2020年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編雙曲線

1、2020年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：雙曲線【考點(diǎn)闡述】雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).【考試要求】（2）掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).【考題分類】2X1.（福建卷理11文12雙曲線Fa（一）選擇題（共13題）2y2T1（a>0,b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn),b且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,解：如圖，設(shè)PF2m,F1PF2（0），當(dāng)P在右頂2cm2(2m)24m2cos點(diǎn)處，e-54cos2am1cos1,e1,3另外也可用三角形的兩邊和大于第三邊，及兩邊差小于第三邊，但

2、要注意前者可以取到等號(hào)成立因?yàn)榭梢匀c(diǎn)一線.也可用焦半徑公式確定a與c的關(guān)系。工皿、r八、x2y22 .（海南丁夏卷文2）雙曲線1的焦距為（102A.32B.42【標(biāo)準(zhǔn)答案】DC.33【試題解析】由雙曲線方程得a210,b22c212,于是c2內(nèi),2c46，選d【高考考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)【易錯(cuò)提醒】將雙曲線中三個(gè)量a,b,c的關(guān)系與橢圓混淆，而錯(cuò)選B【備考提示】在新課標(biāo)中雙曲線的要求已經(jīng)降低，考查也是一些基礎(chǔ)知識(shí)，不要盲目拔高223 .（湖南卷理8）若雙曲線與41（a>0,b>0）上橫坐標(biāo)為工的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離ab2大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是A.(

3、1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)【解析】Qex0aa23a,c2一2_一一一,3e5e20,e2或1人，e（舍去），e（2,1故選B.3224.（湖南卷文10.雙曲線.Yy1（a0,bab0）的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A.（1,72B.也，）【答案】CC.(1,.21D.21,)【解析】Qex0aX0(e1)X02aac(e1)a,2e10,而雙曲線的離心率e1,e(1,J21,故選cD.41.1-a-,b,取3m2m925m4.2y(a1)21的離心率e的取值范圍是（2225.（遼寧卷又11已知雙曲線9ymx1（m0）的一

4、個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為A.1B.2C.3答案：D解析：本小題主要考查雙曲線的知識(shí)。9y2m2x21（m0）1 1|33|頂點(diǎn)（0,-），一條漸近線為mx3y0,Q-35.m292x6.（全國(guó)n卷理9）設(shè)a1,則雙曲線aA.(.2,2)B.（隹扃C.(2,5)D.(25.5)在同一坐標(biāo)系中作出f1（x）sinx及g1（x）cosx在0,2的圖象，由圖象知，當(dāng)3,2a時(shí)，得y142|MN|yiY2|2【高考考點(diǎn)】【備考提示】三角函數(shù)的圖象，兩點(diǎn)間的距離函數(shù)圖象問(wèn)題是一個(gè)常考常新的問(wèn)題7.（全國(guó)n卷文11設(shè)ABC是等腰三角形,ABC120°,則以A,B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)C的雙曲線的離心率

5、為（1.2A.21.3B.2C.【解析】由題意2cBC，所以AC22csin6002j3c,由雙曲線的定義，有2aACBC23c2c【高考考點(diǎn)】雙曲線的有關(guān)性質(zhì),雙曲線第一定義的應(yīng)用8.（陜西卷理2x8又9）雙曲線a2yb21（a0,b0）的左、右焦點(diǎn)分別是作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為（）C.-2D.解：如圖在RtVMF1F2中,mf1f230°,F1F22cMF12ccos30°MF22ctan30°33cMF1MF2一：:3c-：3c3c221的左右焦點(diǎn)分別為Fl,F2,P為C的右支上一點(diǎn),9.（四

6、川卷文11已知雙曲線C:916且PF2F1F2,則PF1F2的面積等于（）(A)24(B)36(C)48(D)964,c5.F15,0,F25,0F15,0,F25,022_2F1F2得5y01022XV【解1】：雙曲線C:1中a3,b916PF2F1F2PF12aPF26作PF1邊上的高AF2,則AF18AF21,1PF®的面積為一PFPF2-162111222XV【解2】：雙曲線C:1中a3,b4,c5916設(shè)Pxo,yo,xo0,則由PF2又二P為C的右支上一點(diǎn)222千/1V021*1216迎92100即25x090x0819-21斛得x0一或x053950（舍去）%/611J

7、65485，一,1PF1F2的面積為一F1F2y021048548故選B【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察雙曲線的第一定義，雙曲線中與焦點(diǎn)，準(zhǔn)線有關(guān)三角形問(wèn)題;【突破】：由題意準(zhǔn)確畫(huà)出圖象，解法1利用數(shù)形結(jié)合，注意到三角形的特殊性；解法2利用待定系數(shù)法求P點(diǎn)坐標(biāo)，有較大的運(yùn)算量;2x10.（浙江卷理7文8）若雙曲線a2y-1的兩個(gè)焦點(diǎn)到一條準(zhǔn)線的距離之比為b23:2,則雙曲線的離心率是(A)3(B)5(C)3解析：本小題主要考查雙曲線的性質(zhì)及離心率問(wèn)題。依題不妨取雙曲線的右準(zhǔn)線2ax一，c則左焦點(diǎn)Fi到右準(zhǔn)線的距離為22ac.八，,左焦點(diǎn)F1到右準(zhǔn)線的距離24a為cc2c2c2a2a雙曲線的離心率e11.

8、（重慶卷理8）已知雙曲線,5.2yb2(a>0,b>0)的一條漸近線為y=kx（k>0）,離心率e=J5k,則雙曲線方程為4a2=12y5a22x(D)45b2yb2解：eJ5k,所以a224ba2,22abc16y22P1的左焦點(diǎn)在拋物線y2=2px的準(zhǔn)線上，則p的值為【解析】本小題主要考查雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)。雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（3I"拋物線y22Px的準(zhǔn)線方程為x-,所以J3»衛(wèi)，解得：p4,故選C。2,1622213.（四川延考理7文7）若點(diǎn)P（2,0）到雙曲線勺紜ab1的一條淅近線的距離為衣，則雙曲線的離心率為（）(A)短(B)并(C)2

9、,2(D)2.3解：設(shè)過(guò)一象限的漸近線傾斜角為sin45o所以y,2a,ecaAo（二）填空題（共5題)1.（安徽卷理141已知雙曲線2y121的離心率是一、.、x212.（重慶卷文8）右雙曲線3(A)2(B)3(C)4(D)4、2【答案】C2-22斛：an,b12n,c22c12一.ab12,離心率e一V3,所以n4an221的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F。過(guò)點(diǎn)F平行雙曲線的xy2 .（海南寧夏卷理14過(guò)雙曲線916一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B,則4AFB的面積為.、一一一4解：雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)A（3,0）,右焦點(diǎn)坐標(biāo)F（5,0）,設(shè)一條漸近線方程為y-x,332-，從而S/AFB15323

10、2221515y4(x5)建立方程組3,得交點(diǎn)縱坐標(biāo)y土上19160,b0)的兩條漸近線方程為國(guó)，若322xy3 .(江西卷文14已知雙曲線x2_1(aab1,則雙曲線方程為頂點(diǎn)到漸近線的距離為22解析：土祖1444.(山東卷文13)已知圓C:x2y26x4y80.以圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為解析：本小題主要考查圓、雙曲線的性質(zhì)。圓C:x2y26x4y80y0x26x80,得圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(2,0),(4,0),22則a2,c4,b212,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為上1412225.(上海春卷7)已知P是雙曲線與L1右支上的一點(diǎn)，

11、雙曲線的一條漸近線方程為a293xy0.設(shè)&F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).若|PF2I3,則|PF1解析：由題知a=1,故PF1|PF2|2,|PF111PF2|2325.(三)解答題(共7題)221.(湖北卷文20)已知雙曲線C:與七1(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為abF:(2,0),F:(2,0)，點(diǎn)P(3,V7)的曲線C上.(I)求雙曲線C的方程；(n)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,若AOEF的面積為2點(diǎn),求直線l的方程2x解：（I）解法1:依題息，由a2+b2=4,得雙曲線萬(wàn)程為2y21(0va2v4),4a29將點(diǎn)（3,"）代

12、入上式，得當(dāng)a1.解得4aa2=18（舍去）或a2=2,a22故所求雙曲線方程為1.22解法2：依題意得，雙曲線的半焦距c=2.2a=|PFi|PF2|=(32)2(7)2(32)2(7)222,-a2=2,b2=c2a2=2.22雙曲線C的方程為工221.（n）解法1:依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理,得(1k2)x24kx6=0.直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,21k20,2-2(4k)246(1k)2>0,k1,.3Vkv3,.k(V3,i)u(i,J3).設(shè)E(xi,yi),F(X2,y2),則由式得4k6x1+x2=2，XiX22,1k1

13、k|EF|=:的x2)2(y1y2)2,(1k2)(x1x2)2=1k2?.(x1x2)24x1x21k2?223k2|1k2|一一2而原點(diǎn)O到直線l的距離d=J1k2.C1122.Saoef=d?|EF|?：?11k212Jk22.2-3k22|1k|223k22|1k|223k2若Saoef=2&,即'°242k4k220,解得k=±j2,滿足.故滿足條件的直線1有兩條，其方程分別為y=-2x2和yJ2x2.解法2:依題意，可設(shè)直線1的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理,|1k2|得(1k2)x24kx6=0.,直線l與比曲線C相交于不同的兩點(diǎn)

14、E、F,2,1k0,k1,(4k)246(1k2)>0,3<k<,3.kC(&1)U(1,73).設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),則由式得:2:223k2.|x1X2|="(Xix2)4XiX22-2.|1k2|1k2|當(dāng)E、F在同一支上日(如圖1所示)，11”SaoEF=|SaOQFSaOQE|=|OQ|?|X1|X2|OQ|?|X1X2|；當(dāng)E、F在不同支上日(如圖2所示)，-1,SAOEF=SAOQF+&OQE=-|OQ|?(|X1|x2|)21一|OQ|?|XiX2|.21一一.綜上得SaOEF=|OQ|?|x1x2|,于2由|OQ|=

15、2及式，得Saoef=2v2v13k|1k2|若Saoef=2J2,|1k2|k4k220，解得k=土丘，滿足.故滿足條件的直線l有兩條，方程分別為y=2xy=22.2.(江西卷理21)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)在直線xm(ym,0m1)上，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線x2y21的兩條切線PAPB,切點(diǎn)為A、B,定點(diǎn)1M(-,0).mN，試求AMN的重心G所在曲線方程.(1)求證：三點(diǎn)A、M、B共線。(2)過(guò)點(diǎn)A作直線xy0的垂線，垂足為證明：(1)設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),由已知得到y(tǒng)y2x2y21,x2y2切線PA的方程為：yy1k(xxi)V1k(xXi)(122k2)x22k(y12,kx1)

16、x(ykx1)14k2(ykx)24(1k2)(y1kx1)24(1得kx1y1由k2)因此PA的方程為:yyx1x1同理PB的方程為：y2yx2X1又P(m,y0)在PA、PB上，所以小、。mxi1,y2y0mx21即點(diǎn)A(xi,yi),B(x2,y2)都在直線y0ymx1上一1又M(一,0)也在直線y0ymx1上，所以三點(diǎn)AM、B共線m(2)垂線AN的方程為：yy1xx1,由yy1xx1得垂足N("y1,x1y1),xy022設(shè)重心G(x,y)所以1x二(x13為y1)222由x1y113(y10Xy)21可彳導(dǎo)(3x3yx1解得y139x3y一m49y3xm411.12-)(3

17、x3y)2即(x一)mm3m22一、,y為重心G所在曲9線方程3.(全國(guó)I卷理21文22)雙曲線的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l1,l2,uuu經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A,B兩點(diǎn).已知OAuuuuuuAB、OB成等差數(shù)列,uuuruuu且BF與FA同向.(I)求雙曲線的離心率；(n)設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4,求雙曲線的方程.解：(I)設(shè)OAmd,ABm,OBmd由勾股定理可得：(md)2m2(md)2AB4OA3，口.1得：dm,tanAOF4b_tanAOBtan2AOFa由倍角公式2ba2b4-b1、5一,斛侍一一，則離心率e.3a22(n)

18、過(guò)F直線方程為y22-(xc),與雙曲線方程3匕1聯(lián)立bab將a2b,c，而代入，化簡(jiǎn)有25x28但x2104b2b將數(shù)值代入，有453275b2428b2155，解得b22故所求的雙曲線方程為二L1。3694.(上海卷理18)已知雙曲線C:x24y21,P為C上的任意點(diǎn)。(1)求證：點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù);(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),求|PA|的最小值;【解析】(1)設(shè)P(Xi"i)是雙曲線上任意一點(diǎn)，該雙曲的兩條漸近線方程分別是x2y0和x2y0.2分點(diǎn)P(Xi,y1)到兩條漸近線的距離分別是|Xi，|和|Xi'|,4分5522它們的乘積是因

19、鐘J12Xl”|x14y1|4.5.555點(diǎn)P到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)6分(2)設(shè)的坐標(biāo)為(x,y),則|PA|2(x3)2,11分13分15分-2(x3)Q|x|2,當(dāng)x12時(shí)，|PA|2的最小值為-,55即|pa|的最小值為25.525.(上海卷文20)已知雙曲線C:y21.2(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1).設(shè)p是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).uuiruuun記MPgMQ.求的取值范圍；(3)已知點(diǎn)D,E,M的坐標(biāo)分別為(2,1),(2,1),(0,1),P為雙曲線C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn).記l為經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)P的直線，s為ADEM截直

20、線l所得線段的長(zhǎng).試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù).【解】(1)所求漸近線方程為y與0,y且x0.吩22(2)設(shè)P的坐標(biāo)為x0,y0，則Q的坐標(biāo)為Xo,y,.4分uuruuurMPMQXo,yo1Xo,yo122.32Xoyo1-Xo2.7分2q|xo|a的取值范圍是(，1.9分(3)若P為雙曲線C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則直線l的斜率k0,.11分2由計(jì)算可得，當(dāng)k(0,1日tsk221k2;2k1kk2,1k2.15分s表示為直線l的斜率k的函數(shù)是21k2sk2k1kk2,1k2,kr.16分122,-2.6.(天津卷理21文22)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F13,0,一條漸近線的方程

21、是5x2y0.(I)求雙曲線C的方程;(n)若以kk0為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)m,N,線段mn的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求k的取值范圍.2本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運(yùn)算能力.滿分14分.22(I)解：設(shè)雙曲線C的方程為、自1a2b2a0,b0).由題設(shè)得2abab29在，解得2b24L、,所以雙曲線方程為5(n)解：設(shè)直線l的方程為ykxm(k0).點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,y?)的坐標(biāo)滿足方程將式代入式，得x2(kxm)245ykxm

22、22x上1452221,整理得(54k2)x28kmx4m2200.此方程有兩個(gè)一等實(shí)根，于是54k20,且(8km)24(54k2)(4m220)0.整22理得m54k0.由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)滿足、，x1x24kmx0z2，254ky0kx0從而線段MN的垂直平分線方程為5m2,54k5m54k2此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為1k(X9km4km7)-54k9m(2,0)，(0,2)54k54k由題設(shè)可得1,9km,9m,812-|2|一.整理得m254k254k22(53k|k|0.(54k2)2將上式代入式得(54k)5|k|4k220,整理得(4k5)(4k2|k|5