七年級圖形面積驗證乘法公式

1、七年級第一學期期中練習之圖形面積用圖形面積驗證乘法公式(恒等式)(一)用圖形面積的兩種表示驗證公式1、利用圖形中面積的等量關系可以得到某些數學公式.例如，根據圖甲，我們可以得到兩數和的平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2 .你根據圖乙能得到的數學公式是 分析：由圖乙可知，大正方形的面積為a2,左上角正方形的面積為(a b)2 ,則其面積 還可表示為大正方形的面積減去兩個長方形的面積再加上一個小正方形的面積(右下角) 即 a2 2ab b2.解：（a b）2 a2 2ab b2.2、在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形(a> b),再沿虛線剪開，如圖(1)，然后拼成一個梯

2、形 如圖(2)，根據這兩個圖形的面積關系，表明下列式子成 立的是(A)(A)a 2 -b 2 =(a+b)(a-b).(B)(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2.(C)(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2. (D)a 2 -b 2 =(a-b) 2.3、如下圖a,邊長為a的大正方形中一個邊長為b的小正方形，小明將圖a的陰影部分拼成了一個矩形，如圖b。這一過程可以驗證(D)A、a2+b2-2ab=(a-b)2; B、a2+b2+2ab=(a+b)2;C、2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b); D、a2-b2=(a+b) (a-b)4、如圖，邊長為a,b(a>b)的大小兩

3、個正方形的中心重合邊保持平行.如果從正方形中剪去小正方形，那么剩下的圖形可分割成四個形狀大小相同的梯形，計算剩下的圖形面積，驗證了公式答案：a2 b2 (a b)(a b)2.2.A、a b a b a b,222B、 a b a 2ab b_.222C、 a b a 2ab b22D、 a 2b a b a ab 2b5、如圖，在邊長為 a的正方形中挖掉一個邊長為 b的小正方形，把余下的部分剪拼成一個長方形， 通過計算兩個圖形(陰影部分)的面積，驗證了 一個等式，則這個等式是(A)6、如圖(1),A,B,C是三種不同型號的卡片，其中A型是邊長為a的正方形,B型是長為b,寬為 a的長方形,C是

4、邊長是b的正方形.小杰同學用1張A型,2張B型和1張C型卡片拼出了一 個新的圖形如圖(2)請根據這個圖形的面積關系寫出一個你所熟悉的乘法公式，這個乘法公式是:答案：(a b)2 a2 2ab b27、如圖是四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中的空白部T分面積的不同表示方法，寫出一個關于 a,b的恒等式解析：根據圖3中的面積寫一個等式，需要用兩種方法表示空 白正方形的面積.首先觀察大正方形是有四個矩形和一個空白正 方形組成，所以空白正方形的面積等于大正方形的面積剪去四個 矩形的面積，即(a+b)2-4ab,空白正方形的面積也等于它的邊長的 平方，即(a-b)2,根據面積相等有(a+b)2-4

5、ab=(a-b)2實際是利用實 際正方形的面積驗證平方式(a+b)2與(a-b)2之間的關系.填(a+b)2-4ab=(a-b)2 或(a-b)2+4ab=(a+b)2 或(a+b)2-(a-b)2=4ab.8、如圖是由邊長為 a和b的兩個正方形組成，通過用不同的方法，計算圖4中陰影部分的面積，可以驗證的一個公式是 解析：要表示陰影部分的面積，可以從兩個方法出發(fā)，一是觀察陰影部分是由邊長為a的正方形減去邊長為b的正方形得到的，所以它的面積等于a2-b2,二是陰影部分是由兩個直角梯形構成的，所以它 的面積又等于兩個梯形的面積和。這兩個梯形的面積都等于1 一，、2(b a)(a b),所以梯形的面

6、積和是(a+b)(a-b),根據陰影部分的面積不變，得(a+b)(a-b)=a2-b2.所以驗證的一個公式是 (a+b)(a-b)=a2-b2.解：填(a+b)(a-b)=a2-b29、如圖，在邊長為 a的正方形中減去一個邊長為b的小正方形(a>b),把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，驗證了公式 .圖5解析：本題是一道數形結合創(chuàng)新題，通過圖形的面積計算，驗證乘法公式.從圖形中的陰影部分可知其面積是兩這個正方形的面積差，即a2-b2,又由于圖的梯形的上底是2b,下底是2a,高1 一為a-b,所以梯形的面積為一(2a 2b)(a b) =(a+b)(a-b),根據面

7、積相等，得乘法公2式:a2-b2=(a+b)(a-b).填 a2-b2=(a+b)(a-b).10、如圖，驗證了一個等式，則這個等式是()22(A) ab(ab)(ab)(B) (ab)2a22abb2(C) (ab)2a22abb22211、如圖一，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形(a b),把余下的部分(D) (a 2b)(a b) a ab 2b剪拼成一個矩形(如圖二)，通過計算兩個圖形(陰影部分)的面積，驗證了一個等式， 則這個等式是()(A) a2b2(ab)(ab)(B) (ab)2a22abb2,.、22_ . 2(C) (ab)a2abbb(D) (a 2b)(a

8、 b) a ab 2b(圖一)(圖二)12、下面的圖(1)是由邊長為a的正方形剪去一個邊長為b的小正方形后余下的圖形把圖(1)剪開后，再拼成一個四邊形，可以用來驗證公式：a2 b2(a b)(a b).22(1)請你通過對圖(1)的剪拼，畫出三種不同拼法的示意圖.要求:拼成的圖形是四邊形；在圖(1)上畫剪切線(用虛線表示)；在拼出的圖形上標出已知的邊長.(2)選擇其中一種拼法寫出驗證上述公式的過程.分析：本題的重點是數形結合的思想，學會通過面積法推證數學規(guī)律和公式.如果對課本上說明乘法公式的幾何意義的內容掌握較好的話，解答本題就容易多了解：(1)不同拼法如下：第一種：圖1圖2第二種:b第三種:

9、（2）驗證略.13、已知（如圖）：用四塊底為b、高為a、斜邊為c的直角三角形拼成一個正方形，求圖形 中央的小正方形的面積，你不難找到解法（1）小正方形的面積=解法（2）小正方形的面積=由解法（1）、（2）,可以得到a、b、c的關系為：AbFaBa Eb DaHbbG a C14、已知（如圖）用四塊大小一樣，兩直角邊的長分別為 a、 b,斜邊的長為c的直角三角形拼成一個正方形 ABCD,求圖形 中央的小正方形 EFGH的面積，有2微圖（1）S正方形 EFGH = （用 a、b 表不）；（2） S正方形efgh = （用C表示）； 由、（2）,可以得到a、b、c的關系為:（二）用拼圖驗證恒等式1、

10、如圖，請用兩種不同方法計算陰影部分的面積.（結果用含x, y的代數式表示） 2x（a b）的C類卡片a+2、有若干張如圖所示的正方形和長方形卡片，如果要拼一個長為（2a b）,寬為長方形，則需要 A類卡片 張，B類卡片 張，張，請你在答題卷中的大長方形中畫出一種拼法.2a3ab b23、閱讀下面的材料并解答問題：我們知道，完全平方公式可以用幾何圖形的面積來表示, 實際上還有一些代數恒等式也可以用這種形式表示，例如2a b a b 2a2就可以用圖或圖等圖形的面積表示：3b2;（1）請寫出圖所表示的代數恒等式：（2）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示為：a b a 3b a2 4ab（3）請仿

11、照上述方法另寫一個含 a、b的代數恒等式，并畫出與之對應的幾何圖形。辮析本鹿是道開放髓，答案有多種，下面僅提供一種答案，供參騫;(1) (口 + %)(2。+ 白)=2/ + 5帥+2法 1(2)畫圖(如四H口5+ 2&)=疝(如圖上4、閱讀材料并解答問題：我們已經知道，公式(a+b)2=a2+2ab+b2可以用平面圖形的面積來表示，實際上還有一些代數恒等式也可以用這種形式表示，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用圖1或圖2的面積表示.(1)請寫出圖3中所表示的代數恒等式：.(2)試畫一個幾何圖形，使它的面積能表示：(a+b)(a+3b)=(a 2+4ab+3b2

12、)(3)請仿照上述另寫一個含有a、b的代數式恒等式，并畫出與之對應的幾何圖形圖1圖2圖3解析：本題是一道和整式乘法有關的創(chuàng)新圖形題，體現了數形結合思想 (1)觀察圖形可知這個長方形的長為( 2a+b),寬為(a+2b),根據長方形的面積為長乘以寬，得左邊為(2a+b)(a+2b).又長方形的面積等于各部分的面積的和，所以右邊為 2a2+5ab+2b2從而得恒等式為(2a+b)(a+2b)=2a，5ab+2b2.請你在試一試(2)根據已知等式可畫如圖4.圖形的畫法不止一種圖4，畫出與代數式恒等式對應的平面圖形即(3)按題目要求寫一個與上述不同的代數式恒等式 可.(相信你一定能試著完成).5、已知

13、，如圖5,現有a a、b b的正方形紙片和a b的長方形紙片各若干塊，試選用這些紙片(每種紙片至少用一次)在下面的虛線方框中拼成一個長方形(每兩個紙片之間既不重疊，也無空隙，拼出的圖中必須保留拼圖的痕跡)，使拼出的長方形面積為2a2 5ab 2b2 ,并標出此長方形的長和寬圖5析解:本題是一道和整式乘法有關的拼圖探索題，要拼一個長方形的面積是2a2+5ab+2b2,只要找到長方形的長和寬即可，因為（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2,因為從已知可以看出 b>a,所以 長方形白長為a+2b,寬為2a+b.知道了長方形的邊長就可以拼出長方形了.本題的解法不惟一，下面給出兩種拼法，

14、如圖6所示.圖66、有若干張如圖所示的正方形和長方形（數量足夠多），請你利用這些卡片拼成一些正方形和長方形（卡片可以重疊），利用所拼成的圖形的面積的不同表示方法寫出一些等式（在所畫出示意圖并寫出相應的等示）拼的圖形中，至少有兩個圖形包括三種不同形狀的卡片,(2a + fr)(a + 2b) =2a2 + 5ab + 262(a + i)2 = 4ab + (a - b)2+2) = a1 + 2-(2a + 6) = 2az + 3ab + /初+3廬(fl + i)2 = a2 + 2ab + b27、圖a是一個長為2 m、寬為2 n的長方形，沿 剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖b的形狀拼

15、形.mn圖中虛線用成一個正方n圖a（1）、你認為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？（2）、請用兩種不同的方法求圖b中陰影部分的面積.方法1： 方法2： （3）、觀察圖b你能寫出下列三個代數式之間的等量關系嗎 ？22代數式：m n , m n , mn.（4）、根據（3）題中的等量關系，解決如下問題：2右 a b 7,ab 5 ,貝U （a b） =.解析：（1）圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于（m n）；2（2）方法一：用大正方形的面積減去 4個小長方形的面積，即S陰影（m n） 4mn.方法二：由（1）中小正方形的邊長直接求得小正方形的面積為（m n）2.（3）由（2）可知，兩次求得的陰影部分的面積應該相等，所以代數式（m n）2 ,、2,、，、，一， ，、2,、 2（m n） , 4mn 之間的關系為； （m n） = （m n） 4mn.（4）當 a b 7,ab 5 時，（a b）2=（a b）2 4ab= 72 4 5 29.8、已知，如圖1,現有a a、b b的正方形紙片和 a b的長方形紙片各若干塊，試選用這些紙片（每種紙片至少用一次）在下面的虛線