平面向量坐標(biāo)表示(使用)

1、7.37.3平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示v在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的每一點(diǎn)都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)表示，這對(duì)實(shí)數(shù)就是點(diǎn)在平面內(nèi)的坐標(biāo)；反之，每一對(duì)有序?qū)崝?shù)都能確定一個(gè)點(diǎn)。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量是否也能用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)表示呢？思考v導(dǎo)彈在升空的某一時(shí)刻，速度可以分解成豎直向上和水平向前的兩個(gè)分速度。如果分別在水平方向和豎直方向取兩個(gè)單位向量 e1、e2，導(dǎo)彈的飛行速度用向量 表示，若以點(diǎn)O為起點(diǎn)，作向量 ，過(guò)點(diǎn)P(x,y)分別向水平方向、豎直方向作垂線，垂足分別為M和N。（1）分別用單位向量e1、e2表示向量 ，（2）用向量 ， 表示向量 ；（3）用單位向量e1、e2表示向量

2、 。a探究aOP OMONOMONOPOPv在平面上，建立一個(gè)直角坐標(biāo)系xOy，若設(shè)x軸正方向上的單位向量為 ， y軸正方向上的單位向量為 ，則x軸上的向量總可以表示成 的形式，y軸上的向量總可以表示成 的形式，其中x，y分別是它們的終點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)。 iji xjy在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)不在坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn)O的向量又如何處理呢的向量又如何處理呢?探索探索:oyx可通過(guò)向量的平移，可通過(guò)向量的平移，將向量的起點(diǎn)移到坐將向量的起點(diǎn)移到坐標(biāo)的原點(diǎn)標(biāo)的原點(diǎn)O處處. oyx解決方案解決方案: :我們將這樣的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的向量稱(chēng)我們將這樣的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的向量稱(chēng)為為

3、位置向量位置向量，平面上任意向量都有與它相，平面上任意向量都有與它相等的位置向量，所以研究向量的性質(zhì)可以等的位置向量，所以研究向量的性質(zhì)可以通過(guò)研究其相應(yīng)的位置向量來(lái)實(shí)現(xiàn)。通過(guò)研究其相應(yīng)的位置向量來(lái)實(shí)現(xiàn)。v對(duì)于直角坐標(biāo)系平面內(nèi)任意向量 ，將它的起點(diǎn)移至原點(diǎn)O，其的終點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y)。以O(shè)P為對(duì)角線，作矩形OMPN，則 ， 分別表示成 與 。由向量加法的平行四邊形法則可知， 即： 事實(shí)上， 平面直角坐標(biāo)系中任一向量都可以唯一地表示成 的形式。 aOMONi xjyONOM OPjyi x OPjyi x av我們把 叫做向量 的坐標(biāo)形式，把 叫做向量 在x軸上的分向量，把 叫做向量 在y軸上

4、的分向量。把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量 在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作 ，其中x叫做向量 的橫坐標(biāo)， y叫做向量 的縱坐標(biāo)， 叫做向量 的坐標(biāo)表示。aajyi x ai xjya),(ayxaa),(ayxaa4321-1-2-3-2246ij），（ 23POOP=3 +2ij注意觀察，發(fā)現(xiàn)一個(gè)位置注意觀察，發(fā)現(xiàn)一個(gè)位置向量向量,只要它的終點(diǎn)確定了只要它的終點(diǎn)確定了,那這個(gè)位置向量也就確定那這個(gè)位置向量也就確定了了.位置向量的關(guān)鍵點(diǎn)位置向量的關(guān)鍵點(diǎn)4321-1-2-3-2246ijP向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示O 點(diǎn)點(diǎn)P（x,y） 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng) OP=x +y =(x,y)ij向量向量OP (

5、x,y)xy一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng) 點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示一個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)平面的位置，向點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示一個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)平面的位置，向量的坐標(biāo)能否也表示向量在坐標(biāo)平面的位置呢？量的坐標(biāo)能否也表示向量在坐標(biāo)平面的位置呢？( , )ax y理解：向量的坐標(biāo)意義是向量正交分解時(shí)對(duì)應(yīng)的有序理解：向量的坐標(biāo)意義是向量正交分解時(shí)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)，表面是坐標(biāo)形式，它只是一種記法，實(shí)際上實(shí)數(shù)對(duì)，表面是坐標(biāo)形式，它只是一種記法，實(shí)際上是分解出來(lái)的基底的系數(shù)。是分解出來(lái)的基底的系數(shù)。 向量的坐標(biāo)不表示向量的位置，同一向量可以任向量的坐標(biāo)不表示向量的位置，同一向量可以任意平移，而它的坐標(biāo)只有一個(gè)。意平移，而它的坐標(biāo)只有一個(gè)。2121y

6、yxxba且、向量的坐標(biāo)表示是一種向量與坐標(biāo)的對(duì)向量的坐標(biāo)表示是一種向量與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意義應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意義. .將向量的將向量的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則平移后向量的終點(diǎn)起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則平移后向量的終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo). .v例題：寫(xiě)出下列向量的坐標(biāo)表示：（1）（2）（3） )3, 5(35aji)0 , 5(5bi), 0(cjv怎樣通過(guò)坐標(biāo)確定兩個(gè)向量相等呢？思考交流思考交流:2121yyxxba且平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算平面向量可以用坐標(biāo)表示，向量平面向量可以用坐標(biāo)表示，向量的運(yùn)算可以用坐標(biāo)來(lái)運(yùn)算嗎？的運(yùn)算可以用坐標(biāo)來(lái)運(yùn)算嗎？探究：

7、探究： （1）已知）已知a =(x1 , y1), b= (m , n) ， 求求a + b , a b .（2）已知）已知a =(x1 , y1)和實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù) ， 求求 a的坐標(biāo)的坐標(biāo) .如何計(jì)算？如何計(jì)算？ v設(shè) ， ，則 那么),(11yxa 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算借助向量的坐標(biāo)表示，可以把向量的加法、借助向量的坐標(biāo)表示，可以把向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的代數(shù)運(yùn)算減法和數(shù)乘運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的代數(shù)運(yùn)算。),(22yxb ),(2121yyxxba),(2121yyxxba兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩向量相

8、應(yīng)坐標(biāo)的和與差例：已知例：已知 求求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：解：OAOBAB ),(),(1122yxyx),(1212yyxx 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo) v設(shè) ， 為一實(shí)數(shù)，則 那么),(yxc 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算jyixjyi xc)()()(),(yxc 實(shí)數(shù)與向量乘積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘以原來(lái)向?qū)崝?shù)與向量乘積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘以原來(lái)向量的相應(yīng)的坐標(biāo)量的相應(yīng)的坐標(biāo)v例題：已知 ， ，求 ， ， 。解：)4

9、, 3(a)3, 5( bbababa32 ) 1 , 8()3, 5()4 , 3(ba)7 , 2()3, 5()4 , 3(ba) 3, 5( 3)4 , 3(232 ba)17, 9()9,15()8 , 6(v設(shè)兩個(gè)非零向量 ， ，當(dāng) 時(shí)，x1,y1,x2,y2之間滿(mǎn)足什么關(guān)系？反之，當(dāng)這個(gè)關(guān)系成立時(shí)，能否得出 ？),(11yxa 思考交流：思考交流：),(22yxb ba/ba/2121xxyy1221xyxyv向量 ， ，當(dāng)x是何值時(shí)，（1） ；（2） 與 方向相同？解：（1） （2）當(dāng)x=2時(shí)， 與 方向相同。 ) 1 ,(xa ), 4(xb ba/ab; 2014/xxxbaab2211()x iy jx iy j2121()()xx iyyj),(11yxM),(22yxNMNMNOMONMN),(1212yyxxMN),(22yxN212212)()(yyxxNM問(wèn)題解決：?jiǎn)栴}解決：),(