2022年高考數(shù)學必做題及答案解析

1、2022年高考數(shù)學考前必做題1.如圖所示，在四棱錐P-A8CO中，雨，平面4BCO,底面48co為菱形，ZABC= 60° ,M, N分別為AB, PC的中點.(1)證明：MN平面以£)；(2)當PC與平面以8所成角為45°時，求二面角N -8的余弦值.【分析】(1)取PO的中點G,連接NG, AG,證明四邊形AMNG為平行四邊形，得到MN/AG,然后由線面平行的判定定理證明即可；(2)建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù) 法求出平面MNQ的法向量，由向量的夾角公式求解即可.【解答】(1)證明：取PO的中點G,連接NG, AG,

2、因為N為尸C的中點，則 NGCQ,且 NG=：CQ,又四邊形4BCC為菱形，且M為A8的中點，所以 AMCZ),且所以 NGHAM 且 NG=AM,故四邊形AMNG為平行四邊形，貝ij MN/AG,又AGu平面PAD, MNC平面PAD,所以MN平面PAD,(2)解：連接 CM, PM,因為/ABC=60° ,則ABC為等邊三角形，又點M為AB的中點，所以CMLA8,因為以，平面A8CD,又CMu平面4BCD,所以 PAI.CM, 又以CA8=A, PA, A8u平面以8,故CM,平面PAB,則/CPM為直線PC與平面PAB所成的角，所以NCPM=45° ,故 PM=CM,

3、設 AB=2,則 PM=CM= V3,又以2+4序=尸序，EPP/12 + I2 = (V3)2,解得網=四，以點A為坐標原點，建立空間宜角坐標系如圖所示，所 以 P(0, 0. V2), 8(遮，-1, 0), C(V3, 1, 0), D(0, 2, 0) , M卷,-故而=(0, 1, 號,ND = I，0), 設平面MND的法向量為蔡=(x, y, z), 則日麗=0,即卜子=。，m MD = 04- 1y = 0令 y= 1,則 =, z = -V2,故n =，1， x2)»又平面8M。的一個法向量為薪=(0, 0, 1),>所以|cos<h, m>| =

4、 > |n-m| _ V2|n|m| 厝+1+2x1>/51 Yf由圖可知，二面角N -8為銳二面角,V51故二面角N-MD-B的余弦值為【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面平行的判定定理的應用，二面角 的求解，在求解有關空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角 問題轉化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.2.如圖，在正方體ABC。-481cle/中，E為的中點.(I )證明：BCX |平面 AO1E；(II )求直線BC到平面ADE的距離；(III)求平面AO1E與平面4BCC夾角的余弦值.【分析】(I )由正方體的結構特征可得四邊形。狀8。為平行四

5、邊形，得到再由直線與平面平行的判定可得8Q II平面(II )建立空間直角坐標系A - xyz,設正方體的棱長為2,求出平面ADE的一個法向量，一再求出4B的坐標，由空間向量求直線BG到平面4AE的距離；(III)分別求出平面A8CC與平面AD1E的一個法向量，由兩向量所成角的余弦值可得平面ADiE與平面ABCD夾角的余弦值.【解答】證明：(I ) -：DCi/AB, DC=AB,二四邊形01ABeI為平行四邊形，：.DiA/CiB,VDiAc® ADE, C18C面 A£>1E,.BCi |平面 ADiE.解：(II)如圖建立空間直角坐標系A-qz,設正方體的棱長為

6、2,貝IJA (0, 0, 0), B (0, 2, 0), D (2, 0, 2), Ci (2, 2, 2), E (0, 2, 1), '：BCX i| 平面 ADiE,直線BCi到平面ADE的距離即為點B到平面ADE的距離，AB = (0, 2, 0), ADX = (2, 0, 2), AE = (0, 2, 1),設平面AD1E的一個法向量為1 = (x, y, z),則 Bl2x + 2z = 0,取 z=_,得;Uq,第 一 1),(n - AE = 2y + z = 0.,_ AB-n _ 1(0- 2, 0)-(1,芬-1)| _ 1 _ 2a 一 一？- - i-

7、 t - 3*IM Ji+1+/ 之2直線BCi到平面ADE的距離為三 解：(HD平面ABCD的一個法向量為4 =(0, 0, 2),由(II)知平面AQE的一個法向量為1 = (L -1).設平面AOE與平面ABCD夾角為色> 則cos® = |cos <n , % >| = | 二飛 | |n| 聞(0.0.2)-(l,-1)2jl+l+123,2故平面AD1E與平面ABCD夾角的余弦值.【點評】本題考查直線與平面平行的判定，訓練了利用空間向量求點到面的距離，考查空間角的求法，是中檔題.3.在四棱錐Q-ABCO中，底面ABC。是正方形，若40=2, QD=QA=

8、V5,平面Q4£)_L 平面ABCD.(1)求。8的長；(2)求二面角B-QD-C的平面角的余弦值.【分析】(1)取AO的中點為O,連接QO, BO.證明Q01平面ABCD,得到通過求解三角形推出即可.(2)在平面ABCD內，過。作OTC£),交BC于T,則OTJ_/W,建立如圖所示的空 間坐標系.求出平面。8。的法向量，平面QCO的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解 二面角B-QD-C的平面角的余弦值即可.【解答】(1)解：取4。的中點為O,連接QO, BO.因為 QA = QO, OA=OD,則 QO_L4O,因為平面 04。_1_平面ABCD,平面QAOC平面ABCO=

9、A。，QOu平面 040,所以QOJ_平面A8CZ) (2分)因為BOu平面ABCD,所以 QO_LB。，而AD = 2, QA = V5,故在正方形4BCC中，因為40=2,故AO=1,故B。=花，所以QB = y/QO2 + BO2 = V4T5 = 3 (5分)(2)解：在平面48CQ內，過。作07CO,交BC于T,則OTJ_AO,結合(1)中的QOJ平面ABCQ,故可建如圖所示的空間坐標系.»則 D (0, I, 0), Q (0, 0, 2), B (2, - 1, 0), C (2, 1, 0)故BQ = (-2, 1, 2),T>BD = (-2, 2, 0),

10、DQ = (0, - 1, 2), DC = (2, 0, 0)設平面QBD的法向量蔡=(%, y, z),T - ,”=0,即 n - BD = 02x + y + 2z = 0-2x + 2y = 0取x=l,則y=l, z = 2»故ri = (1, 1,，(7分) 而平面QCD的法向量為m = (x y z'),則m,絲=。即?' + 2z' = °,取 zl,則 x0, y2,故”=（0, 2, 1）lmDC = 0（2x=0（9分）> Ii q t _ » »1 q因為|幾I = 1 + 1+ 4 =）, |m| = V。+ 1 + 4 = V5, m，7i =