16.5二項式定理-

1、 16.5 二項式二項式定理定理 不作多項式運算，用不作多項式運算，用組合知識組合知識來考來考察，展開察，展開)()()(babababa展開式中有哪些項？各項系數(shù)各是什么？展開式中有哪些項？各項系數(shù)各是什么？問題取取4個個a球球 （不?。ú蝗?b球）球） ： 取取3個個a球球 （取（取3 a 1 b） ： 取取2個個a球球 （?。ㄈ? a 2 b） ：取取1個個a球球 （取（取1 a 3 b） ： 不取不取 a球球 （全?。ㄈ球）球） ： )(1434CC)(4404CC)(2424CC)(3414CC)(0444CC111111111112334465510101166151520 6

2、543210bababababababa （a+b）的）的n次方次方展開式的系數(shù)的展開式的系數(shù)的規(guī)律規(guī)律猜想：猜想： 沒有大膽的猜想，就不能有偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。沒有大膽的猜想，就不能有偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。 -牛頓牛頓 nba)(knn kknnnabbCC 222110baCbaCaCnnnnnn_?_)( nba 一一：二項式定理：二項式定理 nba)(knn kknnnabbCC 222110baCbaCaCnnnnnn 1.二項式定理：二項式定理： 二項式定理的證明二項式定理的證明 數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法 成成立立時時，顯顯然然有有當當bCaCban110111 kkkrrkrkkkkkkb

3、CbaCbaCaCba 110 等等式式成成立立，即即假假設設kn 2 bababaknkk 11時時，當當11111111101 kkkrrkrkkkkkbCbaCbaCaC證:需要證明需要證明 bababaknkk 11時時，當當111211011110110)(kkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaCbaCabCbaCbaCaCbabCbaCbaCaC11110110)()()( kkkkkkkkrrkrkrkkkkkkbCabCCbaCCbaCCaC111111111101 kkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaC

4、aC 該公式所表示的定理叫做該公式所表示的定理叫做二項式定理二項式定理，右邊的多項式叫做的右邊的多項式叫做的 展開式，其中展開式，其中的系數(shù)的系數(shù) 叫做叫做二項式系數(shù)二項式系數(shù)。式中式中 的叫做的叫做二項式通項二項式通項，用，用 表示，即通項為展開式的第表示，即通項為展開式的第 項。項。 nba)( 0,1,2,rnCrnrn rrnabC1rT1r nba)(222bannCbaannnnCC110knnkknnnabbCC2.二項式系數(shù)規(guī)律：二項式系數(shù)規(guī)律：nnnnnCCCC、 2103.指數(shù)規(guī)律：指數(shù)規(guī)律：（1）各項的次數(shù)）各項的次數(shù)和均為和均為n；（2）二項和的）二項和的第一項第一項a

5、的次數(shù)的次數(shù)由由n逐次降到逐次降到0， 第二項第二項b的次數(shù)的次數(shù)由由0逐次逐次升到升到n.1.項數(shù)規(guī)律：項數(shù)規(guī)律：展開式共有展開式共有n+1個項個項)(Nn011()nnnrn rrn nnnnna bC aC a bC a bC b二項展開式定理二項展開式定理:單三步單三步41xx求（） 的二項展開式例例1：例例2：62xx求（） 的二項展開式例例3：121a求（）的二項展開式中的倒數(shù)第五項。例例4：721x （1）求（） 的二項展開式中的第四項的系數(shù)；91xx3（2）求（） 的二項展開式中x 項的系數(shù).。二項展開式中的常數(shù)項、求（例153)x1x5412nxx已知（） 的二項展開式中,前

6、三項系數(shù)成等差數(shù)列，求二項展開式中的所有有理項.例例6：121112C4C2C2 C3nnnnnnnnn 求證：例例7：515017求證：能被 整除。例例8：并求這一項的系數(shù)。項是第幾項，）問項的二項式系數(shù)；（）求（項；）求第的展開式中，（、在（312113x3x241)x2x1的展開式中系數(shù)最大項）、求（72x12除的余數(shù)。被為奇數(shù)，求、設8Xn,C6C66CX3nnn2n21n 二二：二項式系數(shù)：二項式系數(shù)111111111112334465510101166151520 6543210bababababababa 二項式系數(shù)的性質二項式系數(shù)的性質:性質性質1、在（、在（a+b）n展開式中

7、，與首末兩端展開式中，與首末兩端“等距離等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等。的兩項的二項式系數(shù)相等。問題：問題：0121?nnnnnnnCCCCC性質性質2、（、（a+b）n的二項展開式中，所有二項式的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和等于系數(shù)的和等于2n。例例9：求證（：求證（a+b）n的展開式中奇數(shù)項的的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和。二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和。性質性質3：（：（a+b）n的展開式中，奇數(shù)項的的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于等于2n-1。例例10：求證：（：求證：（a

8、+b）n的展開式中，的展開式中，當當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù) 最大最大 ；當當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù) 相等且同時取得最大值相等且同時取得最大值 。性質性質4：先增后減，當：先增后減，當n為偶數(shù)時，中間項即第為偶數(shù)時，中間項即第2nnC當當n為奇數(shù)時，中間兩項即第為奇數(shù)時，中間兩項即第13,22nn 項的二項式系數(shù)項的二項式系數(shù) 相等且最大。相等且最大。12,nnC12nnC12,nnC12nnC22n 項的二項式系數(shù)項的二項式系數(shù) 最大；最大；2nnC例例11：利用二項式定理證明：利用二項式定理證明：2*21(5,)

9、,nnnnnN（1+x）n=1+nx+有：（有：（1+x）n1+nx例：用例：用4、近似計算、近似計算:2211nnnnnC xCxx（1+x）n1+nx求下列數(shù)的近似值。求下列數(shù)的近似值。（1）（）（1.0003）5（2）（）（0.998）4補充舉例補充舉例2101.a217求（-4ab+4b）的二項展開中的含a 項的系數(shù)，第4項的二項式系數(shù).152.xx求（-1）展開式中的常數(shù)項.2113.xx5求（1+)(1-x) 的展開式中x項的系數(shù).補充舉例補充舉例:3：在（：在（a-b）n的展開式中的展開式中,二項式系數(shù)的和是二項式系數(shù)的和是1024，求此二項展開式中系數(shù)最大的項。，求此二項展開式中系數(shù)最大的項。4：設（：設（1-x）7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a7x7，求求a0+a2+a4+a6的值。的值。5：求：求10110被被11除的余數(shù)。除的余數(shù)。練習練習:(3x-1)7= a7x7+ a6x6+a1x+a0則則a1+a2 + a7=? a1+a3 +a5+a7=? a0+a2 +a4+a6=? 項數(shù)：共項數(shù)：共n+1項項,是關于是關于a與與b的齊次多項式的齊次