1.5空間直線(xiàn)及其方程ppt課件

1、1.5 空間直線(xiàn)及其方程空間直線(xiàn)及其方程xyzo1 2 定義定義空間直線(xiàn)可看成兩平面的交線(xiàn)空間直線(xiàn)可看成兩平面的交線(xiàn)0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線(xiàn)的一般方程空間直線(xiàn)的一般方程L1.5.1 空間直線(xiàn)的一般方程空間直線(xiàn)的一般方程xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線(xiàn)，這個(gè)向量稱(chēng)一條已知直線(xiàn)，這個(gè)向量稱(chēng)為這條直線(xiàn)的方向向量為這條直線(xiàn)的方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 1.5.2

2、 空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程pzznyymxx000 直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式（點(diǎn)向式方程（點(diǎn)向式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線(xiàn)的一組方向數(shù)直線(xiàn)的一組方向數(shù)方向向量的余弦稱(chēng)為方向向量的余弦稱(chēng)為直線(xiàn)的方向余弦直線(xiàn)的方向余弦.直線(xiàn)的參數(shù)方程直線(xiàn)的參數(shù)方程例例1 1 用對(duì)稱(chēng)式方程及參數(shù)方程表示直用對(duì)稱(chēng)式方程及參數(shù)方程表示直線(xiàn)線(xiàn).043201 zyxzyx解解在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)),2, 0 , 1( 空間直線(xiàn)的三種方

3、程形式的互化空間直線(xiàn)的三種方程形式的互化因所求直線(xiàn)與兩平面的法向量都垂直因所求直線(xiàn)與兩平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 對(duì)稱(chēng)式方程對(duì)稱(chēng)式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx例例 2 2 一直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)一直線(xiàn)過(guò)點(diǎn))4 , 3, 2( A，且和，且和y軸垂直相軸垂直相交，求其方程交，求其方程.解解因因?yàn)闉橹敝本€(xiàn)線(xiàn)和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線(xiàn)方程所求直線(xiàn)方程.440322 zyxAB定義定義直線(xiàn)直線(xiàn):1L,111111pzznyymxx 直線(xiàn)直線(xiàn):2L,222222pzzn

4、yymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線(xiàn)的方向向量的夾角稱(chēng)之兩直線(xiàn)的方向向量的夾角稱(chēng)之.（銳角）（銳角）兩直線(xiàn)的夾角公式兩直線(xiàn)的夾角公式1.5.3 兩直線(xiàn)的夾角兩直線(xiàn)的夾角兩直線(xiàn)的位置關(guān)系：兩直線(xiàn)的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線(xiàn)直線(xiàn):1L直線(xiàn)直線(xiàn):2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 3 3 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))5, 2, 3( 且且與與兩兩平平面面34 zx和和152 zyx的的交交線(xiàn)線(xiàn)

5、平平行行的的直直線(xiàn)線(xiàn)方方程程.解解設(shè)所求直線(xiàn)的方向向量為設(shè)所求直線(xiàn)的方向向量為,pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直線(xiàn)的方程所求直線(xiàn)的方程例例 4 4 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))3 , 1 , 2(M且且與與直直線(xiàn)線(xiàn)12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直線(xiàn)線(xiàn)方方程程.解解設(shè)兩直線(xiàn)的交點(diǎn)設(shè)兩直線(xiàn)的交點(diǎn)N令令tzyx 12131. 1213 tztytx), 12 , 13(000ttt)3,2 , 33(000tttMN) 1, 2 , 3(1 sMN由題設(shè)知73:0t得交點(diǎn)交點(diǎn))73,713,72( N取所求直線(xiàn)的方向向量為取

6、所求直線(xiàn)的方向向量為MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線(xiàn)方程為所求直線(xiàn)方程為.431122 zyx0)3(22)33(3000ttt定義定義直線(xiàn)和它在平面上的投影直線(xiàn)的夾直線(xiàn)和它在平面上的投影直線(xiàn)的夾角角 稱(chēng)為直線(xiàn)與平面的夾角稱(chēng)為直線(xiàn)與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns1.5.4、直線(xiàn)與平面的夾角、直線(xiàn)與平面的夾角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直線(xiàn)與平面的夾角公式直線(xiàn)與平面的夾角公式直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系：直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA

7、L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 例例 5 5 設(shè)直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn):L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直線(xiàn)與平面的夾角，求直線(xiàn)與平面的夾角.解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角1.5.5 雜例雜例例例1 求點(diǎn)求點(diǎn)P(-1,2,0)在平面在平面x+2y-z+1=0上的投影。上的投影。解：解：P(-1,2,0)Q如下圖如下圖只要過(guò)點(diǎn)只要過(guò)點(diǎn)P(-1,2,0)作平面的垂線(xiàn)，則垂足作平面的垂線(xiàn)，則垂足Q即為所求的投影即為所求的投影

8、分析分析210Pxyz 過(guò)點(diǎn) 且垂直于平面的直線(xiàn)方程為12121xyz令令12121xyzt得直線(xiàn)的參數(shù)方程為得直線(xiàn)的參數(shù)方程為122xtytzt 將上式代入平面方程，得將上式代入平面方程，得 t= -2/3從而投影從而投影Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-5/3, 2/3, 2/3)例例2 10(3, 1,2)240 xyzPLxyz 求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。分析：分析：P(3,-1,2)M先求出過(guò)點(diǎn)先求出過(guò)點(diǎn)P且垂直于直線(xiàn)且垂直于直線(xiàn)L的平面，再求出垂足的平面，再求出垂足M，最后求出最后求出P,M兩點(diǎn)間的距離即可。兩點(diǎn)間的距離即可。解解直線(xiàn)直線(xiàn)L的方向向量的方向向量v=(0,-3,-3)則垂直直線(xiàn)則垂直直線(xiàn)

9、L，經(jīng)過(guò)，經(jīng)過(guò)P的平面方程為的平面方程為y+z-1=0聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組1010240yzxyzxyz 解得解得即即M=(1,-1/2,3/2)11232xyz 從而從而222133 2|(31)( 1)(2)222PM 平面束平面束設(shè)直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn)L由方程組由方程組1111222200A xB yC zDA xB yC zD(1)(2)所確定，其中，系數(shù)所確定，其中，系數(shù)A1,B1,C1與與A2,B2,C2不成比例，我不成比例，我們們建立三元一次方程建立三元一次方程:11112222()0A xB yC zDA xB yC zD(3)其中其中為任意常數(shù)，因?yàn)闉槿我獬?shù)，因?yàn)锳1,B1,C1與與

10、A2,B2,C2不成比例，所以不成比例，所以對(duì)于任何一個(gè)對(duì)于任何一個(gè)值，方程值，方程(3)的系數(shù)：的系數(shù)：A1+ A2,B1+ B2,C1+ C2不全為零，從而方程不全為零，從而方程(3)表示一個(gè)平面。表示一個(gè)平面。而且對(duì)應(yīng)于不同的而且對(duì)應(yīng)于不同的值，方程值，方程(3) 表示通過(guò)直線(xiàn)表示通過(guò)直線(xiàn) L的不的不同的平面。同的平面。反之，通過(guò)直線(xiàn)反之，通過(guò)直線(xiàn)L的任何平面的任何平面(除平面除平面(2) 外外)都包都包含在方程含在方程(3)所表示的一族平面內(nèi)。所表示的一族平面內(nèi)。像這種通過(guò)定直線(xiàn)的所有平面的全體稱(chēng)為平面束。像這種通過(guò)定直線(xiàn)的所有平面的全體稱(chēng)為平面束。而方程而方程(3) 就作為通過(guò)直線(xiàn)就

11、作為通過(guò)直線(xiàn)L的平面束的方的平面束的方程程.若一點(diǎn)在直線(xiàn)若一點(diǎn)在直線(xiàn)L上，則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)滿(mǎn)足方程上，則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)滿(mǎn)足方程(1)和方程和方程(2),因而也滿(mǎn)足方程因而也滿(mǎn)足方程(3),故方程故方程(3)表示通過(guò)表示通過(guò)直線(xiàn)直線(xiàn)L的平面。的平面。-43521xyz求過(guò)點(diǎn)(3,1,-2)且通過(guò)直線(xiàn)的平面方程例例3解解-43521xyz則過(guò)直線(xiàn)的平面束的方程為2523(23)0 xyyz-43521xyz將直線(xiàn)寫(xiě)成一般方程25230230 xyyz將點(diǎn)將點(diǎn)(3,1,-2)代入得代入得114從而得到所求平面方程為從而得到所求平面方程為 8x-9y-22z-59=0小結(jié)：小結(jié)：空間直線(xiàn)的一般方程空間直線(xiàn)的一般方程.空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程.兩直線(xiàn)的夾角兩直線(xiàn)的夾角.直線(xiàn)與平面的夾角直線(xiàn)與平面的夾角.（注意直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系）（注意直線(xiàn)與平