法向量經(jīng)典練習(xí)題

1、【山東省淄博市第一中學(xué)2012屆高三第一學(xué)期期中理】1、(滿分12分)：如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA丄平面ABC,AB=2,AF=2,CE=3,BD=1,O為BC的中點(diǎn)(1)求證：AO平面DEF2) 求證：平面DEF丄平面BCED3) 求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值山東省棗莊市2012屆高三上學(xué)期期末理2.(本題滿分12分)如圖，ABCD是菱形，PA丄平面ABCD,PA=AD=2,乙BAD=60°.(1) 證明：面PBD丄面PAC；(2) 求銳二面角APCB的余弦值.山東省臨清三中2012屆高三12月模擬理】3(

2、本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD,底面ABCD是菱形，AB=2，ZBAD=60°.(I) 求證：BD丄平面PAC；(II) 若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；(III) 當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長.4.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD,ZDAB=60°，F(xiàn)C丄平面ABCD,AE丄BD，CB=CD=CF。(I) 求證：BD丄平面AED；(II) 求二面角F-BD-C的余弦值?！敬鸢浮?、證明:取DE中點(diǎn)G,建系如圖，則A(0,邊,0)、B(-l,0,0)、C(l,0,0)、D(l,0,l),E(

3、l,0,3)、F(0,j3,2)、G(0,0,2),DE=(2,0,2),DF=(13,1).設(shè)平面DEF的一法向量D=(x,y,z),mDE=0、D»Df=0(x+z=0即x+V3y+z=0,不妨取x=1，則y=0,z=-1,D=(1,0,-1),平面ABC的一法向量D=(0,0,1),D=(0,込,0).D彳=0,.51丄彳.又0A#平面DEF,AQA/平面DEF.顯然，平面BCED的一法向量為寸=(0,1,0),歹彳=0,A平面DEF丄平面BCED由知平面DEF的一法向量m=(1,0,-1),平面ABC的一法向量n=(0,0,1),cosDDDmDn<m,n>=2|

4、亦|刊A求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值為乎答案2.(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC丄BD.因?yàn)镻A丄平面ABCD,所有PA丄BD.又因?yàn)镻ACAC=A,所以BD丄面PAC.而BDu面PBD,2分3分所以面PBD丄面PAC.5分(2)如圖，設(shè)ACCBD=O.取PC的中點(diǎn)Q,連接0Q.在厶APC中，AO=OC,CQ=QP,OQAPC的中位線，所以O(shè)Q/PA.因?yàn)镻A丄平面ABCD,所以0Q丄平面ABCD,6分以O(shè)A、OB、OQ所在直線分別為x軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz.貝ya(3,0,0)B(0,1,0),C(3,0,0)(-)P3,0,2/7分因?yàn)锽O丄面

5、PAC,所以平面PAC的一個(gè)法向量為OB=(0丄0)設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)而BC=(巨-1,。)PB=3,1n丄BC,“,得<n丄PB,%'3xy=0,'3x+y2x=0.令x=1,貝yy=一壬3,z=一3.所以n=(,-)為平面pbc的一個(gè)法向量.10分cos<OB,n>=OB-nOBxn=-w'3=V21=11+3+3=T12分【答案】3.(I)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC丄BD.又因?yàn)镻A丄平面ABCD,所以PA丄BD,所以BD丄平面PAC.4分(II) 設(shè)ACCBD=O.因?yàn)閆BAD=60°,PA=AB=2,所以BO=1,AO=CO=V3.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC所在直線及過點(diǎn)O且與PA平行的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，貝VP(0,V3,2),A(0,£,0),B(1,0,0),C(0,所以PB=(1,V3,2),AC=(0,2怎,0).設(shè)PB與AC所成角為6則8分（III）由（II）知BC=（T,衍,0）.設(shè)p（0,逅,t）（t>0）,貝ybp=（i,爲(wèi),t）.設(shè)平面PBC的法向量m=（x,y,z）,則BCm=0,BPm=0.所以x+、j3y=0,x3y+tz=0,ZT令y=V3，則x=3,z=