限不存在7 利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 lim0f (x0x) f (x0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）xx8利用定積分定義求極限1 nk1基本格式 limf ( x)dx （如果存在）f ( )nn k1n0三函數(shù)的間斷點的分類函數(shù)的間斷點分為兩類：（ 1）第一類間斷點設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x) 的間斷點。如果 f ( x) 在間斷點 x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點。第一類間斷點

8、包括可去間斷點和跳躍間斷點。（ 2）第二類間斷點第一類間斷點以外的其他間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷點。 常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。.精品文檔定理 3（介值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為

9、 M 和m ，則對于介于 m和M 之間的任何實數(shù) c，在 a,b 上至少存在一個 ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與f ( b) 異號，則在 ( a,b) 內(nèi)至少存在一個點 ，使得 f ( ) = 0這個推論也稱為零點定理第二章導(dǎo)數(shù)與微分1. 復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則設(shè) y = f ( u) ， u =? ( x) ，如果 ? ( x) 在 x處可導(dǎo)， f ( u) 在對應(yīng)點 u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) y = f ? ( x)在x處可導(dǎo)，且有 dydy duf ' ( (x) '( x)dxdu dx對應(yīng)地 dy f &#

10、39; (u)duf ' ( ( x) ' (x)dx ，由于公式 dyf ' (u)du 不管 u 是自變量或中間變量都成立。因此稱為一階微分形式不變性。2. 由參數(shù)方程確定函數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)?( t)，y =(t ) 確定函數(shù)y = y( x)，其中' (t), '(t) 存在，且'(t ) ，則x =0dy' (t)dx' (t )二階導(dǎo)數(shù)d2 yddyddydt' ' (t) '(t )' (t) ' ' (t)dxdxdx2dxdtdx' (t) 33. 反函數(shù)求導(dǎo)法

11、則設(shè) y = f ( x) 的反函數(shù) x = g( y) ，兩者皆可導(dǎo)，且 f ( x) 011( f '( x) 0)則 g '( y)f ' ( g( y)f ' ( x)4 隱函數(shù)運(yùn)算法則（可以按照復(fù)合函數(shù)理解）設(shè) y = y( x) 是由方程 F( x, y) =0所確定，求 y 的方法如下：把 F( x, y) = 0兩邊的各項對 x求導(dǎo)，把 y 看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計算，然后再解出 y 的表達(dá)式（允許出現(xiàn) y 變量）5 對數(shù)求導(dǎo)法則（指數(shù)類型 如 y xsin x ）先兩邊取對數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)方法得出導(dǎo)數(shù) y。對數(shù)求導(dǎo)法主要用于：

12、冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)多個函數(shù)連乘除或開方求導(dǎo)數(shù)（注意定義域 P106 例 6）關(guān)于冪指函數(shù) y = f ( x) g ( x) 常用的一種方法 , y = eg (x) ln f ( x) 這樣就可以直接用.精品文檔復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行。6 可微與可導(dǎo)的關(guān)系f ( x) 在 x0 處可微 ?f ( x) 在 x0 處可導(dǎo)。7 求n階導(dǎo)數(shù)（ n 2，正整數(shù)）先求出 y , y , ,總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出 y( n) ，最后用歸納法證明。有一些常用的初等函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)公式（ 1） y ex, y(n) ex（ 2）yax , y (n )ax (ln a)n（ 3）ysin x , y (n)si

13、n( xn)2（ 4） ycos x , y( n)cos(xn)2(5) yln x , y( n )(1) n 1 (n1)! x n.精品文檔第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一 羅爾定理設(shè)函數(shù)f ( x) 滿足（ 1）在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)；（ 2）在開區(qū)間 ( a,b) 內(nèi)可導(dǎo)；（ 3） f ( a) =f ( b)則存在 ( a,b) ，使得 f ( ) =0二 拉格朗日中值定理（證明不等式P134 9 、10）設(shè)函數(shù) f ( x) 滿足（ 1）在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)；（2）在開區(qū)間 ( a,b) 內(nèi)可導(dǎo)；則存在 ( a,b) ，使得 f (b)f (a)f ' ( )ba推

14、論 1若 f ( x) 在( a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，且 f ( x) 0，則 f ( x) 在( a,b) 內(nèi)為常數(shù)。推論 2若 f ( x) ， g( x) 在( a,b) 內(nèi)皆可導(dǎo)，且 f ( x) g ( x) ，則在 ( a,b)內(nèi) f ( x) = g( x)+ c，其中 c為一個常數(shù)。三 柯西中值定理設(shè)函數(shù) f ( x) 和g( x) 滿足：（1）在閉區(qū)間 a,b 上皆連續(xù)；（ 2）在開區(qū)間 ( a,b) 內(nèi)皆可導(dǎo)；且g( x) 則存在 ( a,b)使得 f (b)f ( a)f ' ( )b)0g (b)g (a)(ag' ( )（注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的

15、推廣，特殊情形g( x) =x 時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 ）四 泰勒公式（估值 求極限（麥克勞林） P145 T10 ）定理 1（皮亞諾余項的 n階泰勒公式）設(shè) f ( x) 在0 x 處有 n 階導(dǎo)數(shù)，則有公式，稱為皮亞諾余項對常用的初等函數(shù)如ex ,sin x,cos x,ln( 1+ x) 和 (1x)（ 為實常數(shù)）等的 n階泰勒公式都要熟記。定理 2（拉格朗日余項的 n 階泰勒公式）設(shè) f ( x) 在包含 0 x 的區(qū)間 ( a,b) 內(nèi)有 n +1階導(dǎo)數(shù)，在 a,b 上有 n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對 x a,b ， 有公式，, 稱為拉格朗日余項上面展開式稱為以 0 x 為中心

16、的 n 階泰勒公式。當(dāng) x0 =0 時，也稱為 n階麥克勞林公式。.精品文檔導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一 基本知識設(shè)函數(shù) f( x) 在 x0 處可導(dǎo)，且 x0 為f( x) 的一個極值點，則f ' (x0 )0 。我們稱 x 滿足 f ' (x0 )0 的 x0 稱為 f ( x) 的駐點，可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是駐點，反之不然。極值點只能是駐點或不可導(dǎo)點， 所以只要從這兩種點中進(jìn)一步去判斷。極值點判斷方法第一充分條件f (x) 在 x0 的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f ( x0 ) 0 ，則若當(dāng) xx0 時 ,f ( x)0 ，當(dāng) xx0 時， f (x)0 ，則 x0 為極大值點；若當(dāng) xx0時， f

17、(x)0 ，當(dāng)xx0 時， f (x)0 ，則 x0 為極小值點； 若在 x0 的兩側(cè) f( x) 不變號， 則 x0不是極值點 .第二充分條件f (x) 在 x0 處二階可導(dǎo)， 且 f ( x0 ) 0 ， f ( x0 )0，則若 f( x0 )0 ，則 x0 為極大值點；若 f ( x0 )0 ，則 x0 為極小值點 .二 凹凸性與拐點1凹凸的定義設(shè) f ( x) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，若對任意不同的兩點1 2 x , x ，恒有則稱 f( x) 在 I上是凸（凹）的。在幾何上，曲線 y = f ( x) 上任意兩點的割線在曲線下（上）面，則 y = f ( x) 是凸（凹）的。如果曲線

18、y = f ( x) 有切線的話， 每一點的切線都在曲線之上 （下）則 y = f ( x) 是凸（凹）的。2 拐點的定義曲線上凹與凸的分界點，稱為曲線的拐點。3 凹凸性的判別和拐點的求法設(shè)函數(shù) f ( x) 在( a,b) 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f ' '( x) ，如果在 ( a,b) 內(nèi)的每一點 x，恒有 f ' ' ( x) > 0，則曲線 y = f ( x) 在 ( a,b) 內(nèi)是凹的；.精品文檔如果在 ( a,b) 內(nèi)的每一點 x，恒有 f ' ' ( x) < 0，則曲線 y = f ( x) 在( a,b) 內(nèi)是凸的。求曲線

19、 y = f ( x) 的拐點的方法步驟是：第一步：求出二階導(dǎo)數(shù)f ' '( x) ；第二步：求出使二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點x1, x2 ,.xk ；第三步：對于以上的連續(xù)點，檢驗各點兩邊二階導(dǎo)數(shù)的符號，如果符號不同，該點就是拐點的橫坐標(biāo)；第四步：求出拐點的縱坐標(biāo)。四 漸近線的求法五 曲率.精品文檔第四章不定積分一基本積分表：tgxdxln cosxCdx2tgx Csec xdxctgxdxln sin xCcos2 xdxcsc2 xdxctgxCsecxdxln secxtgxCsin 2 xcscxdxln cscxctgxCsecx tgxdxsecxCdx

20、1xcscxctgxdxcscxCa2x2arctgCa xaaaxdxCdx1xaln aCx2a2lnxashxdxchxC2adx1 ln axCchxdxshxCa2x22aaxdxarcsin xCdxln( xx2a 2 )Ca2x2ax 2a22sin n xdx2cosn xdxn1 I nI n200nx2a2 dxxx2a2a2ln( xx2a 2 )C22x2a2dxxx2a2a2ln xx2a2C22a 2x2 dxxa2x2a 2arcsin xC22a.精品文檔二 換元積分法和分部積分法換元積分法（ 1）第一類換元法（湊微分） ： f ( x)(x)dxf (u)d

21、u u( x)（ 2）第二類換元法（變量代換） ：f ( x)dxf (t)(t) dt1(x)t分部積分法udvuvvdu使用分部積分法時被積函數(shù)中誰看作u( x) 誰看作 v'( x) 有一定規(guī)律。記住口訣，反對冪指三為u( x) ，靠前就為u(x) ，例如ex arcsin xdx ，應(yīng)該是arcsin x 為 u( x) ，因為反三角函數(shù)排在指數(shù)函數(shù)之前，同理可以推出其他。三 有理函數(shù)積分有理函數(shù)： f ( x )P( x )Q( x )其中 P( x )和 Q( x ) 是多項式。簡單有理函數(shù)：P ( x )P( x) f ( x ),f ( x )21x1 x f ( x

22、)P( x )a)( xb)( xP( x ) f ( x )( xa)2 b1、“拆”；2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）.精品文檔第五章定積分一概念與性質(zhì)bn1、定義： af ( x) dx limf ( i ) xi0i 12、性質(zhì)：（10條）（ 3）.精品文檔3 基本定理( x)x( x) f ( x) 推 廣 ：變上限積分：設(shè)f (t )dt ， 則ad( x)( x) ( x)f (x)( x)dxf (t )dt f ( x)NL 公式：若F ( x)為f (x) 的一個原函數(shù)，則bf ( x) dx F (b)F ( a)a4 定積分的換元積分法和分部積分法.精品文檔

23、.精品文檔第六章定積分的應(yīng)用（一）平面圖形的面積b2 ( x) f1 ( x) dx1、 直角坐標(biāo)： A fa2、 極坐標(biāo)： A122( )12 ( ) d2（二）體積1、 旋轉(zhuǎn)體體積：a) 曲邊梯形 yf ( x), xa, xb, x 軸，繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)Vxbf2 ( x ) dx體的體積：ab) 曲邊梯形 yf ( x), xa, xb, x 軸，繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)V yb2xf ( x) dx體的體積：a（柱殼法）.精品文檔2、 平行截面面積已知的立體： VbA( x ) dxa（三） 弧長1、 直角坐標(biāo)：2、 參數(shù)方程：sbf( x )2 dx1as( t )2( t ) 2 dt極坐標(biāo)： s( ) 2( ) 2 d.精品文檔第七章微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程 . 階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) .2、 解：使微分方程成為恒等式的函數(shù) . 通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同 . 特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解 .（二） 變量可分離的