高中數(shù)學2.2.2拋物線的簡單性質(zhì)二教案北師大選修1-1

1、第二章圓錐曲線與方程222拋物線的簡單性質(zhì)教學過程：一、復習引入:1. 拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.定點F叫做拋物圖形ky-F一一yaFI/xy1c廠/10>xif方程2y2px(p0)2小/y2px(p0)2x2py(p0)2x2py(p0)焦占八、(P,0)2(上,0)2（0衛(wèi)）2(0,上)2準線x2x衛(wèi)2y衛(wèi)2y衛(wèi)2線的焦點，定直線I叫做拋物線的準線2拋物線的標準方程：相同點：拋物線都過原點；（2）對稱軸為坐標軸；（3）準線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關(guān)于原點對稱它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的丄，即2P衛(wèi).442不同

2、點：（1）圖形關(guān)于x軸對稱時，x為一次項，y為二次項，方程右端為2px、左端為y2;圖形關(guān)于Y軸對稱時，x為二次項，y為一次項，方程右端為2py，左端為（2）開口方向在y軸（或y軸）正向時，焦點在y軸（或y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在y軸（或y軸）負向時，焦點在y軸（或y軸）負半軸時，方程右端取負號二、講解新課：拋物線的幾何性質(zhì)1. 范圍2因為p>0,由方程y2pxp0可知，這條拋物線上的點M的坐標（x,y）滿足不等式x>0所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.2. 對稱性以y代y,方程y22pxp0不變，所以這條

3、拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.3. 頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點.在方程y22pxp0中，當y=0時，x=0,因此拋物線y22pxp0的頂點就是坐標原點.4. 離心率拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知，e=1.對于其它幾種形式的方程，列表如下:標準方程圖形頂點對稱軸焦占八'、八、準線離心率y22pxp00,0x軸x衛(wèi)2e1y22pxp00,0x軸x衛(wèi)2e12小x2pyp010,0y軸0,衛(wèi)2yie1x22pyp00,0y軸0'iy1e1注意強調(diào)p的幾何意義：是焦點到準線的距離拋物線

4、不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線通過圖形的分析找出雙曲線與拋物線上的點的性質(zhì)差異，當拋物線上的點趨向于無窮遠時，拋物線在這一點的切線斜率接近于對稱軸所在直線的斜率，也就是說接近于和對稱軸所在直線平行，而雙曲線上的點趨向于無窮遠時，它的切線斜率接近于其漸近線的斜率附：拋物線不存在漸近線的證明.(反證法)假設(shè)拋物線y2=2px存在漸近線y=mx+n,A(x,上-一占I*八'、：yA0y)為拋物線H-*A-Or則有y2px和yi=mx+n.yiymxn2pAo(x,yi)為漸近線上與A橫坐標相同的點如圖,當m0時，若xt+8，貝Uyiy當m=0時，ynv;2px|，當xt+s，貝Uyiy

5、這與y=mx+n是拋物線y2=2px的漸近線矛盾，所以拋物線不存在漸近線三、講解范例：例1已知拋物線關(guān)于x軸為對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M(2,22)，求它的標準方程，并用描點法畫出圖形.分析：首先由已知點坐標代入方程，求參數(shù)p.解：由題意，可設(shè)拋物線方程為y22px，因為它過點M(2,2.2),所以(2.、2)22p2，即p2因此，所求的拋物線方程為y24x.將已知方程變形為y2、.x，根據(jù)y2、x計算拋物線在x0的范圍內(nèi)幾個點的坐標，得x0i234y024描點畫出拋物線的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一部分點評：在本題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點，可以發(fā)現(xiàn)這

6、條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線，也就是說，拋物線沒有漸近線.例2探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈的圓的直徑60cm，燈深為40cm，求拋物線的標準方程和焦點位置.分析：這是拋物線的實際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標準方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋物線上一點坐標，從而求出p值.解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標系，使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合，x軸垂直于燈口直徑.設(shè)拋物線的標準方程是y22px（p>0）.由已知條件可得點A的坐標是（40,30），代入方程，得3022p40,45所求的拋物

7、線標準方程為y2蘭x.2例3過拋物線y22px的焦點f任作一條直線m，交這拋物線于A、+yCBxjrHL，EOFx匸AB兩點，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準線相切.分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷.證明：如圖.設(shè)AB的中點為E,過A、E、B分別向準線1引垂線AD,EH,BC,垂足為D、H、C,則IAF|=|AD|,|BF|=|BC|所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH丄I，因而圓E和準線I相切.|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH|四、課堂練習：21.過拋物線y4x的焦點作直線交拋物線于A治，力,BX2,y2兩點，如果x1x26，那么|AB|=

8、(B)(A)10(B)8(C)6(D)42已知M為拋物線y4x上一動點,F為拋物線的焦點,定點P3,1,則|MP|MF|的最小值為（B）(A)3(B)4(C)5(D)63.過拋物線yax2a0的焦點F作直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF、QF的11長分別是p、q，則丄一=（c）pq14（A）2a（B）（C）4a（D）-2aa4過拋物線y24x焦點F的直線I它交于A、B兩點，則弦AB的中點的軌跡方程是2（答案：y2x1）5定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線y2x上移動，求AB中點M到y(tǒng)軸距離的最小值，并求出此時AB中點M的坐標*5i125(答案：m,M到y(tǒng)軸距離的最小值為一)424五、小結(jié)：拋物線的離心率、焦點、頂點、對稱軸、準線、中心等,六、課后作業(yè)：1根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫出草圖.(1) 頂點在原點，對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于&(2) 頂點在原點，焦點在y軸上，且過P(4,2)點.(3) 頂點在原點，焦點在y軸上，其上點P(m,3)到焦點距離為5.2. 過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，若A、B在準線上的射影是A2,B2，則/A2FB等于3. 拋物線頂點在原點，以坐標軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16,求拋物線方程.24. 以橢圓-y21的右焦點，F(xiàn)為焦點，以坐標原點為頂點作拋物線，求拋物線截橢圓在5準線所得的弦長.