高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案附答案

1、高考數(shù)學(xué)(理科)一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案附答案學(xué)案6函數(shù)的奇偶性與周期性導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解函數(shù)奇偶性、周期性的含義.2.會(huì)判斷奇偶性，會(huì)求函數(shù)的周期.3.會(huì)做有關(guān)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性的綜合問(wèn)題自主梳理1 函數(shù)奇偶性的定義如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有，則稱f(x)為偶函數(shù)2 奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1) f(x)為奇函數(shù)⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=;f(x)為偶函數(shù)⇔f(x)=f(-x)=f(|x|)⇔f(x)-f(-x)=.(2) f(x

2、)是偶函數(shù)⇔f(x)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；f(x)是奇函數(shù)⇔f(x)的圖象關(guān)于_對(duì)稱(3) 奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有的單調(diào)性3 函數(shù)的周期性(1) 定義：如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)=，則稱f(x)為函數(shù)，其中T稱作f(x)的周期.若T存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的(2) 性質(zhì)：f(x+T)=f(x)常常寫作f(x+T2)=f(xT2) 如果T是函數(shù)y=f(x)的周期，貝kT(kZ且kz0)也是y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x). 若對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一個(gè)自變量

3、的值x都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1fx或f(x+a)=-1fx(a是常數(shù)且az0),則f(x)是以為一個(gè)周期的周期函數(shù)自我檢測(cè)1 .已知函數(shù)f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)為偶函數(shù)，則m的值是()A1B2C3D42 (2011茂名月考)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最大值為5，那么f(x)在區(qū)間-7，-3上是()A增函數(shù)且最小值是-5B增函數(shù)且最大值是5C減函數(shù)且最大值是5D減函數(shù)且最小值是53 .函數(shù)y=x1x的圖象()A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.關(guān)于直線y=-x對(duì)稱C.關(guān)于y軸對(duì)

4、稱D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱4 .(2009江西改編)已知函數(shù)f(x)是(一3,+)上的偶函數(shù)，若對(duì)于x0,都有f(x+2)=f(x)，且當(dāng)x0,2)時(shí)，f(x)=Iog2(x+1)，貝Uf(2012)+f(2011)的值為()A.2B.1C.1D.25 .(2011開(kāi)封模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x+1x+ax為奇函數(shù),貝a=探究點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判定例1判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1) f(x)=(x+1)1x1+x；(2)f(x)=x(12x1+12)；(3) f(x)=Iog2(x+x2+1)；(4)f(x)=x2+x,x0,x2+x,x

5、0變式遷移1判斷下列函數(shù)的奇偶性.f(x)=x2-x3;f(x)=x2-1+1-x2;(3)f(x)=4-x2|x+引一3.探究點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用例2函數(shù)y=f(x)(x工0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x(0,+)時(shí)是增函數(shù)，若f(1)=0,求不等式fx(x-12)0的解集變式遷移2(2011承德模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+x，對(duì)任意的2,2,f(mx2)+f(x)0恒成立，則x的取值范圍為探究點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3(2009山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m0),在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根x1,x2,

6、x3,x4，貝x1+x2+x3+x4=.變式遷移3定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)=f(2-x)若f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，則f(x)()A在區(qū)間-2，-1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)B在區(qū)間-2，-1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)C在區(qū)間2，1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)D在區(qū)間2，1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈=x|x半0，且滿足對(duì)于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1) 求f(1)的值；(2) 判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3) 如果f(4)=1,f(3x+

7、1)+f(2x-6)3,且f(x)在(0,+)上是增函數(shù)，求x的取值范圍.【答題模板】解(1)T對(duì)于任意x1,x2D有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),.令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),f(1)=0.2分(2) 令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),.f(-1)=12f(1)=0.4分令x1=-1,x2=x有f(x)=f(1)+f(x),f(-x)=f(x),f(x)為偶函數(shù).6分(3) 依題設(shè)有f(4X4)=f(4)+f(4)=2,f(16X4)=f(16)+f(4)=3,7分f(3x+1)+f(2x-6)3,即f(3x+1)(2x-6)f(64)8分f(x

8、)為偶函數(shù)，f(|(3x+1)(2x-6|)f(64).10分又f(x)在(0,+)上是增函數(shù)，f(x)的定義域?yàn)镈.0|(3x+1)(2x-6)|64.11分解上式，得3x5或73x-13或13x3.x的取值范圍為x|-73x-13或一13x3或3x5.12分【突破思維障礙】在(3)中,通過(guò)變換已知條件,能變形出f(g(x)f(a)的形式，但思維障礙在于f(x)在(0，+a)上是增函數(shù)，g(x)是否大于0不可而知，這樣就無(wú)法脫掉“f”，若能結(jié)合(2)中f(x)是偶函數(shù)的結(jié)論，則有f(g(x)=f(|g(x)|)，又若能注意到f(x)的定義域?yàn)閤|x工0，這才能有|g(x)|0，從而得出0|g

9、(x)|a,解之得x的范圍【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在中，由f(|(3x+1)(2x-6)|)f(64)脫掉“f”的過(guò)程中,如果思維不縝密,不能及時(shí)回顧已知條件中函數(shù)的定義域中x|x工0，易出現(xiàn)0W|(3x+1)(2x-6)|64,導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.1正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個(gè)問(wèn)題：定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.2 奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時(shí)需要先將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，或應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(-x)=f(x)⇔f(-x)f(x)=0&

10、#8660;f-xfx=1(f(x)工0).3 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反之也真利用這一性質(zhì)可簡(jiǎn)化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它判斷函數(shù)的奇偶性4 關(guān)于函數(shù)周期性常用的結(jié)論：對(duì)于函數(shù)f(x)，若有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1fx或f(x+a)=-1fx(a為常數(shù)且0),則f(x)的一個(gè)周期為2a(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1 .(2011吉林模擬)已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數(shù)

11、，那么a+b的值為()A-13B2D-122 (2010銀川一中高三年級(jí)第四次月考)已知定義域?yàn)閤|x工0的函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(一a,0)上是增函數(shù)，若f(-3)=0,貝Ufxx0的解集為()A.(-3,0)U(0,3)B.(-a,-3)U(0,3)C(-a,-3)U(3,a)D(-3,0)U(3,a)3 .(2011鞍山月考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并滿足f(x+2)=-1fx，當(dāng)1x0時(shí)，f(x)=2x+2x+b(b為常數(shù)),貝f(-1)等于()A3B1C-1D-35 .設(shè)函數(shù)f(x)滿足：y=f

12、(x+1)是偶函數(shù)；在1,+a)上為增函數(shù)，貝Uf(-1)與f(2)大小關(guān)系是()Af(-1)f(2)Bf(-1)f(2)C.f(-1)=f(2)D.無(wú)法確定題號(hào)12答案二、填空題(每小題4分,共12分)6 (2010遼寧部分重點(diǎn)中學(xué)5月聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=x1,x0,a,x=0,x+b,x0是奇函數(shù)，則a+b=7 .(2011咸陽(yáng)月考)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)滿足f(x+3)=f(x)，且f(1)1,f(2)=2m3m+1,貝m的取值范圍是.8 .已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)=f(x1)，若f(2)=2,貝yf(2010)的值為三

13、、解答題(共38分)9 (12分)(2011汕頭模擬)已知f(x)是定義在6,6上的奇函數(shù),且f(x)在0,3上是x的一次式,在3,6上是x的二次式，且當(dāng)3x6時(shí)，f(x)f(5)=3,f(6)=2,求f(x)的表達(dá)式.10.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x22|x|1(3x3)(1) 證明f(x)是偶函數(shù)；(2) 畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；(3) 指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并說(shuō)明在各個(gè)單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；(4) 求函數(shù)的值域(14分)(2011舟山調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=x2+ax(x工0，常數(shù)aR).(1) 討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(2) 若函數(shù)f(x)在2,+)上

14、為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍答案自主梳理1f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)2(1)00(2)y原點(diǎn)(3)相反3(1)f(x)周期最小正周期(2)2a自我檢測(cè)1 B因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以奇次項(xiàng)系數(shù)為0，即mn2=0,m2.2 A奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)稱區(qū)間上有相同的單調(diào)性3 A由f(x)=f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱4 Cf(2012)+f(2011)=f(2012)+f(2011)=f(0)+f(1)=log21+log2(1+1)=1.5 1解析Tf(-1)=0,.f(1)=2(a+1)=0,a=-1.代入檢驗(yàn)f(x)=是奇函數(shù)，故a=堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引判

15、斷函數(shù)奇偶性的方法(1) 定義法：用函數(shù)奇偶性的定義判斷(先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)(2) 圖象法：f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)為奇函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)為偶函數(shù)(3) 基本函數(shù)法：把f(x)變形為g(x)與h(x)的和、差、積、商的形式，通過(guò)g(x)與h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性解定義域要求0且XZ1,1x0|x+引工3得，f(x)定義域?yàn)?,0)U(0,2定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又f(x)=4x2x,f(x)=4x2x f(x)=f(x) f(x)為奇函數(shù)例2解題導(dǎo)引本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化“抽象

16、的不等式”為“具體的代數(shù)不等式”在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上,奇函數(shù)的單調(diào)性相同,偶函數(shù)的單調(diào)性相反解Iy=f(x)為奇函數(shù)，且在(0,+)上為增函數(shù)，y=f(x)在(乂,0)上單調(diào)遞增，且由f(1)=0得f(1)=0.若fx(x12)0=f(1),則xx120xx121即0x(x12)1，解得12x1+174或1174x0.若fx(x12)0=f(1)，貝Uxx120xx121由x(x12)1,解得x∅.原不等式的解集是x|12x1+174或1174x0變

17、式遷移2(2，23)解析易知f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)，故f(mx2)+f(x)0，等價(jià)于f(mx2)f(x)=f(x)，此時(shí)應(yīng)用mx2x，即mx+x20對(duì)所有2,2恒成立，令h(m)=mx+x2,此時(shí)，只需h20h20即可,解得x(2,23)例3解題導(dǎo)引解決此類抽象函數(shù)問(wèn)題,根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性等性質(zhì)，畫出函數(shù)的一部分簡(jiǎn)圖，使抽象問(wèn)題變得直觀、形象，有利于問(wèn)題的解決8解析因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足f(x4)=-f(x)，所以f(4x)=f(x).因此，函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱且f(0)=0,

18、由f(x4)=f(x)知f(x8)=f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)又因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,0上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x)=m(m0)在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根x1,x2,x3,x4，不妨設(shè)x1x2x3x4.由對(duì)稱性知x1+x2=12,x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=12+4=8.變式遷移3BIf(x)=f(2x),f(x+1)=f(1x)x=1為函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸.又f(x+2)=f2(x+2)=f(x)=f(x),2是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.根據(jù)已知條件畫出函數(shù)簡(jiǎn)圖的一部分，如右圖：由圖象可以看出，在區(qū)間2，1上是

19、增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)課后練習(xí)區(qū)1 .B依題意得a1=-2ab=0,.a=13b=0,a+b=13.2 D由已知條件，可得函數(shù)f(x)的圖象大致為右圖，故fxx0的解集為(一3,0)U(3,+).3 .D由f(x+2)=1fx,得f(x+4)=1fx+2=f(x),那么f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5).因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，則f(2.5)=f(2.5)=f(1.5).而1x2時(shí),f(x)=x2,.f(1.5)=0.5.由上知：f(6.5)=0.5.4 .D因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在

20、x=0有定義，所以f(0)=20+2X0+b=b+1=0,b=1.f(x)=2x+2x1,f(1)=3,從而f(1)=f(1)=3.5 .A由y=f(x+1)是偶函數(shù)，得到y(tǒng)=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，f(1)=f(3).又f(x)在1,+TO)上為單調(diào)增函數(shù)，.f(3)f(2),即f(1)f(2)6 1解析Tf(x)是奇函數(shù)，且xR.f(0)=0,即a=0.又f(1)=f(1)，b1=(11)=0，即卩b=1,因此a+b=.1m23解析f(x+3)=f(x),f(2)=f(1+3)=f(1)f(x)為奇函數(shù)，且f(1)1,f(1)=f(1)1,.2m3m+11.解得：1m22解析由g(x)=f(x1)，得g(x)=f(x1)，又g(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)=g(x),.f(x1)=f(x1)，即f(x1)=f(x1)，用x+1替換x，得f(x)=f(x2).又f(x)是R上的偶函數(shù)，.f(x)=f(x+2).f(x)=f(x+4)，即f(x)的周期為4.f(2010)=f(4X502+2)=f(2)=2.9.解由題意，當(dāng)3x6時(shí)，設(shè)f(x)=a(x5)2+3，f(6)=2,.2=a(65)2+3.二a=1.f(x)=(x5)2+3(3x6)(3分).f(3)=(35)2+3=1.又f(x)為奇函數(shù)，f(0)=0.一次函數(shù)圖象過(guò)(0,0),(3,-1)兩點(diǎn).二