1.2多元函數(shù)的微分(1)ppt課件

1、1一元函數(shù)的微分0000()()() (),fxfxxfxfxx 3. 多元函數(shù)的微分0lim0,().xoxx 其 中即記000()()().dfxfxxfxdx二元函數(shù)的微分推廣一元微分的概念,形式上應(yīng)該有,000000(,)(,)(,)f xyf xx yyf xy ( , ),xa by220,0lim0,()()xyxy 其中22()().oxy 即,a bf這里的應(yīng)該與00(,)xy在的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)有關(guān).xy我們看一個(gè)例子.長(zhǎng)為 寬為 的矩形的面積( , ).A x yxy00(,)(,),xyxy當(dāng)自變量在點(diǎn)的改變量為時(shí) 面積的改變量為00000000(,)(,)(,) .A

2、xyA xx yyA xyyxxyx y 220,00.()()x yxyxy 當(dāng)時(shí)，00 (,Def),.,fxya b在的某鄰域中定義,若存在常數(shù)使得000000(,)(,)(,)f xyf xx yyf xy00000000(,)(,)()(,),(,).xyfxya xb yadxbdyfxydf xydf 則稱 在可微,稱也記為為在的(全)微分 記為或22(,)(0,0)lim()()0,xyxy 其中 00 ( ,),e, ,R:markfx ya b要證明 在可微由可微的定義 只要證明存在常數(shù)使得00220,0(,)lim0.()()xyf xya xb yxy ,a xb y

3、(,),xy當(dāng)自變量有改變量時(shí) 函數(shù)值改變量可表示為0,: ( , )( , )fMf x yMx y為有界函數(shù)(即,使得,例)*22 3/2( , )( , )(0,0)g x yf x yxy則在可微.,事實(shí)上22 3/22222()(,)(0,0)()()()()xyfxygxyxy 22(,)()()()fxyxy 22()()()Mxy 0,0,0 xy 當(dāng)時(shí).000000000000Thm( , )(,)1(,),2),(,), (,)(,)(, ).xyxyf x yxyfxyffxydf xyfxyxfxyy 在可微,則) 在連續(xù)在存在 且00(,Pr)oof: .df xya

4、 xb y 記00001) (,)(,)f xx yyf xy 22()()a xb yoxy 0,)(0,0)xy當(dāng)(時(shí).00(,).fxy故 在連續(xù)2) ,0,xy 當(dāng)自變量改變量為時(shí) 由可微的定義,00000022(,)(,)(,) ()()f x yf xx yf x ya xb yoxy 00000(,), (,)lim. xxf x yfx yax 于是00, (,) .yfx yb同理故000000(,)(,)(,).xydf x yfx yxfx yy (),a xox Remark: 函數(shù)的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)的存在性不蘊(yùn)含函數(shù)的可微性.22,( , )(0,0)( , )0,(

5、, )(0,0).xyx yf x yxyx y討論在原點(diǎn)的連續(xù)性、可微性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性與例連續(xù)性.(0,0).f解: 1) 在連續(xù)3223 2,( , )(0,0),( , )2) ()0,( , )(0,0),yx yf x yxyxx yxf 在(0,0)存在但不連續(xù).,同理3223 2,( , )(0,0),( , )()0,( , )(0,0),xx yf x yxyyx yyf 在(0,0)存在但不連續(xù).3(0,0)f ) 在不可微.否則,2222 (0,0)()() 00()(),x yfxyxyoxy 220,0lim0.()()xyx yxy 即220,1lim.()()2

6、xyxx yxy 這與矛盾222222221()sin,0 ( , )00.,xyxyxyf x yxy在原點(diǎn)的連續(xù)性、可微性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性與偏導(dǎo)例函數(shù)的連續(xù)性.1(0,0).f解: ) 在連續(xù)2)(0,0)0;xf ( , )(0,0),x y 當(dāng)時(shí)222222121( , )2 sincos.xxfx yxxyxyxy(0,0).xf 故在不連續(xù)(0,0)0,(0,0).yyff同理但在不連續(xù)3)(0,0).f 在可微,事實(shí)上(0,0)(0,0)(0,0)xyffxfy 22221()() )sin()()xyxy 22()().oxy 00(Rem,a)rk: fxy要證明 在可微,只

7、要證明0000002200(,)(,)(,)lim0.()()xyxyf xyfxyxfxyyxy sinfxy在原點(diǎn)的連續(xù)性、偏導(dǎo)例:數(shù)與可微性.f 在原解:點(diǎn)連續(xù).( ,0)0,(0, )0,(0,0)(0,0)0.xyf xfyff因故f若 在原點(diǎn)可微,則22( , )(0,0)sinlim0.x yxyxy而2222000sinsinlimlimlimy kxy kxy kxxxxxyxyxyxyxyxy21,kkf矛盾,故 在原點(diǎn)不可微.0000000000000012120,0( , )(,)(,) (,)(,)(,) (,)(,), lim0,1,2.kxyxyf x yx yf

8、x yf x yf xx yyf x yfx yxfx yyxyxyk 3.可微的充要條件在可微的充要條件是 在的改變量可表示為其中為的函數(shù).且Thm00000000( , )(,) (,)(,)(,)P,roof: xyf x yxyf xyfxyxfxyy 必要性) 若在可微,設(shè)22()()oxy 其中.,則12()() | ,sgnxsgnyxyxyxyxy 1(,)(0,0)(,)(0,0)()limlim0,|xyxysgnxxy 2(,)(0,0)(,)(0,0)() limlim0.|xyxysgnyxy 000012() (,)(,),xyffxyxfxyyxy 充分性 設(shè)(,

9、)(0,0)lim0,1,2.kxyk其中0,0 xy則時(shí) ,121222 0. xyxy0000 () ,(Thm.,),(,).xyffxyfxy可微的充分條件在連續(xù) 則在可微000000 (,) (,Proof:)(,)f xyf xx yyf xy ,利用微分中值定理00010002 (,) (,)(,)xyf xyfxx yyxfxyyy 00000000 (,)(,) (,)(,)f xx yyf xyyf xyyf xy 00,(,)xyffxy由在的連續(xù)性,00001002 (,)(,)(,)xyf xyfxyxfxyy 000012(,)(,),xyfxyxfxyyxy 12,0, (0,0).xy 其中 時(shí)00(,)fxy因此 在可微。Remark: 函數(shù)的連續(xù)性、可微性、偏導(dǎo)數(shù)存在性與偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性之間的蘊(yùn)含關(guān)系圖.連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在可微 arcsin, ().xzdzxyy求例 利 用解 法 一 :偏 導(dǎo) 數(shù) .22211,xyxzyyyyx22221,yxxxzyyyyx22.ydxxdydzyyx: 利用一階全微分形式解法二的不變性.21xdydzxy221ydxxdyyxy22.|ydxxdyyyx4. 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用000000(,)(,)(,)f xx yyf x yf x