特殊四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題方法—圖解法

1、5收稿日期：2012-8-6特殊四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題方法圖解法區(qū)鐵基摘要：圖解法數(shù)學(xué)思想依據(jù)是數(shù)形結(jié)合思想。它的應(yīng)用能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化。特殊四邊形的幾何問(wèn)題，很多困難源于問(wèn)題中的可動(dòng)點(diǎn)。如何合理運(yùn)用各動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，同學(xué)們往往缺乏思路，常常導(dǎo)致思維混亂。實(shí)際上求解特殊四邊形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是是利用圖解法抓住它運(yùn)動(dòng)中的某一瞬間，尋找合理的代數(shù)關(guān)系式，確定運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的數(shù)量關(guān)系，圖形位置關(guān)系，分類畫(huà)出符合題設(shè)條件的圖形進(jìn)行討論，就能找到解決的途徑，有效避免思維混亂。本文試論從三個(gè)方面探究特殊四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題方法圖解法。以提高同學(xué)們的解題能力。關(guān)鍵詞：圖解法；動(dòng)態(tài)圖形；靜態(tài)圖形

2、；化“動(dòng)”為“靜”。一、單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題“數(shù)學(xué)是思維科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)”1。圖解法數(shù)學(xué)思想依據(jù)是數(shù)形結(jié)合思想。而特殊四邊形的幾何問(wèn)題，很多困難源于問(wèn)題中的可動(dòng)點(diǎn)。如何合理運(yùn)用各動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，同學(xué)們往往缺乏思路，常常導(dǎo)致思維混亂。實(shí)際上求解特殊四邊形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是要充分發(fā)揮空間想象的能力，不要被“動(dòng)”所迷惑，而是要“動(dòng)”中求“靜”，化“動(dòng)”為“靜”，抓住它運(yùn)動(dòng)中的某一瞬間，尋找合理的代利用圖解法，分類畫(huà)出符D圖1A數(shù)關(guān)系式，確定運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的數(shù)量關(guān)系，圖形位置關(guān)系，通過(guò)點(diǎn)動(dòng)帶線動(dòng)，合題設(shè)條件的圖形進(jìn)行求解，就能找到解決的途徑，有效避免思維混亂。如圖1所示，已知二ABCD中，AD=4

3、cm,CD=6cm,ZA=45。，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿射線AB運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，連接PC，當(dāng)t為何值時(shí)厶PBC為等腰三解形？本題以平行四邊形為背景，結(jié)合特殊角，等腰三角形，勾股定理等知識(shí)編制而成，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)時(shí)，探求等腰三角形的幾種情況。通常人們都是在給出的原始動(dòng)態(tài)圖形中進(jìn)行求解。同學(xué)們往往缺乏思路,導(dǎo)致運(yùn)算混亂。而我是利用圖解法，通過(guò)點(diǎn)P動(dòng)帶線動(dòng)，抓住等腰三角形的腰與底的分類從動(dòng)態(tài)圖形中畫(huà)出四種不同的靜態(tài)圖形進(jìn)行圖4求解，化“動(dòng)”為“靜”。解：1，如圖2所示，當(dāng)BP=BC時(shí)厶PBC為等腰三角形貝V：6t=4.*.t=2(s)2，如圖3所示，當(dāng)BP=BC時(shí)厶PB

4、C為等腰三角形貝V：t6=4.t=10(s)3，如圖4所示，當(dāng)CB=CP時(shí)厶PBC為等腰三角形二ABCDAZCBP=ZA=45o,BC=AD=4CB=CP?.ZBPC=ZCBP=45o.ZBCP=18O0-450-450=9Oo在RtABCP中BP='42+42=42:.t=(6+42)(s)4，如圖5所示，當(dāng)PB=PC時(shí)厶PBC為等腰三角形.二ABCDAZCBP=ZA=45o,BC=AD=4.PB=PCAZBCP=ZCBP=45o.ZBPC=1800-450-45o=900在RtABPC中設(shè)PB=PC=x,貝yX2+X2=42解得，X=2“2t=(6+2、2)(s)綜上所述當(dāng)t=2(

5、s)或t=10(s)或t=(6+4、2)(s)或t=(6+2、2)(s)時(shí)厶PBC為等腰三角形。動(dòng)態(tài)幾何題,是指以幾何知識(shí)和幾何圖形為背景，滲透運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類試題，揭示了“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”、“一般”與“特殊”的內(nèi)在聯(lián)系，以及在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系，通過(guò)幾何圖形的運(yùn)動(dòng)變化，使學(xué)生經(jīng)歷由觀察、想象、推理等發(fā)現(xiàn)、探索的過(guò)程，是中考數(shù)學(xué)試題中，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的重要題型，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是善于探索動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律，抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)，從一般位置與特殊位置的比較中發(fā)現(xiàn)解題的方法和思路，或根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特殊位置,進(jìn)行合理的分類2。二、雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)

6、題如圖6所示，二OABC的頂點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)在x軸正半軸上，ZCOA=450,0A=4cm,OC=、:2cm,點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿CB方向，以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿A0方向，以2cm/s的速度向原點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。1，求點(diǎn)C,B的坐標(biāo)2, 從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，四邊形OCPQ是平行四邊形，3, 在點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形OCPQ有可能成為直角梯形嗎？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由，本題同樣也是以平行四邊形為背景，但它是以雙動(dòng)點(diǎn)為載體的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，我是在2010-2011學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)八年級(jí)(下)期末數(shù)學(xué)試

7、題中第23題改編而成的一道題。在平時(shí)的教學(xué)中，開(kāi)始我也是在題目給出的原始動(dòng)態(tài)圖形中進(jìn)行解題講解，發(fā)現(xiàn)效果很差，特別是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生不理解。后來(lái)我同樣也是利用圖解法，根據(jù)平行四邊形，直角梯形的特征與性質(zhì)分類畫(huà)出以雙動(dòng)點(diǎn)P,Q為邊的平行四邊形和直角梯形進(jìn)行講解效果很好。解：從動(dòng)態(tài)圖形中分類畫(huà)出兩種靜態(tài)圖形進(jìn)行討論:1，如圖6所示，過(guò)點(diǎn)C作CE丄x軸于點(diǎn)E在RtAOCE中，TZCOA=45°,.ZOCE=90°45°=45°,.EO=EC設(shè)EO=x由勾股定理得，X2+X2=G-'2)2解得X=lx2=1(舍去)C點(diǎn)的坐標(biāo)為C(1,1),VCB=OA,

8、AB點(diǎn)的坐標(biāo)為B(5,1)；2, 如圖7所示，TCPOQ,要使四邊形OCPQ是平行四邊形，只需CP=OQ，而OQ=OAAQ.設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，四邊形OCPQ是平行四邊形，4則有t=42t，解得t=3(秒)4即當(dāng)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后，經(jīng)過(guò)3秒時(shí)，四邊形OCPQ是平行四邊形;3, 可以.EO<A96CPBMS如圖8所示，TCPOQ，要使四邊形OCPQ是直角梯形，只需PQ丄x軸，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同即可.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t+1,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為42t,得t+1=42t,解得t=1（秒），所以當(dāng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到1秒時(shí)，四邊形OCPQ是直角梯形；三、多動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題有一些比較抽象的題目,學(xué)生感到無(wú)從下手,原因是學(xué)生

9、缺乏畫(huà)圖幫助解題的意識(shí),如果根據(jù)題意轉(zhuǎn)換成輔助圖,就會(huì)化難為易,使問(wèn)題直觀化和形象化,降低學(xué)生思考問(wèn)題的難度3。如圖9所示，在矩形ABCD中，BC=24cm,P,Q,M,N分別從A,B,C,D出發(fā)沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng),當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí),運(yùn)動(dòng)即停止已知在相D同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm（xMO），則AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.1, 當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ,MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；2, 當(dāng)x為何值時(shí)，以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（結(jié)果用根號(hào)表示，3, 以P,Q,M,N為頂點(diǎn)

10、的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.本題我是從2009年淄博市中考題中最后一道題的第25題改編而成。它是以矩形為背景,4個(gè)動(dòng)點(diǎn)為載體的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。第（1）小題的必須條件是點(diǎn)P,N重合且點(diǎn)Q,M不重合，此時(shí)AP+ND=AD,即2x+x2=24cm,BQ+MCVBC，即x+3xV24cm，或者點(diǎn)Q,M重合點(diǎn)P,N不重合，此時(shí)AP+NDVAD，即2x+x2<24cm,BQ+MC=BC,即x+3x=24cm,所以可以根椐這兩種情況來(lái)求解x的值。而第2小題是要把P,N兩點(diǎn)分兩種情況討論：（1）點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)，（2）點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)。第3小題是利用等腰梯形同一底上的兩條高

11、的特征進(jìn)行討論判斷。同樣如果單獨(dú)利用題中給出的原始圖形進(jìn)行解題講解,學(xué)生基本不理解,感覺(jué)是非常難的一道題,但我還是利用圖解法,分類畫(huà)出符合題設(shè)條件的相關(guān)圖形進(jìn)行解題講解,化“動(dòng)”為“靜”,學(xué)生很樂(lè)意接受,效果也很好。特別是第3問(wèn),如果不分類畫(huà)出相關(guān)圖形,解：從動(dòng)態(tài)圖形中分類畫(huà)出五種靜態(tài)圖形進(jìn)行討論：1, 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ,MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形.（1）如圖10所示，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，由x2+2x=24，得x=4x=-6（舍去）12圖11D因?yàn)锽Q+CM=x+3x=4x=16V24，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合.所以x=4符合題

12、意.（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，x+3x=24.°.x=6此時(shí)DP=x2=36>24，不符合題意.故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合.所以所求x的值為4.2, 由1知，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，（1）如圖11所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，由24-(x+3x)=24-(2x+x2)，解得x,】=0(舍去),x?=2.當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形.如圖12所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，由24-（x+3x）=（2x+x2）-24，解得x-3+i57x=-3-、百（舍去）12當(dāng)x=-3+冷時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形.所以當(dāng)x=2或x=-3+面時(shí),以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.D3, 如圖13所示，過(guò)點(diǎn)Q,M分別作AD的垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F.由于2x>x,所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè).如圖14所示，若以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，則點(diǎn)F定在點(diǎn)N的右側(cè)，且PE=NF,即2x-x=x2-3x.解得x=0（舍去）x=2.12由于當(dāng)x=2時(shí)，以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,所以以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形.總之特殊四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,無(wú)論是單動(dòng)點(diǎn),雙動(dòng)點(diǎn),還是多動(dòng)點(diǎn),利用圖解法,善于探索動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律,分類畫(huà)出符合題設(shè)條件的圖形進(jìn)行討論。在分析過(guò)程中,特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置）,尋找合理的代數(shù)關(guān)