高中數(shù)學(xué)2.2.2拋物線的簡單性質(zhì)二教案北師大選修1-1

1、第二章圓錐曲線與方程222拋物線的簡單性質(zhì)教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入:1. 拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.定點(diǎn)F叫做拋物圖形ky-F一一yaFI/xy1c廠/10>xif方程2y2px(p0)2小/y2px(p0)2x2py(p0)2x2py(p0)焦占八、(P,0)2(上,0)2（0衛(wèi)）2(0,上)2準(zhǔn)線x2x衛(wèi)2y衛(wèi)2y衛(wèi)2線的焦點(diǎn)，定直線I叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：相同點(diǎn)：拋物線都過原點(diǎn)；（2）對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；（3）準(zhǔn)線都與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的丄，即2P衛(wèi).442不同

2、點(diǎn)：（1）圖形關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，x為一次項(xiàng)，y為二次項(xiàng)，方程右端為2px、左端為y2;圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱時(shí)，x為二次項(xiàng)，y為一次項(xiàng)，方程右端為2py，左端為（2）開口方向在y軸（或y軸）正向時(shí)，焦點(diǎn)在y軸（或y軸）的正半軸上，方程右端取正號(hào)；開口在y軸（或y軸）負(fù)向時(shí)，焦點(diǎn)在y軸（或y軸）負(fù)半軸時(shí)，方程右端取負(fù)號(hào)二、講解新課：拋物線的幾何性質(zhì)1. 范圍2因?yàn)閜>0,由方程y2pxp0可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)（x,y）滿足不等式x>0所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.2. 對(duì)稱性以y代y,方程y22pxp0不變，所以這條

3、拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸.3. 頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).在方程y22pxp0中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0,因此拋物線y22pxp0的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn).4. 離心率拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知，e=1.對(duì)于其它幾種形式的方程，列表如下:標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn)對(duì)稱軸焦占八'、八、準(zhǔn)線離心率y22pxp00,0x軸x衛(wèi)2e1y22pxp00,0x軸x衛(wèi)2e12小x2pyp010,0y軸0,衛(wèi)2yie1x22pyp00,0y軸0'iy1e1注意強(qiáng)調(diào)p的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離拋物線

4、不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線通過圖形的分析找出雙曲線與拋物線上的點(diǎn)的性質(zhì)差異，當(dāng)拋物線上的點(diǎn)趨向于無窮遠(yuǎn)時(shí)，拋物線在這一點(diǎn)的切線斜率接近于對(duì)稱軸所在直線的斜率，也就是說接近于和對(duì)稱軸所在直線平行，而雙曲線上的點(diǎn)趨向于無窮遠(yuǎn)時(shí)，它的切線斜率接近于其漸近線的斜率附：拋物線不存在漸近線的證明.(反證法)假設(shè)拋物線y2=2px存在漸近線y=mx+n,A(x,上-一占I*八'、：yA0y)為拋物線H-*A-Or則有y2px和yi=mx+n.yiymxn2pAo(x,yi)為漸近線上與A橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)如圖,當(dāng)m0時(shí)，若xt+8，貝Uyiy當(dāng)m=0時(shí)，ynv;2px|，當(dāng)xt+s，貝Uyiy

5、這與y=mx+n是拋物線y2=2px的漸近線矛盾，所以拋物線不存在漸近線三、講解范例：例1已知拋物線關(guān)于x軸為對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2,22)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形.分析：首先由已知點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，求參數(shù)p.解：由題意，可設(shè)拋物線方程為y22px，因?yàn)樗^點(diǎn)M(2,2.2),所以(2.、2)22p2，即p2因此，所求的拋物線方程為y24x.將已知方程變形為y2、.x，根據(jù)y2、x計(jì)算拋物線在x0的范圍內(nèi)幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得x0i234y024描點(diǎn)畫出拋物線的一部分，再利用對(duì)稱性，就可以畫出拋物線的另一部分點(diǎn)評(píng)：在本題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)這

6、條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線，也就是說，拋物線沒有漸近線.例2探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈的圓的直徑60cm，燈深為40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置.分析：這是拋物線的實(shí)際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋物線上一點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出p值.解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合，x軸垂直于燈口直徑.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y22px（p>0）.由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是（40,30），代入方程，得3022p40,45所求的拋物

7、線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2蘭x.2例3過拋物線y22px的焦點(diǎn)f任作一條直線m，交這拋物線于A、+yCBxjrHL，EOFx匸AB兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切.分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來證比較簡捷.證明：如圖.設(shè)AB的中點(diǎn)為E,過A、E、B分別向準(zhǔn)線1引垂線AD,EH,BC,垂足為D、H、C,則IAF|=|AD|,|BF|=|BC|所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH丄I，因而圓E和準(zhǔn)線I相切.|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH|四、課堂練習(xí)：21.過拋物線y4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A治，力,BX2,y2兩點(diǎn)，如果x1x26，那么|AB|=

8、(B)(A)10(B)8(C)6(D)42已知M為拋物線y4x上一動(dòng)點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),定點(diǎn)P3,1,則|MP|MF|的最小值為（B）(A)3(B)4(C)5(D)63.過拋物線yax2a0的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF、QF的11長分別是p、q，則丄一=（c）pq14（A）2a（B）（C）4a（D）-2aa4過拋物線y24x焦點(diǎn)F的直線I它交于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程是2（答案：y2x1）5定長為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y2x上移動(dòng)，求AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值，并求出此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)*5i125(答案：m,M到y(tǒng)軸距離的最小值為一)424五、小結(jié)：拋物線的離心率、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、準(zhǔn)線、中心等,六、課后作業(yè)：1根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫出草圖.(1) 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于&(2) 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且過P(4,2)點(diǎn).(3) 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上點(diǎn)P(m,3)到焦點(diǎn)距離為5.2. 過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在準(zhǔn)線上的射影是A2,B2，則/A2FB等于3. 拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，過焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長為16,求拋物線方程.24. 以橢圓-y21的右焦點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線，求拋物線截橢圓在5準(zhǔn)線所得的弦長.