2022年高考數(shù)學(xué)沖刺講義專(zhuān)題 3.1 1 函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

1、專(zhuān)題3.11函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題i.由零點(diǎn)求參數(shù)的值或取值范圍的常用方法與策略：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中 畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解：(3)分類(lèi)參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿(mǎn)足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解 法為從/(x)中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù) 題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍；(4)分類(lèi)討論法：一般命題情境為沒(méi)有固定的區(qū)間，求滿(mǎn)足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍， 通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定

2、參數(shù)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 是否符合題意，將滿(mǎn)足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.2.判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法與策略：(1)直接法：令/(x) = 0,如果能求出解，那么有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)：(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理：利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理時(shí)，不僅要求函數(shù)的圖象 在區(qū)間玨上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，并且還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性 質(zhì)，(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；(3)圖象法：畫(huà)出函數(shù)/(x)的圖象，函數(shù)/(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù) f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)，(x)和g(_r)的形式，根據(jù) /(x) = O = (x

3、) = g(x),則函數(shù)/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y = /i(x)和y = g(x)的 圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)；(4)利用函數(shù)的性質(zhì)：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到，若所考查的函 數(shù)是周期函數(shù)，則需要求出在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)周期性則可以得出函數(shù)的零 點(diǎn)個(gè)數(shù).【預(yù)測(cè)題1己知函數(shù)/(*) =依一xlnx在(0,+8)上的最大值為1.(1)求外幻的解析式;(2)討論函數(shù)/(x) = /(%)-cos尤在e,+8)上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(I) /(x) = x-xlnx； (2) 1 個(gè).【解析】(1)由/(x) = fcc-xlnx,得/= A 1-lnx,函數(shù)在(0, +8)上行最值

4、，可知函數(shù)不是單調(diào)函數(shù).令/'(x)>0,得0<x<ei：令/'(x)<0,得x>e"L所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,ei),單調(diào)遞減區(qū)間是(dL+oo).故/(x)在x = e*-'處有極大值/(十)=eJ ,也是的最大值，所以ei=l,所以攵=1,故/(x) = x-xlnx.(2)因?yàn)?(xjux-cos九一xlnx,所以 jF'(x) = sinx-lnx,設(shè)(x) = sinx-lnx, (1)當(dāng)xe(e,+oo)時(shí)，所以人(%)=尸力<0,所以尸(x)單調(diào)遞減.333又尸(e) = -cose>

5、0, F( n) = 7c(l-ln n)<0,37r從而尸(x)在(e,y)上存在唯零點(diǎn).也即在(e,中»)上存在唯一岑點(diǎn).JT(2)當(dāng)X£(g,e時(shí)，/2z(x) = cosx-<0,所以尸'(X)隹©,e上單調(diào)遞減, x2因?yàn)?(e) = sine-1 <0, Fr(-) = l-ln->0, 22所以存在/e(5,e,/(毛) = 0,且在fl，/)上尸'(x)>0,在(x(),e上尸(x)<0 ,所以尸(%)為尸(x)在g,e上的最大值，JTTTTT因?yàn)?E(e) = -cose>0, F() =

6、 (1-ln) >0, 222所以尸(x)在(5,e卜.恒大于零，無(wú)零點(diǎn).綜上，函數(shù)F(x)在成，收)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.【名師點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是求出了(X)的單調(diào)區(qū)間，確定最值，討論尸(X)的單調(diào)性，考查了討論思想、數(shù)學(xué)運(yùn)算, 綜合性比較強(qiáng).【預(yù)測(cè)題2】已知函數(shù)”x) = 3(x-l)e'-或有兩個(gè)不同的零點(diǎn)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1 )當(dāng) XV-1 時(shí)，求證：(工_)«1_&3；(2)求實(shí)數(shù)&的取值范圍； 若函數(shù)/(X)的兩個(gè)零點(diǎn)為百、X-求證：e'+d<e.3【答案】(1)

7、證明見(jiàn)解析：(2) -<k<0-. (3)證明見(jiàn)解析.e【解析】(1)當(dāng)x<l時(shí)，要證(x 1”1一eT，只需證明"一1"丁+1>0-令x-l = f，則f<-2.設(shè)g(f) = fe5+l,=+當(dāng)r<2時(shí)，g'")<0,在(一8,-2)上，g(f)為單調(diào)遞減函數(shù)，2此時(shí)g«)>g(2) = 1>0,所以原不等式成立.e(2)/'(X) = 3旄"當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，/,(x)>0.可得/(X)在(,0)上為單調(diào)遞減函數(shù)，在(0,+/)上為單調(diào)遞增函數(shù)，

8、所以/(以=/(。)= -3-或.(，')當(dāng)一業(yè)23時(shí)，/(*)“而20,不合題意；(")-ek W 0 時(shí)，/(1) = ek,若x<l，fx<-ck, %>1，/(x)2-狄，此時(shí)/(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)；(")當(dāng)0<e左<3時(shí),/(0)<0, /(1)>0,所以/(X)在(0,1)上有唯一的零點(diǎn).因?yàn)楫?dāng)x<-l時(shí)，由(1)得2，由_ 或 > 0 得 x < 2/(一或)+1,取/滿(mǎn)足/ < 一1且%)< 2勿(一或)+1,則/(%) > 0,3所以“力在(F,l)上有唯一的零點(diǎn)，綜上一

9、工vZ<0.(3)由題得3(玉一1),=ek,3因?yàn)?lt;左<0,所以王<一1,元2 <一1，曷一|(*2 - 1)*t >-e 2由(1)得當(dāng) XV-1 時(shí)，(>_0 2所以+*因?yàn)榘?lt;一1,所以轉(zhuǎn)<0,所以0<e* <,為+1 'l+le 2 e 2<(:+-:),1 Xj 1 %211< 1 Xj2幣+1*2+1.+1必+1所以二<1,同理£2_<,，所以上L + H<i<e，所以C+e* <e.%1 - 1 21x2 21 - X| 1 - x2【名師點(diǎn)睛】解答本題

10、的關(guān)鍵是第(3)問(wèn)，關(guān)健一，是能靈活運(yùn)用第(1)問(wèn)的結(jié)論；(2).V1 +1關(guān)鍵二，是能證明"_<_L.王-1 2【預(yù)測(cè)題3】己知函數(shù)f(x) = lnx+ + l.(1)若函數(shù)/(x)在l,e上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;(2)討論函數(shù)/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)(0,1 ； (2)答案見(jiàn)解析.【解析】(I) ."(X)的定義域?yàn)?O,+8), ./'(x) = *20在xel,e上恒成立,.a<(x)in，n =1,因此 實(shí)數(shù)。的取值范圍是(田；(2)由/(x) = lnx+曰+ 1 = 0, uj得a = -xlnx-x ,令g(x) =

11、-xlnx-x ,其中x>0, g'(x) = -lnx-2, 令g'(x)=。，可得尤=二，列表如下：X(響Ie2戰(zhàn)g)g'(x)+0g(x)單調(diào)遞增極大值二單調(diào)遞減作出函數(shù)g (x)與直線(xiàn)y = a的圖象如卜圖所示:當(dāng)0<x一時(shí)，g(x) = -x(lnx+l)>0；當(dāng)x>，時(shí)，g(x) = -x(lnx+l)<0. 由圖可知，當(dāng)或a=±時(shí)，函數(shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<“<。時(shí)，函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a，時(shí)，函數(shù)/(x)沒(méi)有零點(diǎn).綜匕所述：當(dāng)或a =5時(shí)，函數(shù)/(X)只有個(gè)零點(diǎn)："10 <

12、a < /時(shí)-，函數(shù)/ (x)有兩個(gè)專(zhuān)點(diǎn)；0>時(shí)，函數(shù)/ (x)沒(méi)仃零【預(yù)測(cè)題4】已知函數(shù)/(x) = _xe'-ax.(1)若/(x)在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)設(shè)g(x) = /(x) x2,若g(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求。的取值范圍.【答案】(I )18,- ； (2) 一,1 <J(1,+oo).【解析】f'(x) = e，+xe，-a,若x)在R上單調(diào)遞增,則r(x)“，即e'+xe'Na.設(shè)力(x) = ex + xev,則 /?' (x) = (x+2)ev,令"'(x) = 0得x = 2,當(dāng)

13、xv2時(shí)，/(x)<0,當(dāng)x>2時(shí)，Ax)>0,所以/l(x)之(-2)= -y ,因此。的取值范圍為1-8,-5.(2)由題意 g(x) = xe' - axx2,貝ij g'(x) = e* + xe' - a-ax = (e、-a)(x+l).若a 40, g'(x), g(x)隨X變化的情況如下表:X(-00,-1)-1(-1,+00)g'(x)一0+g(x)%極小值此時(shí)g (x)不可能有三個(gè)零點(diǎn).若a>0，令g'(x) =。，得x = lna或x = -l.若lna>T,即a>5，g'(x),

14、 g(x)隨x變化的情況如下表：X(-00,-1)-1(-IJntz)Ina(in +oo)g'(x)+0一0+g(x)*極大值極小值/耍使g(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，需<g(-l) =+g。,、e 2xq 21得a一且awl .g(lna) = -(Ina)2 0,、2若lna = 1，即a =1，此時(shí)g'(x)NO, g(x)單調(diào)遞增，不可能有三個(gè)零點(diǎn).若lna<l,即0<a<：, g'(_x), g(x)隨x變化的情況如下表：X(-oo,lntz)-1(-l,+oo)g'(x)+00+g(x)極大值*極小值/要使g(x)行三個(gè)不同的零

15、點(diǎn)，椅g(T)=+ S<0，e 2 無(wú)解. g(lna) = -y(lna)1 2 >0,a的取值范圍是,+<»綜上所述: 【名師點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式恒成立和零點(diǎn)問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍，本題第二問(wèn)的關(guān)鍵 是求導(dǎo)后討論的思想的應(yīng)用，分和。0兩種情況討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，*。0時(shí)，還 需討論極值點(diǎn)的大小關(guān)系.【預(yù)測(cè)題5】已知函數(shù)/(x) = lnx+ a.(1)函數(shù)/(x)的圖象能否與x軸相切？若能與x軸相切，求實(shí)數(shù)。的值；否則請(qǐng)說(shuō)明理 由：/、 / 、 1 1(2)若函數(shù)/(X)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)X、w(°石w)，求證：9 + 一 【答案】(1)能，a =1； (

16、2)證明見(jiàn)解析.【解析】(I)假設(shè)函數(shù)/(x)的圖象能與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則毛0,T = 0 天)升)由題意可得/(x0) = lnx0+ + a = 0,解得<xo% =1a = -Xj x2x0 >0x2 -x,所以中2 =n五要證 + >2 9只需證為+2% >3百工2，3(x9 %.)r 虧十 2x? +X. > 只需證 2n X1.因?yàn)?<玉<，所以2>1,從而lna>0只需證In巧、35一王) >2x2 + x,只需證m強(qiáng)丙生_ + 2 -黨">1),則(叱-9_4r-5r + l+ 爐( + 2

17、)2( + 2)2>0,% * *113所以函數(shù)(。在(i,+°°)上增函數(shù)，從而(r)>(l) = 0,所以 + >-.LX?/【預(yù)測(cè)題6】設(shè)。為實(shí)數(shù)，M f(x) = ex-ax.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值:(2)若函數(shù)/(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.【答案】(I)答案見(jiàn)解析:【解析】(1)函數(shù)f(x) = e*-ar,故/'(x) = e*-a.若a V0,則/'(x) > 0,所以/(x)在(fo, +8)上單調(diào)遞增，無(wú)極值:若 a>0,則當(dāng) x(-8,lna)時(shí)，f'(x) <

18、0,當(dāng) xe(lna,+8)時(shí)，f'(x) > 0,所以/(x)在(-8,Ina)上單調(diào)遞減，(Ina,+8)上單調(diào)遞增，則于(x)的極小值為f (In a) = elna 一 a In a = a - a In a ,無(wú)極大值；(2)由(1)知，a40, /(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故不滿(mǎn)足題意:當(dāng)0<。41時(shí)，由xe(0,2),則/'(幻=/一。>0,/(外單調(diào)遞增，無(wú)極值，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故不滿(mǎn)足題意； 當(dāng)a>l時(shí)，由(1)知0<lna<2時(shí)，f(x)的極小值為/(lna) = a-alna,7(o)&g

19、t;0/(lno)<0乂/(x)在(0,2)上存在兩個(gè)零點(diǎn)，故,/>00<lna<2fl>0a a In a < 0c 2。> 0綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【預(yù)測(cè)題7】已知函數(shù)/'(x) = |lnX+ax(a<。).(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：(2)若函數(shù)/(X)恰好有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)一1<。<0時(shí),函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)速減，在區(qū)間1, 調(diào)遞增，在區(qū)間+8上單調(diào)遞減；當(dāng)。4一1時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞 減；(2) <。<0.e【解析】函數(shù)"

20、;X)的定義域?yàn)?0,+8),由 /(x) = |ln x| + ar = <lnx+ar,x> 1-lnx+ax,0< x< 1山丁 a<0,則一，+ a<0,即在區(qū)間(0,1)上/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減;X(,4)aMTr(x)+0增減當(dāng)aWl時(shí)，- + tz<0,即在區(qū)間l,+oo)上/'(x)W(),函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)一 l<a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,一：)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(一：,也)上單調(diào)遞減；當(dāng)-1<<0時(shí)，/(l) = 6Z<

21、0,/(e") =ln(e")+ad=a(e"-l)>0(0<e"<l 在區(qū)間(0,1)上恰好存在一個(gè)考點(diǎn)：在區(qū)間1,+<»)上存在兩個(gè)零點(diǎn)，需要保證/(一!) 且此時(shí)y(i)=a<o, /(一B)>0在區(qū)間(i，-J 同時(shí)4>一- ,2Inf + ,aa ya- J a) a設(shè)/ = 一一>e,對(duì)于函數(shù)y = 21nf-f, >/ = <( a1故/(二)<0,且/(_L>0，在區(qū)間(一J,+81( 1A總之，當(dāng)一一<。<0時(shí)，在區(qū)間(0,1)、1 1,-1.

22、)1=In1 1>0,即1<a v0 ,-|上存在一個(gè)零點(diǎn)，),yv21ne-e = 2-ev0,上.存在一個(gè)零點(diǎn).(一 J，+8)上各存在一個(gè)零點(diǎn).(2)結(jié)合第(I)問(wèn)冷案，只仃節(jié)一1<。<0時(shí)函數(shù)x)才可能存在三個(gè)冬點(diǎn):當(dāng)aW-1時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)I二單調(diào)遞減.【名師點(diǎn)睛】尋找零點(diǎn)方法：求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)；由單調(diào)區(qū)間找到零 點(diǎn)發(fā)生的大致區(qū)間；在特定區(qū)間上尋找合適的值，運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理確定理.【預(yù)測(cè)題8已知函數(shù)/(x) = 2x/na-(x + a)/nx.(1)當(dāng)a = e時(shí)，求曲線(xiàn)y = /(x)在x=|處的切線(xiàn)方程：(2)討論函數(shù)

23、/(©的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(I) (l-e)x-y + l+e = O； (2)答案見(jiàn)解析.【解析】(1)當(dāng)a = e時(shí)，/(x) = 2xlne-(x + e)-lnx = 2x-(x+e)-Inx ,定義域?yàn)?0,e)，r(x) = 2-lnx-,又/=2,=1e,X所以曲線(xiàn)y = /(x)在4 = 1處的切線(xiàn)方程是y-2 = (l-e)(九一 1),即(l-e)xy+l + e = 0：r 4- /7(2)顯然。>0,函數(shù)的定義域?yàn)?0,+ 8), fr(x) = 2na-nx，x令 g(x) = r(x) = 2 In a In x 火 + a , 則 g'(x

24、) = _，+ 二=，XXX" X當(dāng)Ovxva時(shí)，g'(%)>0,當(dāng)時(shí)，g'(x)vO,所以g(x)在(0,。)上單調(diào)遞增,在(a+8)上單調(diào)遞減,所以g(x)有最大值g (。) = In。- 2 ,當(dāng) lna 2W0，即時(shí)，(a)<0,于是 g(x)KO,即 f(x)WO,所以在(0，+ 8)上單調(diào)遞減，又/()=。，所以/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)lna-2>0，即時(shí)，g()>0, (l) = 21na-l-a,22-a令(a) = 2lna - l a(a>e2) 則h'(a) 1 =<0a a所以"(a)在(/

25、,+ 8)上單調(diào)遞減，/z(a)<4-l-e2=3-e2<0,所以g vO；2 .2 .g” / 2、 ci 12a + aa + a 八所以 g(a) = 2 In a - In = < 0,a a-乂 g(a)>O|.g(x)在(0, a)上單調(diào)遞增，在(a,+ 8)上單調(diào)遞減, 所以存在X| G(l,a),使得g(X) =。，存在X2G(a, a2),使得g(X2)= 0,所以當(dāng) 0<x<X| 時(shí)，f'(x) < 0 ,當(dāng) X1<x<x?時(shí)，fx) > 0 ,當(dāng) x>x?時(shí)/'(x)<0,即/(x)在

26、(0，%)上單調(diào)遞減，在(用，工2)上單調(diào)遞增，在(X2，+ 8)上單調(diào)遞減，又/(。)=。，且X <”，所以"X)在(不七)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，且/()<°、/5)>°，又 /=2 In a > 0, f(a2) = 2a2 na-(a2 + a) In a2 =-2alna<0,所以/(X)在(0,芭)與(*2，+ 8)內(nèi)均有唯一零點(diǎn)，故當(dāng)a > /時(shí),函數(shù)/(x)有三個(gè)零點(diǎn),因此當(dāng)0<aWe2時(shí)，函數(shù)/(x)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a>e2時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).【名師點(diǎn)睛】本題的第2問(wèn)的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)/(X)的：次求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的

27、最大值的正負(fù)性 進(jìn)行分類(lèi)討論求解.【預(yù)測(cè)題9】已知函數(shù)，(x) =-力Inx ,其中aNl, beR.(1)當(dāng)時(shí)，證明不等式lnxWa<x-l)恒成立；(2)若2>e(e = 2.718)，證明/0)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn). a【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.1 njr【解析】(1)令m(x) = lnx。 ,則6<%) =,X當(dāng)xNl時(shí)，加(x)W。，所以加x)在口，+ 8)上單調(diào)遞減，所以m(x) < m(l) = 0,即不等式In x 4 a(九一 1)恒成立；(2) fCO 的定義城為(0，+ 8),且 r*) = a(x 1)靖+/ '二匕、XX

28、令 g(x) = a,f ex-b , gx) = ax(x + 2)ex > 0 ,則 g(x)在(。，+ 8)上單調(diào)遞增,bh當(dāng)一>e時(shí)， 所以 g(l) = ae v0 , aa八 b、八b、?in-八b、？b., r 八b、?g(ln ) = q (In )2-e 一人=o (In )b =仇(In )2 -1 >0 *aaciaa故g(x) =。在(0, + 8)上有唯一解，從而/'(x) = 0在(0, + 8)上有唯一解,h不妨設(shè)為小,貝收a當(dāng)x £ (0, Aq)時(shí)，(%) = <以。=0 ,所以/(x)在(。，%)上單調(diào)遞減， X X

29、當(dāng)工(知+ 8州寸，r(X)= W">里以=0,所以/(X)在(如+00)上單調(diào)遞增， X X因此X。是/(X)唯一極值點(diǎn)，因?yàn)?<1<%，所以/(/)</=。，即/(x)在(0, %)上有唯一零點(diǎn)，bb in-h/(In-) = a-(In一一l)e "力ln(ln) a aabbbbb= a(ln-l)-/pln(ln-) = Z?ln-l-ln(ln-), aaaaabbbb因?yàn)?In >1,由(1)可知 In 1 > ln(in),所以/(In)0,aaaa即/。)在(如+ 8)上有唯.零點(diǎn)，綜I：, )(X)在(0,+ 8)上有

30、且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【名師點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)證明(1)的結(jié)論，利用(1)的結(jié)論證明(2).【預(yù)測(cè)題10】已知函數(shù)/(x) = aei-lnx+lna -1,其中a>0, e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是(0/)，單調(diào)遞增區(qū)間是口,沖)；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】(D當(dāng)a = l時(shí),/(x) = ex-'-lnx-l ,函數(shù)析x)的定義域?yàn)?0,+8)所以r(幻=。7-1(%>0),設(shè) g(x) = ei-1(x>0),則 g'(x) = ei+4>0 XXX

31、所以函數(shù)/'()=/“一上在(。，茁)上單調(diào)遞增. XX/,(D = e°-l=0,所以當(dāng) 0<x<l 時(shí)，f'M<0.當(dāng) x>l 時(shí)，f'(x) > 0所以當(dāng)a = l時(shí)，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是LKO).(2)當(dāng)a = l時(shí)，山(1)可知,函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是口,+8),所以/(X)min=/XD=°，所以函數(shù),(X)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，f(x) = aex-' - In X + In -1 > e- In x -1 > 0 ,所

32、以函數(shù)/CO 沒(méi)有零點(diǎn).當(dāng) 0 V。< 1 時(shí)，/'(X)= ae' 1 (x > 0),設(shè) h(x) ae' 1 (x > 0),則 '(x) ae' 1 4r- > 0» XXX所以函數(shù)fx) = aez 一,在(0, +00)上單調(diào)遞增， X11-11-1又/'=。_1<0，f'(一) = ae" -a = a(ea -1)>0» a所以存在七 6 (l,i),使得f'(XQ ) = 0, a當(dāng) 0c xv % 時(shí)，/'(x) < 0 ；當(dāng)x&g

33、t;%o 時(shí)，fx) > 0 ,所以函數(shù)fix)在(0, X。)上單調(diào)遞減，在(七, 48)上單調(diào)遞增.又/'(l) = a + lna-l 且。<。<1,所以。一1<0，ln«<0.所以/(l)<0.令西=,則 < 1 且/(X1) = /(g) = aee ' >0.令 x, =(2/ =3 , eea ar1-44-i4-i則七 > > 1 且 f(x2) = f (r) = aea -In -+-Ina-1 = ae+31n-1 - 21n2 . aacr卜面先證：er', > x(x

34、> 1),令，(x) = e'7-x(x>l),則(x) = ei -1>0故函數(shù)f(x)在(l,+o。)上單調(diào)遞增，所以心)>e-1 = 0 ,所以ei>x(x>l)A-1A4助以/(為)= /(-?) =+3In«-l-21n2>a+ 31n6z-l-21n2 = - + 31nt7-l-21n2.aaa44 3 3_4令 r(a) = + 31na l-21n2(0<a vl),貝ij ra)=-+ =-<0 aa a a"所以函數(shù)«)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以"a)>4 + 3

35、1nlT-21n2 = 3-21n2>04ci4所以/(二)>o，所以函數(shù)/(X)在(-,1)和(1,二)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)， aea所以函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)。>1時(shí)，函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)：'"ia = l時(shí)，函數(shù)/(x)仃IL僅有一個(gè)零點(diǎn)：力0<。<1時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【預(yù)測(cè)題11】已知函數(shù)/(x) = (x-2)e*-ax + alnx, x>,其中aeR, e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)a = 2e?時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a 20時(shí)，求證：函數(shù)了。)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是U,2,單調(diào)遞增

36、區(qū)間是（2,+8）； （2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)當(dāng)a = 2e2時(shí)，/(x) = (x-2)er-2e2x + 2e2Inx,則 fx) = (x- l)e' - 2e2 + = (x- l)(eJ -), XX因?yàn)?x21,所以當(dāng) 1KxW2 時(shí)，/(x)<0,當(dāng) x>2 時(shí)，fx) > 0,所以函數(shù)/(x)在1,2上單調(diào)遞減，在(2, +8)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是1,2,單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+8).(2)證明：因?yàn)?(x) = (x-2)e*-ax + alnx,所以 fx)= (X- l)ev -a+- = (x-l)(e' -

37、). XX(1)當(dāng)。=0時(shí)，令/(x) =。，則(x-2)e*=0,得x = 2,即函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x = 2；(2)當(dāng)。>0時(shí)，令g(x) = eX-, gx)=e'+=>0, XX故g(x) = e* 3在口,內(nèi))上單調(diào)遞增. x當(dāng)。=e時(shí)，/(x) = (x-2)er -ex + elnx ,則 /r(x) = (x-l)(er-), x當(dāng)xNl時(shí)，f'M>0,所以/(X)在L+OO)上單調(diào)遞增，fi/(l) = -2e<0, /(3) = e3-3e + eln3>0,則存在須e(l,3),使得%)=0,所以函數(shù)/(X)有且僅有

38、一個(gè)零點(diǎn)x = M.當(dāng)0<a<e時(shí)，因?yàn)間6 = e-a>0,所以當(dāng)xNl時(shí)，r(x) = (x-l)(er-)>0 , %所以/(X)在L+OO)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>e時(shí)，因?yàn)間6 = e-a<o, g(a) = e"-l>0,所以存在不(1,。)，使得g(%)= e*-巴=0,所以當(dāng) 工(1,飛)時(shí)，f'(x) < 0 ,當(dāng)xw(Xo，+oo)時(shí)，f'(x) > 0,則/(x)在(1,與)上單調(diào)遞減，在(/，+8)上單調(diào)遞增， 因?yàn)镈 = -e-a<0,所以當(dāng)0<，<e或a>e時(shí)，函數(shù)/(

39、x)在l,+o。)上至多有一個(gè)零點(diǎn). 而 f(a + 2) = aea+2 - a(a + 2) +。ln(a + 2) = aea+2 + n(a + 2) - (a + 2),令，= a + 2 , /?(r) = er + lnr-r(/>2)»則”(，) = e'+l - l(f>2),則 “«)>0,故/?«)在(2,例)上單調(diào)遞增, t所以6(r)>e2+ln2-2>0,即f(a + 2)>0,故存在 w(La+ 2),使得/(±) = 0,所以函數(shù)fx)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x =.綜上所述：當(dāng)aNO時(shí)

40、，函數(shù)3有且僅有一個(gè)零點(diǎn).,【預(yù)測(cè)題 12已知函數(shù)/(x) = -x +(a-l)x-alnx(a#O).(1)當(dāng)aN；時(shí)，證明：/(x)>0；(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(I)證明見(jiàn)解析：(2)(0,()【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),又 r(x)= x+(a_l)上=(x+a)d), XX因?yàn)閍?g>0,所以令/'(x) = 0,得x = l./'(x), /(x)的變化情況如下表：X(0,1)1(1,+8)/'(X)0+小)極小值/所以當(dāng)x = l時(shí)，“X)取得極小值，也是最小值,即人北由:/二一:口所以當(dāng)“之

41、:時(shí),x)N0(2)當(dāng)a>0時(shí)，由(D可知，當(dāng)x = l時(shí)，/(x)取得極小值/:。一；.又由(1)知，當(dāng)時(shí)f(x)20,要使得/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則/=。，<0,即0<":,此時(shí)/(2) =。(2 ln2)>0, 22(1-LA f e a7所以/a當(dāng)一 1</'(X)，1 2 二=e " + ()在a<0時(shí)，4.f(x)的變4，1、C i-Y)e a -a 1> (a-1) e 0 -1V a)和(1,2)上各有一個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足題意.> fx) 0 ,得 X = 或工2 = 1 .二情況如下表：>0X(0, a

42、-a1(L+x)r(x)+0一0+/(x)/極大值極小值/當(dāng) x = -a時(shí),)(可取得極大值/(一。)=一5a1 + a a ln(-a) = aa + l ln(a) a»令"(a) = 一-a + l-ln(a)(-l < a <0),則 u'(a) = -="+ > 0, 22 a 2a所以在(一1,0)上，“(a)單調(diào)遞增，3因?yàn)?“(a) > w(-l) = ->0,所以 /(-«) = au(d) < 0,所以/(x)不可能有兩個(gè)零點(diǎn).N0,當(dāng) a = -1 時(shí) f'(x) =(XT)一在

43、(O,+8)t, /(X)單調(diào)遞增*所以不可能有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)4<一1時(shí)，/'(x), /(X)的變化情況如卜表：X(0,1)1(1,-a)-a(-«,+<»)/'(x)+00+.f(x)/極大值極小值/當(dāng)X = 1時(shí)，/(x)取得極大值/6 =。一；<0,所以“X)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，若/(X)仃兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,；).【名師點(diǎn)睛】借助導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間，研究最值情況，帶參問(wèn)題需要分類(lèi)討論，從而確定函 數(shù)零點(diǎn)情況.【預(yù)測(cè)題 13】己知/(x)= in(l + x) + 2cosx-(l + x)T，g(x) = co

44、sx - l + 6 .(1)若g(x)N0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；(2)確定/(x)在(-1,萬(wàn))內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1) a> (2) /(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn).2(解析(1)因?yàn)?g(x) - cos(-x)-1 + a(x)2 = cosx-1 + ax2 = g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，故只需g(x) N 0在0, +00)上恒成立即可,由 g(yr)NO知。>0，g'(x) = -sinx + 2ar,令(x) = -sinx+2ar,則力'(x) = -cosx+2a ,若2。21,則"(x)N0, g'(x)在(0,+oo)

45、上單調(diào)遞增，.g'(x)>g(0) = 0,所以g(x)在0,+8)上單調(diào)遞增，.g(x)Ng(0) = 0,故滿(mǎn)足條件.若0<a<g,則存在h'(xo) = O,當(dāng)X(0,%)時(shí)，h'(Xu)<0, g'(X)單調(diào)遞減, g'(x)<g'(O) = O. g(x)在0,+8)上單調(diào)遞減，g(x)<g(O) = O,不成立，故0<。<!不滿(mǎn)足條件，所以所求a的范圍為a 2工.221_21_2(2) f'(x) =2sinx + (14-x) -當(dāng)無(wú)=0時(shí)，y = l,當(dāng)工=2時(shí)，y = *

46、+1x()2 =14- >0,.令0(x)=2sin尤+ (1 + x) ,1 + x21 + x213-(px) =- 2 cos x(1 + x) 2,(1 + x)4當(dāng)無(wú)(-1,0時(shí)，0(x)<O, /'(x)單調(diào)遞減，/,(x)>/,(0)>0, f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)又/(0) = 1>0,3=-21n2 + 2cos 2 < 04"(x)在(-LQ)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn);時(shí),可以證明ln(l + x)>x Yll 1 (1)知cosX > 192/(x) > X + 2X1 .2+ X11 +x+1_3x2>x+

47、1_3x2設(shè) y = X+l -，2, 2則 y' = l-3x,所以f(x)>x+l-故/(x)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn);jjr由 y'>0得0<x(一，由 y'<0,得一<xW, 333Q|1所以 y = x-¥ x"在(),)上增,(,上減， 71 71I 71 當(dāng)xe 時(shí)，/(x)<0, /(X)單調(diào)遞減，r(x)<r § <0. /(X)單調(diào)遞減,/”圖>0,故F(x)在(U無(wú)零點(diǎn)；當(dāng) xJl，% 時(shí)，-l + -(l + x)-<0, /*)單調(diào)遞減， 1261 + x22又/O 出

48、（1 +一癢（1 +1）21n2_石0, “在住到內(nèi)恰有一零點(diǎn):當(dāng)xe（K，）時(shí)，/（x）0, /'（x）單調(diào)遞增，又/'（乃）0.0 ,所以存在唯一/e停，fxo） = O,當(dāng)時(shí),f'（x） 0 , /（x）遞減,當(dāng)xe (%,)時(shí),fx) > 0,f(x)遞增,f(x)V max/,/(乃)><0, f(x)在57r,兀6內(nèi)無(wú)零點(diǎn);綜上，"X）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，【名師點(diǎn)睛】（2）中，兩次求導(dǎo)，對(duì)x分類(lèi)討論進(jìn)行求解是解題關(guān)鍵.【預(yù)測(cè)題14】已知函數(shù)4x） = lnx-gox2 + （1）若曲線(xiàn)y = /（x）在x = l處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x-y =

49、 0垂直，求函數(shù)y = /（x）在（0,1最大值;（2）當(dāng)。=1時(shí)，設(shè)函數(shù)/（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為4X2,試證明：x,+x2 2.6 I【答案】（I） In注+上；（2）證明見(jiàn)解析.22【解析】（1）函數(shù)"x） = lnx - g"2 + i的定義域?yàn)椋?收），r（x） = g-ox,），=/（%）在尤=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)工一曠=0垂直，1-。= 1 =。= 2,由/'（X）=4-2x = 0,x = 乂2 （負(fù)值舍去）， x2所以函數(shù)/（X）在0,上單調(diào)遞增，在-y.l單調(diào)遞減，（五、 r 1故/（x）有最大值/+5.1 _大2（2）當(dāng)。=1 時(shí)，f（x） = Inx-

50、x2 + -f'（x） = -.2 x函數(shù)/（x）在（。,1）單調(diào)遞增，在（1,內(nèi)）單調(diào)遞減.且/ >0J（e）<0J（£j<0,故函數(shù)/（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為3,占滿(mǎn)足0<%<1<%，令"x） = /（x） f（2x）,0<x<l,p（x）=r（x）+r（2-x）=±X+匕生立=絲二立 >0 在（0,1）恒成立，x 2-xx（2-x）所以尸（x）在（0, 1）遞增，/?（九）<1） = 0在（0,1）恒成立，所以一），又/（%） = /（毛），所以工2）</（2玉），因?yàn)槊?gt;1,2-七&

51、gt;1,又/（X）在（1,+8）單調(diào)遞減，所以 > 2 - X,即 X, + 彳2 > 2 .【名師點(diǎn)睛】對(duì)稱(chēng)法解決極值點(diǎn)偏移的基本原理是利用函數(shù)的單調(diào)性，把耍證明的 無(wú)I+工2 > 2*0 （ X。是極值點(diǎn)）轉(zhuǎn)化為證明為>2%-芻，再轉(zhuǎn)化為/（芭）/（2七一馬）（根 據(jù)單調(diào)性不同，表示不同的大小關(guān)系），又根據(jù)/（xj = /（9）,可以轉(zhuǎn)化為證明 /（w）/（2/一%）,而%是固定的，是變量，這樣就把一個(gè)雙變量不等式轉(zhuǎn)化為r 單變量不等式，從而以X,為未知量來(lái)構(gòu)造函數(shù)證明不等式即可.【預(yù)測(cè)題 15已知函數(shù)/（x） = -x3 -ar2 +3x + Z?（6（,Z?e

52、 R）.（1）當(dāng)a = 2, b = 0時(shí)，求x）在0,3上的值域；2（2）對(duì)任意的b,函數(shù)g（x） =/（x）-§的零點(diǎn)不超過(guò)4個(gè)，求。的取值范圍.-4【答案】（1） 0,- ； （2） -2<a<2.【解析】(1)由/()=一/ 一2丁+3x ,得/'(x) = x2-4x+3 = (x-1)(x-3).當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/'(x)0,故/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增：當(dāng)xg(1,3)時(shí)，/'(x)<0,故在(1,3)上單調(diào)遞減.4_4又。)=3)= 0, /(1)= -,所以力在。,3上的值域?yàn)?,-；(2)由題得/'(x) = x2-2or+3, A = 4a2-12.當(dāng)AKO,即.2