系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)課程

1、1 MATLAB/SIMULINK 簡(jiǎn)介實(shí)例一、垂向動(dòng)力學(xué)2MATLAB 簡(jiǎn)介MATLAB 是什么？MATLAB是由美國(guó)MathWorks公司開發(fā)的一種進(jìn)行科學(xué)和工程計(jì)算的交互式軟件包。它起源于20世紀(jì)70年代的 “矩陣實(shí)驗(yàn)室”（Matrix Laboratory）。隨著軟件版本的不斷更新，目前已發(fā)展到7.0(Release 14.0)版本，其功能已涵蓋到了諸如一般數(shù)值運(yùn)算、數(shù)字信號(hào)處理、系統(tǒng)識(shí)別、自動(dòng)控制、優(yōu)化設(shè)計(jì)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、化學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等各個(gè)學(xué)科和工程應(yīng)用領(lǐng)域。MATLAB的功能主要是由各種工具箱 (Toolbox) 來(lái)實(shí)現(xiàn)的，其核心工具箱可分為兩類：即功能性工具箱和學(xué)科性工具箱。 3MA

2、TLAB 簡(jiǎn)介功能性工具箱可應(yīng)用于多學(xué)科，主要可用來(lái)擴(kuò)充其符號(hào)計(jì)算功能，如符號(hào)計(jì)算工具箱（Symbolic Math Toolbox）、圖形建模仿真功能、文字處理功能，甚至還發(fā)展到可以實(shí)現(xiàn)硬件實(shí)時(shí)交互功能，如Real time workshop工具箱。而學(xué)科性工具箱專業(yè)性較強(qiáng)，如控制系統(tǒng)工具箱（Control System Toolbox）、優(yōu)化工具箱（Optimization Toolbox）、信號(hào)處理工具箱（Signal Processing Toolbox）、系統(tǒng)識(shí)別工具箱（System Identification Toolbox）等，這些工具箱都是由該領(lǐng)域的專業(yè)人員編寫的，針對(duì)自己的

3、研究問(wèn)題，用戶可方便地選擇使用。4MATLAB 簡(jiǎn)介通過(guò)MATLAB提供的交互式編程語(yǔ)言M語(yǔ)言，用戶還可以編寫腳本或函數(shù)文件實(shí)現(xiàn)用戶自己的算法。與C和Basic等語(yǔ)言相比較，M語(yǔ)言的特點(diǎn)是簡(jiǎn)潔直觀、更符合人們思維習(xí)慣。 5MATLAB 簡(jiǎn)介The Impact of MATLAB on Engineering and Science 6MATLAB 簡(jiǎn)介nData Access nData AnalysisnVisualization nNumerical ComputationnAlgorithm DevelopmentnApplication DevelopmentnDeployment

4、and Sharing Results7SIMULINK 簡(jiǎn)介8SIMULINK 簡(jiǎn)介Inside Todays Technology Explosion:Embedded Control and Signal Processing9SIMULINK 簡(jiǎn)介Model elaborationDesignImplementationRequirements and SpecsTest and VerificationContinuous verificationExecutable models-unambiguous-only “one truth”Automatic code generati

5、on-minimizes coding errors Test with Design - detects errors earlierSimulation-reduces “real” prototypes-systematic “what-if” analysisDC10SIMULINK 簡(jiǎn)介Model-Based Design with Simulink11SIMULINK 簡(jiǎn)介Simulink是基于MATLAB的圖形設(shè)計(jì)環(huán)境，主要用來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)工程問(wèn)題的模型化和動(dòng)態(tài)仿真，它的建模范圍廣泛，可以針對(duì)任何能夠用數(shù)學(xué)來(lái)描述的系統(tǒng)進(jìn)行建模。憑借MATLAB在科學(xué)計(jì)算和作圖方面的優(yōu)勢(shì)，Simulin

6、k的應(yīng)用范圍覆蓋了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)、信號(hào)控制、通信設(shè)計(jì)、金融財(cái)會(huì)及生物醫(yī)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)和開發(fā)工具的不足。在Simulink中，只要有了正確的動(dòng)力學(xué)模型，即可在圖形界面中采用鼠標(biāo)拖放的方法建立起直觀的仿真模型進(jìn)行仿真分析。 12大家在對(duì)隨后將要進(jìn)行的關(guān)于車輛動(dòng)力學(xué)的建模與分析的三個(gè)應(yīng)用實(shí)例的學(xué)習(xí)過(guò)程中，將會(huì)逐漸掌握MATLAB/Simulink的用法和特點(diǎn)。13練習(xí)一 主動(dòng)懸架LQG最優(yōu)控制設(shè)計(jì) 14所需步驟1. 模型建立寫出垂向運(yùn)動(dòng)微分方程路面輸入模型2. 線性隨機(jī)最優(yōu)控制理論的應(yīng)用確立性能加權(quán)函數(shù) 采用 LQG 算法來(lái)得到最優(yōu)控制邏輯，即狀態(tài)反饋 K=?3. 進(jìn)行仿真Simulin

7、k 模型LSIM (Matlab 下)J151. 車輛懸架建模（被動(dòng)部分）對(duì)于如圖所示的一個(gè)1/4車輛模型，首先建立運(yùn)動(dòng)微分方程：()bbsbwm xKxx ()()w wsbwtgwm xK xxK xxxAxBuyCxDu狀態(tài)空間（State-Space）形式16Concept of Vibration ModesConsider a 1-DOF mass-spring-damping model:mkczFmzczkzFEquation of motion:Implement the Laplace transform:2() ( )( )mscsk Z sF s17Concept of

8、 Vibration Modes2( )1( )( )Z sHsF smscskSo,If consider H(s) in the standard form:222( )2nnnHsssTherefore,2nkcmm k(*)18Two Ride ModesBody Bounce Mode11 Hz 2()sussssusk kfm kkWheel Hop Mode110 Hz 2susususkkfm1010susussmmkkfor a typical passenger car:19路面輸入模型為：)(2)(2)(000twUGtxftxgg上式表明，路面位移可以表示為一隨機(jī)濾波白

9、噪聲信號(hào)。這種表示方式來(lái)源于試驗(yàn)所測(cè)得的路面不平度功率譜密度（PSD）曲線的形狀。其中， 為下截止頻率， ; 為路面不平度系數(shù)， ; 為前進(jìn)車速， ; 為均值為零的隨機(jī)輸入單位白噪聲。0f0G0UwHz3/mcycle/secm1. 車輛懸架建模（被動(dòng)部分）20我們?nèi)暨x取狀態(tài)變量為：TbwbwgXxxxxx則可將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程及路面激勵(lì)寫成狀態(tài)空間矩陣形式，即：XAXFW其中，A 為狀態(tài)矩陣，F(xiàn) 為輸入矩陣，其值如下：AKmKmKmKKmKmfsbsbswtswtw000001000001000000020FGU00002001. 車輛懸架建模（被動(dòng)部分）21為高斯白噪聲輸入矩陣。 ( )Ww

10、t若我們將車身加速度、輪胎動(dòng)變形、懸架動(dòng)行程作為性能指標(biāo)，即：. :. . :. . :bwgbwBA xDTD xxSWS xxConcerned Performance Items are:, (), ()TbwgbwYxxxxx1. 車輛懸架建模（被動(dòng)部分）22則我們可以將性能指標(biāo)項(xiàng)寫為狀態(tài)變量以及輸入信號(hào)的線性組合形式，即：YC X 為輸出矩陣：0 0/00 00110 0110sbsbkMkMCCAKmKmKmKKmKmfsbsbswtswtw000001000001000000020TbwbwgXxxxxx1. 車輛懸架建模（被動(dòng)部分）23根據(jù)前面所列出的描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的狀態(tài)矩陣

11、形式 ，XAXFWYCX可在SIMULINK環(huán)境下建立相應(yīng)的仿真模型。建模中，路面隨機(jī)白噪聲可以用“隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器（Random Number)”或者“有限帶寬白噪聲（Band-Limited White Noise)”來(lái)生成；狀態(tài)矩陣輸入到“State-Space” 模塊中去。Band-LimitedWhite Noise1RandomNumber建立好的模型如下圖所示：x = Ax+Bu y = Cx+DuState-Space1. 車輛懸架建模（被動(dòng)部分）24x = Ax+Bu y = Cx+DuState-SpaceSWS.DTD.Band-LimitedWhite NoiseAccel

12、.在噪聲產(chǎn)生模塊中，隨機(jī)信號(hào)的方差為單位值。1. 車輛懸架建模（被動(dòng)部分）251. 車輛懸架建模（主動(dòng)部分）()()()b bswbw wswbtwgMxk xxUMxk xxk xxU運(yùn)動(dòng)微分方程這時(shí)變?yōu)椋篨AXFWBU狀態(tài)方程此時(shí)變?yōu)椋篩C XD U輸出方程：262.線性隨機(jī)最優(yōu)控制理論的應(yīng)用1/4 car modelgxTbwgbwYxxxxxuKX KX控制流程:27我們采用以下這么一個(gè)加權(quán)函數(shù)來(lái)衡量所關(guān)心的性能指標(biāo):22212301lim()()TwgbwbTJqxxqxxq xd tT 為了據(jù)此求解狀態(tài)反饋增益, 必須用狀態(tài)變量以及輸入變量來(lái)表達(dá)上式:dtNUXRUUQXXTJTT

13、TTT0)2(1limQ: 對(duì)應(yīng)于狀態(tài)變量的權(quán)重矩陣.R: 約束輸入信號(hào)大小的權(quán)重矩陣.N: 耦合項(xiàng)2.線性隨機(jī)最優(yōu)控制理論的應(yīng)用(性能指標(biāo)的確定)輪胎動(dòng)變形輪胎動(dòng)變形懸架動(dòng)行程懸架動(dòng)行程車身加速度車身加速度283012000000qQqq2221230001lim()()1 =limTTwgbwbTYYbTbwgbwwgTbwJq xxqxxq xdtTxxxxxxQxxdtTxx 2.線性隨機(jī)最優(yōu)控制理論的應(yīng)用(性能指標(biāo)的確定)Q, R, N 如何決定?對(duì)于以 表達(dá)的性能函數(shù), 可以整理為:123,qqq29YCXDU000000()() =TTQNRTTTTTTTTY QYCXDUQ C

14、XDUX C QC XU D Q DUX C Q DUU D QCX 由于所以2.線性隨機(jī)最優(yōu)控制理論的應(yīng)用(性能指標(biāo)的確定)30控制器設(shè)計(jì)控制器設(shè)計(jì) i.e., K =?i.e., K =? K S E=lqr(A, B, Q, R, N)利用 Matlab 函數(shù) LQR 來(lái)計(jì)算狀態(tài)反饋, i.e.,在這里, K:最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣 S:Riccati 方程解E: 系統(tǒng)特征值因此, 我們得到了主動(dòng)控制力為 U=-KX, i.e.:)(54321gwbwbxkxkxkxkxkU31Theorem Continuous-Time Stationary LQR problem and Solutio

15、nConsider the time-invariant controllable system00( )( )( ) with inital condition ( )x tAx tBu tx txand quadratic cost index0( )( )( )( )TTtJxt Qx tut Ru t dtwhere 11TQQ Qis positive semi-definite, R is positive definite and 1(,)A Qis observable. Then the optimal LQR控制理論依據(jù)32control input is given by

16、 the stationary state feedback control law *1( )( )( )TssLQu tR B H x tKx t wheressHis the positive definite solution of the algebraicRiccati equation10TTssssssssA HH AH BR B HQThe optimal closed-loop system( )() ( )LQx tABKx tLQR控制理論依據(jù)33is asymptotically stable. The minimum value of the performance

17、 index is given by *00( )( )TssJxtH x t(End of the theorem)Note: 1. The controllability of the system dynamics makes sure the performance index is bounded. 2. The observability of the pair guarantees the solution of the Riccati equation is positive definite1( ,)A QLQR控制理論依據(jù)34Lsim 是對(duì)時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行仿真的函數(shù), 即對(duì)于一

18、個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng), 計(jì)算在輸入u(t)的作用下的各個(gè)時(shí)刻的輸出值Y(t)以及狀態(tài)變量值X(t). 函數(shù)命令格式: (Y,X)=lsim(A,B,C,D,u,t,X0)其中: u : 外界輸入; t : 仿真時(shí)間; X0: 初始狀態(tài)值; Y: 輸出值;X : 狀態(tài)變量3.仿真方法 (Lsim)35對(duì)于我們的1/4車輛主動(dòng)懸架模型,該命令參數(shù)為:Y, St=lsim (Ac, F, C-DK, Dc, w ,T)St: state vector; Y: output value;對(duì)于輸出多維向量Y(t),我們所關(guān)系的性能指標(biāo)為:BA=Y(:,1);DTD=Y(:,2);SWS=Y(:,3);Ac:

19、 A-BK, Cc:C-DK, Dc:0(? x ?) 3.仿真方法 (Lsim)36仿真結(jié)果（時(shí)域）0246810-10-8-6-4-202468Time(sec)Mag.(m/s2)Vertical accelerationPassiveactive37仿真結(jié)果（時(shí)域）0246810-0.06-0.04-0.0200.020.040.06Time(sec)Mag.(m)Dynamic tire deflectionPassiveactive38仿真結(jié)果（時(shí)域）0246810-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1Time(sec)Mag.(m)Sus

20、pension working spacePassiveactive393.仿真方法 (Simulink)wTo Workspace1tTo Workspacex = Ax+Bu y = Cx+DuState-SpaceSWSManual SwitchK*uGain2K*uGain1C* uGainDTDClockBand-LimitedWhite NoiseBA40頻域分析結(jié)果Bode DiagramFrequency (Hz)Magnitude (dB)-150-100-500From: Passive/Random Number (1)To: Passive/Demux2 (3)-100

21、-50050To: Passive/Demux2 (1)10-1100101102-100-80-60-40To: Passive/Demux2 (2)Passive SystemActive SystemDTD.Accel.SWS.41作業(yè)要求4ts013ISO32040K2 10K10K1000G5e-6u20f0.1q100q1000q0.05 bwss002單位：標(biāo)準(zhǔn)簧上質(zhì)量：M簧下質(zhì)量：M懸架彈簧剛度：輪胎等效剛度：懸架等效阻尼：C路面不平度系數(shù)：前進(jìn)速度：下截止頻率： 所選加權(quán)系數(shù)：，所用參數(shù)：作業(yè)內(nèi)容：1. 根據(jù)所給參數(shù)，以及課上所提到的方法， 建立一個(gè)主動(dòng)懸架LQG控制模型，并

22、給出時(shí)域、頻域分析結(jié)果（時(shí)域仿真時(shí)間：10sec；頻域范圍：0.1100Hz）。2. 在LQG控制設(shè)計(jì)中，固定 q1, q2, 將q3 的取值范圍變?yōu)?.01, 0.1，畫出此時(shí)的bode圖，并比較控制效果（分別對(duì)于車身加速度、輪胎動(dòng)變形、懸架動(dòng)行程）。3. （可選）對(duì)于2中所得的頻域結(jié)果，仔細(xì)觀察在各種不同的控制效果中，是否在某一頻率點(diǎn)上都與被動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)相交（稱這一點(diǎn)為“不動(dòng)點(diǎn)”）？“不動(dòng)點(diǎn)” 是否對(duì)于三個(gè)性能指標(biāo)都存在？試解釋這個(gè)現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。42作業(yè)要求4. 對(duì)于車身垂向加速度、輪胎動(dòng)變形、懸架動(dòng)行程三個(gè)性能指標(biāo)，利用Quarter Car 模型，研究如何通過(guò)改變懸架參數(shù)，對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)?？梢赃x擇的參數(shù)有：車身（簧上）質(zhì)量Ms、車輪（簧下）質(zhì)量Mus、懸架剛度Ks、懸架（減震器）阻尼Cs，并合理解釋。 提示：利用MatLab，考慮頻域響應(yīng)的增益（幅值）大小、頻率范圍43Example for #4, Hw1Tyre def. resp. as Cs increasesBody acc. resp