二次函數(shù)新定義問(wèn)題

1、專題訓(xùn)練(四 ) 與二次函數(shù)相關(guān)的新定義問(wèn)題? 類型之一應(yīng)用型：閱讀 理解 建模 應(yīng)用4 ZT 11 2017·巴中如圖4 ZT 1， 我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓” ， 點(diǎn)A， B， C， D 分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) ， AB 為半圓的直徑， 且拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y x2 2x3， 則半圓圓心M 點(diǎn)的坐標(biāo)為.2 一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸成軸對(duì)稱圖形時(shí)， 我們稱該函數(shù)為“偶函數(shù)”如果二次函數(shù)y x2 bx 4是“偶函數(shù)”， 該函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B， 頂點(diǎn)為 P， 那么 ABP的面積是3 2017 ·余杭區(qū)一模如果兩個(gè)二次函數(shù)的圖象

2、關(guān)于y 軸對(duì)稱 ， 我們就稱這兩個(gè)二次函數(shù)互為“關(guān)于 y 軸對(duì)稱二次函數(shù)”， 如圖 4 ZT 2 所示 ， 二次函數(shù)y1 x22x 2 與y2 x2 2x2 是“關(guān)于 y 軸對(duì)稱二次函數(shù)”(1)直接寫出兩條圖中“關(guān)于 y 軸對(duì)稱二次函數(shù)”圖象所具有的特點(diǎn)(2)二次函數(shù)y 2(x 2)21 的“關(guān)于 y 軸對(duì)稱二次函數(shù)”表達(dá)式為 ； 二次函數(shù)ya(xh)2 k的“關(guān)于 y軸對(duì)稱二次函數(shù)”表達(dá)式為 (3)平面直角坐標(biāo)系中， 記“關(guān)于 y 軸對(duì)稱二次函數(shù)”的圖象與 y 軸的交點(diǎn)為A， 它們的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B， C， 且BC6，順次連結(jié)點(diǎn)A， B，O， C 得到一個(gè)面積為24 的菱形 ，求“關(guān)于 y

3、軸對(duì)稱二次函數(shù)”的表達(dá)式4 ZT 2? 類型之二探究型：閱讀理解 嘗試 探究4 若拋物線y ax2 bx c過(guò)定點(diǎn) M(1， 1)， 則稱此拋物線為定點(diǎn)拋物線(1)張老師在投影屏幕上出示了一個(gè)題目：請(qǐng)你寫出一條定點(diǎn)拋物線的函數(shù)表達(dá)式小敏寫出了一個(gè)答案：y 2x2 3x 4， 請(qǐng)你寫出一個(gè)不同于小敏的答案；(2)張老師又在投影屏幕上出示了一個(gè)思考題：已知定點(diǎn)拋物線yx2 2bx c 1 ， 求該拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小時(shí)的函數(shù)表達(dá)式請(qǐng)你解答5 2017 ·衢州定義：如圖4ZT3， 拋物線yax2bxc(a0)與 x 軸交于A，B兩點(diǎn) ， 點(diǎn) P 在該拋物線上(點(diǎn) P 與 A， B 兩點(diǎn)

4、不重合)， 若 ABP 的三邊滿足AP2 BP2 AB2，則稱點(diǎn) P 為拋物線y ax2 bx c(a 0)的勾股點(diǎn)(1)直接寫出拋物線yx2 1 的勾股點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖， 已知拋物線C：yax2bx(a0)與x軸交于A，B 兩點(diǎn) ， 點(diǎn) P(1，3)是拋物線 C 的勾股點(diǎn)， 求拋物線C 的函數(shù)表達(dá)式；(3)在 (2)的條件下， 點(diǎn) Q 在拋物線C 上 ， 求滿足條件S ABQ S ABP的點(diǎn) Q(異于點(diǎn) P)的坐標(biāo)4 ZT 326 2017 ·嵊州市模擬在平面直角坐標(biāo)系中， 我們把直線y ax c 稱為拋物線y ax bx c 的生成線， 拋物線與它生成線的交點(diǎn)稱為拋物線的生成

5、點(diǎn)， 例如：拋物線y x2 2 的生成線是直線yx2，生成點(diǎn)是（0，2）和（1 ， 1）（1）若拋物線y mx2 5x 2的生成線是直線y3x n， 求 m 與 n 的值（2）已知拋物線yx23x3 如圖 4ZT4所示 ， 若它的一個(gè)生成點(diǎn)是（m，m3）求 m 的值若拋物線yx2pxq 是由拋物線yx23x3 平移所得（不重合），且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：二是若拋物線yx23x3的生成點(diǎn)為點(diǎn)A，B，拋物線yx2pxq的生成點(diǎn)為點(diǎn)C，D， 則 AB CD .求 p 與 q 的值4 ZT 427 2017 ·隨州在平面直角坐標(biāo)系中， 我們定義直線y ax a 為拋物線y ax bx c(a

6、，b， c 為常數(shù) ， a 0)的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上， 另有一個(gè)頂點(diǎn)在y 軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”已知拋物線y23x243x23與其“夢(mèng)想直線”交于A， B 兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn) B33的左側(cè) )， 與 x 軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.(1)填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的函數(shù)表達(dá)式為 ， 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ， 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(2)如圖4 ZT 5，M 為線段 CB 上一動(dòng)點(diǎn)， 將 ACM 以 AM 所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn) C 的對(duì)稱點(diǎn)為N ， 若 AMN 為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”， 求點(diǎn) N 的坐標(biāo)(3)當(dāng)點(diǎn) E 在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上 ， 是否存在

7、點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A， C， E， F 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在， 請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E， F 的坐標(biāo)；若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由4 ZT 5? 類型之三概括型：閱讀 理解 概括 拓展8 2017 ·郴州設(shè)a， b 是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)， 用max a， b表示 a， b 兩數(shù)中較大者， 例如：max 1， 11， max1 ， 2 2， max4， 3 4， 參照上面的材料， 解答下列問(wèn)題：（1）max5 ， 2 ， max0 ， 3 ；（2）若max3 x 1， x 1x 1， 求 x 的取值范圍；（3）求函數(shù)yx22x4 與yx2 的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)， 函數(shù)yx22x4 的圖象如4 ZT

8、6 所示 ， 請(qǐng)你在圖中作出函數(shù)yx 2 的圖象 ， 并根據(jù)圖象直接寫出max x2， x2 2x 4的最小值4 ZT 6詳解詳析1 （1， 0）解析 解x22x3 0 得x11，x23，所以拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）， B（3， 0）， 所以AB 4， 所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（1， 0）2 8 解析 二次函數(shù)y x2 bx 4 是“偶函數(shù)”，2× 10，b 0，函數(shù)表達(dá)式為y x2 4，令y 0， 則 x2 4 0，解得x1 2， x2 2， A（ 2， 0）， B（2， 0）， AB 2 （ 2） 4.令 x 0， 則y4，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（0， 4），ABP 的面積21

9、15; 4× 4 8.3 解： (1)頂點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱 ， 對(duì)稱軸關(guān)于y軸對(duì)稱(答案不唯一)(2)y 2(x 2)2 1 y a(x h)2 k(3)(答案不唯一)如圖， 由 BC 6， 順次連結(jié)點(diǎn)A， B， O， C 得到一個(gè)面積為24的菱形 ，得OA 8， 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(0， 8)， 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為( 3， 4) 設(shè)左側(cè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y a(x 3)2 4， 將點(diǎn) A的坐標(biāo)代入， 得9a 4 8，4解得a，9故y4(x3)24，其“關(guān)于 y 軸對(duì)稱二次函數(shù)”的表達(dá)式為y4(x3)24.99根據(jù)對(duì)稱性， 開口向下的拋物線也符合題意，y 軸對(duì)稱二次函數(shù)”的表達(dá)式為 y(x

10、3)2 4和y(x 3)2 4.994 解： (1)答案不唯一， 合理即可(2)因?yàn)閽佄锞€的函數(shù)表達(dá)式可化為y(x22bxb2)b2c1(xb)2b2c1， 所以此定點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(b， b2 c 1)因?yàn)閽佄锞€過(guò)定點(diǎn)M(1， 1)， 將其代入函數(shù)表達(dá)式可得12bc11，解得c12b，則頂點(diǎn)縱坐標(biāo)b2c1b212b1(b1)21， 所以當(dāng)b1 時(shí) ，b2c1 的值最小為1， 此時(shí)c12b1 2× 11.故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx2 2x.5 解： (1)拋物線yx2 1 的勾股點(diǎn)的坐標(biāo)為(0， 1)(2)拋物線y ax2 bx過(guò)原點(diǎn) ， 即點(diǎn)A(0， 0)如圖 ， 過(guò)點(diǎn) P 作

11、PG x軸于點(diǎn) G.點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（1 ，3），AG1 ，PG3，PAAG2PG212（3）22， PAG 60° ， AB 2PA 4，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（4， 0）設(shè)拋物線C 的函數(shù)表達(dá)式為y ax（x 4），將 P（1，3）代入得a3，3（3）當(dāng)點(diǎn)Q 在 x 軸上方時(shí)， 由S ABQ S ABP 知點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)為3，則有3x2 4 3x3，33解得x1 3，x21 ，點(diǎn)Q 的坐標(biāo)為（3，3）；當(dāng)點(diǎn) Q 在 x 軸下方時(shí)， 由S ABQ S ABP 知點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)為3，則有33x2 4 3 3x3，解得x1 27， x2 27，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（27， 3）或 （27，

12、3）綜上 ， 滿足條件的點(diǎn)Q 有 3 個(gè) ， 其坐標(biāo)為（3，3）或 （27， 3）或 （27， 3）6 解：（1） 拋物線ymx25x2的生成線是直線y3xn， m 3， n2， n 2.（2）拋物線y x2 3x 3 的一個(gè)生成點(diǎn)是（m， m 3），2 m 3 m 3m 3，整理 ， 得 m2 4m 0，解得m 0 或 4.拋物線yx2pxq 是由拋物線yx23x3 平移所得（不重合），且這兩個(gè)拋物線具有相同的生成線， q 3.拋物線yx23x3與它生成線yx3 的生成點(diǎn)為（0，3），（4，7），AB2（40）2（73）232.拋物線yx2px3與它生成線yx3 的生成點(diǎn)為（0，3），（1

13、p，4p），CD2（1p0）2（4p3）22（1p）2. AB CD， 2（1 p）2 32， p 5 或 3.拋物線y x2 px 3 與拋物線y x2 3x 3 不重合 ， p3 不合題意， 應(yīng)舍去 ， p 5.7 解：（1） y2 3x 2 3 （ 2， 2 3） （1 ， 0）33（2）拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C， C（ 3， 0）過(guò)點(diǎn)A作 AG y軸 ， 垂足為 G.當(dāng)點(diǎn) N 在 y 軸上時(shí) ， AMN 為“夢(mèng)想三角形”設(shè)N（0，n）， A（ 2，23）， C（3， 0）， AC13， ANAC13.在RtAGN中 ， AG2GN2 AN2，AG 2， GN|n23|， 4 （n 2

14、3）2 13，解得n 2 3 3 或n 2 3 3.設(shè) M（m， 0），當(dāng)n233 時(shí)，在RtMNO 中，（233）2m2（m3）2，解得m223；當(dāng)n233 時(shí)，在RtMNO 中，（233）2m2（m3）2，解得m223.3< m 1， m 2 23不合題意， 舍去m223，此時(shí)n233， N(0， 23 3)；當(dāng)點(diǎn) M 在 y 軸上時(shí) ， AMN 為“夢(mèng)想三角形”，此時(shí)點(diǎn) M 與點(diǎn) O 重合 ， 在 Rt AGM 中 ， AG 2， GM 23， AMG 30 ° ，GM 3 AMC AMN NMB 60° .過(guò)點(diǎn) N 作 NP x軸于點(diǎn)P， 在 Rt NMP 中 ， MN CM 3， NP 3 3， OP 3， N 3， 3 32222.綜上所