(完整)二項(xiàng)式定理十大典型問題及例題

1、學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號：年級：高二課時數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：教學(xué)內(nèi)容1二項(xiàng)式定理：(a+b)n=Coan+C1an-ib+Cran-rbr+Cnbn(nGN*)，nnnn2基本概念： 二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式。 二項(xiàng)式系數(shù):展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Cr(r=0,1,2,n)。n 項(xiàng)數(shù)：共(r+1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式 通項(xiàng)：展開式中的第r+1項(xiàng)Cran-rbr叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用T=CrQn-rbr表示.nr+1n3注意關(guān)鍵點(diǎn)： 項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有(n+1)項(xiàng)。 順序：注意正確選擇a,b，其順序不能更改.(a+b)n與(b+a)n是不

2、同的. 指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0，是降幕排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n，是升幕排列.各項(xiàng)的次數(shù)和等于n. 系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是C0,C1,C2,Cr,Cn.項(xiàng)的系數(shù)是a與bnnnnn的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù))。4常用的結(jié)論：令a=1,b=x,(1+x)n=C0+C1x+C2x2+Crxr+Cnxn(nGN*)nnnnn1令a=1,b=x,(1x)n=C0C1x+C2x2.+Crxr+.+(1)nCnxn(nGN*)nnnnn5性質(zhì)： 二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C0=Cn，Ck=Ck-1nnnn 二項(xiàng)式系數(shù)和：令a=b=1

3、，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為C0+C1+C2+.+Cr+Cn=2n，nnnnn變形式C1+C2+Cr+.+Cn=2n1.nnnn奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和二偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令a=1,b=1，貝C0C1+C2C3+(1)nCn=(11)n=0,nnnnn1從而得到：C0+C2+C4+C2r+=C1+C3+C2r+1+=X2n=2n1nnnnnnn2 奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：(a+x)n=Coanxo+C1an1x+C2an2x2+Cna0xn=a+ax1+ax2+axnnnnn012n(x+a)n=C0a0xn+C1axn1+C2a2xn2+Cnanx0=axn+ax2+ax1+

4、annnnn210令x=1,貝Va+a+a+a+a=(a+1)n0123n令x=1,貝yaa+aa+a=(a1)n0123n+得,a+a+a+a=(a+1)n+(a1)n(奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)024n2-得,a+a+a+a=(a+1)n(a1)n(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)135n2 二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)n是偶數(shù)時，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C2取得最大值。nn1n+1如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)n是奇數(shù)時，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C2,C2同時取得最大nn值。 系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a+bx)n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別fAA為A,A,A，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有彳r+1

5、r，從而解出r來。12n+1IAAr+1r+2專題一題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例：C1+C26+C362+.+Cn6n-1=.nnnn解：(1+6)n=C0+C16+C262+C363+Cn6n與已知的有一些差距,nnnnn1C1+C26+C362+Cn6n-1=(C16+C262+Cn6n)nnnn6nnn3（完整）二項(xiàng)式定理十大典型問題及例題1 11=_(C0+C16+C262+Cn6n-1)=(1+6)n-1=(7n-1)6nnnn66練：C1+3C2+9C3+3n-1Cn=.nnnn解：設(shè)S=C1+3C2+9C3+3n-1Cn，貝nnnnn3S=C13+C232+C333+Cn3n=C

6、0+C13+C232+C333+Cn3n-1=(1+3)n-1nnnnnnnnnn(1+3)n14n1S=n33題型二：利用通項(xiàng)公式求xn的系數(shù)；例：在二項(xiàng)式（-+3x2）n的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45，求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知Cn-2=45，即C2=45，.n2n90=0,解得n=-9（舍去）或n=10，由nn丄210-r2,亠10廠2心“,口T=Cr（X-4）10-r（X3）r=CrX-4+3，由題意一+T=3,解得T=6，r+1101043則含有X3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T=C6X3=210X3，系數(shù)為210。6+1101練：求（X2-）9展開式中X9的系數(shù)？2 x111解：T=Cr

7、(X2)9-r()r=CrX182r()rX-r=Cr()rX18-3r，令183廠=9，貝廠=3r+192X9292121故X9的系數(shù)為C3(-)3=-.922求一項(xiàng)式（X2+的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng);例：解：T=Cr(X2)10-r(L)r=C()rX20-2r，令20-r=0，得r=8，所以T=C8(i)8=竺r+11027X102291022561練：求二項(xiàng)式(2X-)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2x解：T=Cr(2X)6-r(-1)r(丄)r=(-1)rCr26-r()rX6-2r，令6-2r=0，得r=3，所以T=(-1)3C3=-20r+162X62461練：若

8、(X2+)n的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n=.X1解：T=C4(x2)n-4()4=C4x2n-12，令2n12=0，得n=6.5nXn題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng);例：求二項(xiàng)式（Jx-3X）9展開式中的有理項(xiàng)？1127r小解：T=Cr(X2)9-r(-X3)r=(-l)rCrX6，令Z,(0廠Ar+1rAAr+1r+2Cr4rCr-14r-1二V1212Cr4rCr+14r+111212化簡得到9.4r10.4又0rAr+1rAAJr+1r+2Cr2rCr-12r-1小丿口1010解得VCr2rCr+12r+1,J1010r+1r+1102(11-廠)廠，化簡得到6.3k2

9、(10-r)0r10,r=7,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T=C72x7=15360x7.810題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng);例：求當(dāng)(x2+3x+2)5的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)？解法：(x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5，T=Cr(x2+2)5-r(3x)r，當(dāng)且僅當(dāng)r=1時，T的展開式中才有r+15r+1x的一次項(xiàng)，此時T=T=C1(x2+2)43x，所以x得一次項(xiàng)為CiC4243xr+12554它的系數(shù)為C1C4243=240。54解法：(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5=(C0x5+C1x4+C5)(C0x5+C1x42+C525)555555故展開式中含x的項(xiàng)為C4xC525

10、+C4x24=240x，故展開式中x的系數(shù)為240。555練:求式子(|x|2)3的常數(shù)項(xiàng)？解：(X+IX2)3-(xl1)6，設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則T二Cr(l)rXr+16，得62r二0，r二3，T=(1)3C3=20.3+16題型八：兩個二項(xiàng)式相乘；例：求(1+2X)3(1X)4展開式中X2的系數(shù).解：(1+2x)3的展開式的通項(xiàng)是Cm-(2x)m=Cm-2m-xm,33(1x)4的展開式的通項(xiàng)是Cn(x)n=Cn1nXn,其中m=0,1,2,3,n=0,1,2,3,4,44令m+n=2,則m=0且n=2,m=1且n=1,m=2且n=0,因此(1+2x)3(1x)4的展開式中x2的系數(shù)

11、等于Co2oC2(1)2+C121C1(1)1+C222Co(1)0=6.343434練：求(1+證)6(1+丄)10展開式中的常數(shù)項(xiàng)4x解：(1+3庁)6(1+丄)10展開式的通項(xiàng)為Cmx復(fù)Cnx-4=CmCnx124x6106104m3nIm=0,Im=3,Im=6其中m=O，1，2,6,n=。丄2,，10,當(dāng)且僅當(dāng)4m=3n，叫n=0,叫n=4,或n=8,時得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C0C0+C3C4+C6C8=4246.6106106101練：已知(1+x+x2)(x+一)n的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng),ngN沮2n&則n=.x31解：(x+)n展開式的通項(xiàng)為Crxn-rx-3r=Crx-4r,通項(xiàng)

12、分別與前面的三項(xiàng)相乘可得x3nnCrxn-4r,Crxn-4r+1,Crxn-4r+2,.展開式中不含常數(shù)項(xiàng)2n8nnnn豐4r且n豐4r+1且n豐4r+2,即n豐4,8且n豐3,7且n豐2,6,/.n=5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例：在(x-72)2006的二項(xiàng)展開式中含x的奇次幕的項(xiàng)之和為S,當(dāng)x=Q時,S=解：設(shè)(xJ2)2006二a+ax1+ax2+ax3+ax200601232006(x一：2)2006二aax1+ax2ax3+ax200601232006得2(ax+ax3+ax5+ax2005)=(xr2)2006(x+邁)20061352005(x-J2)2006

13、展開式的奇次幕項(xiàng)之和為S(x)=丄(x-2)2006(x+20061當(dāng)x=運(yùn)寸,S(再=-G/2-邁)2006-(邁+、2006=23x200622=230082題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式(33庁+)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為S,若xp+s=272，則n等于多少？1解：若(3襯x+)n=a+ax+ax2+-+axn，有P=a+a+a，S=C0+Cn=2n,x012n01nnn令x=1得P=4n，又p+s=272，艮卩4n+2n=272n(2n+17)(2n16)=0解得2n=16或2n=-17(舍去)，二n=4。n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少？(解：令x=1，貝U3Jx-n的展開式中各項(xiàng)系