2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.1.2《橢圓的幾何性質(zhì)》教案(3)湘教版選修1-1

1、2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.1.2橢圓的幾何性質(zhì)教案（3）湘教版選修1-1教學(xué)目標(biāo)1、能利用橢圓中的基本量a、b、c、e熟練地求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2、掌握橢圓的參數(shù)方程，會用參數(shù)方程解一些簡單的問題3、培養(yǎng)理解能力，知識應(yīng)用能力教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)回顧說出橢圓x2/4+y2=1的范圍、長軸長、短軸長、離心率、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程。求中心在原點(diǎn)，過點(diǎn)，一條準(zhǔn)線方程是的橢圓方程。x23x216y2+y2=1,+=14721我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，是以地心（地球的中心）f2為一個焦點(diǎn)的橢圓，已知它的近地點(diǎn)A（離地面最近的點(diǎn)）距地面439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)B（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面2384k

2、m，并且A、B、F在同一直線上，地球半徑約為6371km，求衛(wèi)星的運(yùn)行軌道方程2（精確到1km）。分析：幾個概念的理解，坐標(biāo)系的建立，由a+c,ac求a、b、c。x2/77832+y2/77222=12、探索研究橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作AN丄Ox，垂足為N,過B作BM丄AN,垂足為M,求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)時點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,Q是以O(shè)x為始邊，OA為終邊的正角。取Q為參數(shù)，貝V，即這就是點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)Q后得到方程x2/a2+y2/b2=1,由此可知點(diǎn)

3、M的軌跡是橢圓。點(diǎn)評：這道題給出了橢圓的一種畫法。大家想一想：畫橢圓的方法有幾種？3、反思應(yīng)用例1將橢圓方程X2/16+y2/9=1化為參數(shù)方程。IX_（弟是參數(shù),<弟<2兀）Iy二3sinp例2在橢圓x2+8y2=8上到直線l：xy+4=0距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是，最短距離是_。解一（化歸法）：設(shè)平行于l的橢圓的切線方程為：xy+a=0,由消去x得9y22ay+a28=0=4a249（a28）=0,解得a=3或a=3,此時或，與直線l距離較小的切線方程為xy+3=0,這條切線與直線l的距離為，此時點(diǎn)P（8/3,1/3）解二：（參數(shù)法）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離7I2V2cosGsin

4、0+41I3sin(aG)+41d二2二廠其中,sin0=cosa=1/3當(dāng)sin(a0)=1時，d取得最小值，此時彳，：點(diǎn)P(cos0=sina=-2J2/38/3，1/3)解三：(換元法)設(shè)，則u2+v2=8,直線1：u+4=0,22uv+8、2=0,2辺由解得或(舍)，點(diǎn)P(8/3,1/3)點(diǎn)P到直線l的最短距離為d=I8/31/3+41例3已知橢圓x2/25+y2/16=1,點(diǎn)P(x,y)是橢圓上一點(diǎn)，求x2+y2的最大值與最小值;求3x+5y的范圍；若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4,求四邊形ABCD的最大面積。分析一(消元法)：由x2/25+y2/16=

5、1得y2=16(1X2/25),.x2+y2=x2+16(1x?/25)=169x2/25.x2+y2的最大值是25，最小值是16二(參數(shù)法)：設(shè)x=5cos0,y=4sin0,x2y2=(5cos0)2+(4sin0)2=16+9sin20,x2+y2的最大值是25,最小值是16方法一：設(shè)x=5cos0,y=4sin0，則3x+5y=15cos0+20sin0=25sin(0+a),3x+5y的范圍是25,25方法二：設(shè)t=3x+5y，則直線3x+5y1=0與橢圓x2/25+y2/16=1有交點(diǎn)由消去y得：25x26tx+124OO=O,.A=3612100(t2400)20,解之得：t&#

6、163;25,25,即3x+5y的范圍是25,25由橢圓方程知A(5,0),C(0,4),直線AC的方程是4x+5y20=0,設(shè)B(5cos0,4sin0)(0<0<n/2),D(5cosa,4sina)(n<a<2n)，則點(diǎn)B到直線AC的距離I20cos0+20sin0201120、2sin(0+才)-20120.220是dBv'41Wv41-<41,I20cosa+20sina201120忑Sin(a+才)-201202-20d=<Dv41<41<41四邊形ABCD的最大面積是S=|AC|(dB+dD)/2=例4已知橢圓x2+2y2=

7、98及點(diǎn)P(0,5)：求點(diǎn)P到橢圓距離的最大值與最小值。分析：以點(diǎn)P(0,5)為圓心，內(nèi)切于橢圓的圓的半徑為即為點(diǎn)P到橢圓的最小值；以點(diǎn)P(0,5)為圓心，外切于橢圓的圓的半徑為氣,，即為點(diǎn)P到橢圓的最大值。解：0+252<98,點(diǎn)P在橢圓的內(nèi)部,，設(shè)以點(diǎn)P(0,5)為圓心，與橢圓相切的圓的方程為：x2+(y5)2=r2,將橢圓方程x2+2y2=98代入得r2=982y2+(y5)2=(y+5)2+144(7WyW7)當(dāng)y=5時，r2=148,即卩r=；當(dāng)y=7時，r2=4,即卩r=2。maxmaxminmin注意：本題的解法稱為輔助圓法例5求定點(diǎn)A(a,0)到橢圓x22y2=2上的點(diǎn)之

8、間的最短距離。分析：設(shè)點(diǎn)B(x,y)為橢圓上的任一點(diǎn)，由|AB|2=(xa)2+y2=(xa)2+1x2/2=(x2a)21a2-邁<x:.當(dāng)丨aV<2/2時x=2a有IABI=：l-a2；min當(dāng)a>42/2時x=J2有IABI=1a-、遼I；min當(dāng)a<v2/2時，有x=v2有IABI=Ia+2I。min注意：本題的解法稱為函數(shù)法隨堂練習(xí)(1)曲線的參數(shù)方程，則此曲線是()A、橢圓B、直線C、橢圓的一部分D、線段把參數(shù)方程=4：;n細(xì)是參數(shù)，“5,寫成普通方程，并求出離心率，準(zhǔn)線方程。x2/9+y2/16=1,離心率，準(zhǔn)線方程已知橢圓的參數(shù)方程(申是參數(shù),0<

9、申V2兀)則此橢圓的長軸長是短軸長是，24、歸納總結(jié)數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、類比的思想、特殊到一般數(shù)學(xué)方法：圖象法、化歸法、待定系數(shù)法、換元法、輔助圓法知識點(diǎn)：橢圓的參數(shù)方程、橢圓中的最值問題5、作業(yè)2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.1.2橢圓的幾何性質(zhì)教案(4)湘教版選修1-1教學(xué)目標(biāo) 1、進(jìn)一步理解并掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程 2、能根據(jù)條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 3、進(jìn)一步理解a、b、c、e的幾何意義，會用幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題 4、在坐標(biāo)法的基礎(chǔ)上掌握點(diǎn)的軌跡條件滿足某曲線的定義時，用待定系數(shù)法求其方程教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)回顧A組橢圓的定義運(yùn)用：(l)AABC的周長為20,且B(4,0),C(4,0),

10、則點(diǎn)A的軌跡方程是.x2/36+y2/20=1(yM0)已知A(1,0),B(1,0),線段CA、AB、CB的長成等差數(shù)列，則點(diǎn)C的軌跡方程是.x2/4+y2/3=1過點(diǎn)A(0,2),且與圓B：x2+(y+2”=36內(nèi)切的動圓圓心C的軌跡方程是.x2/5+y2/9=1一動圓與圓A：(x+3”+y2=l外切，與圓B：(x3)2+y2=81內(nèi)切，試求動圓圓心的軌跡方程。x2/25+y2/16=1橢圓x2/12+y2/3=l的一個焦點(diǎn)為片，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段Pg的中點(diǎn)在y軸上，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。(6)P是橢圓x2/100+y2/64=l上的一點(diǎn)，F(xiàn)2分別是焦點(diǎn)如果"嚴(yán)2=60°,

11、求AFfF?的周長及面積；|PFj|PF21的最大值。111分析：考慮到ZF：pF2=60°和三角形的面積S=absinC/2，只要求出|PF|PF21問題就可以解決T.|PF1I|PFj如何求？如果設(shè)P(x,y)，由點(diǎn)P在橢圓上且ZFxPF2=60°，利用這兩個條件，列出關(guān)于x、y的兩個方程，解出x、y,再求AFF2的面積，雖然思路清晰，但運(yùn)算量過大，考慮到這是一個幾何問題，能否利用圖形的幾何性質(zhì)呢？橢圓的定義?？紤]到|PFj+|PF=20,要求|PFj|pf2|的最大值，應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理即可。解：|FF|=12,|PF|+|PF|=20,AFPF的周長為3

12、2121212設(shè)|PFj=m,|PF2|=n,根據(jù)橢圓定義有m+n=20,在AFPF中，ZFPF=60°，由余弦定理得：m2+n22mncos60°=1441212m2n2mn=144，(mn)23mn=144，mn=256/3AF1PF2=|PF|PF|sin60°/21212562丁/|PF|+|PF|=2012IPFI+IPFl>2JIPF丨lPFI12'12(IPFI+IPFI)2PFI-1PFI<一1=10012I2丿當(dāng)且僅當(dāng)|PFj=|PF2|=10時等號成立，|PFj|pf2i的最大值是100。已知點(diǎn)P為橢圓x2/25+y2/9=

13、1上的一點(diǎn)，F(xiàn)樣為橢圓的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)，點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為d,點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為。若|pf=3.5，則d2=；若|pf|:|pf2|=2:3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是；若d2=4.5/則d=；若P(3,y),則|PF|=；若|PFj丄|PF，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是；若點(diǎn)M(3,2)在橢圓內(nèi)部，則|PM|+5|PF2|/4的最小值是。小結(jié)：點(diǎn)P(xo，yo)是橢圓x2/a2+y2/b2=1上的一點(diǎn)，F(xiàn),F?為橢圓的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn),點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為d,點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d，則d=a2/c+x,d=a2/cx,|PF|1210201=ed1=aex0，|PF1|=ed2=aex0。充分利用定義IPFI+IP

14、FI=2a12IPFIIPFIc=1=dda12設(shè)橢圓x2/a2+y2/b2=l的兩焦點(diǎn)為F、F?,AA?為長軸的兩個端點(diǎn)。 P是橢圓上的一點(diǎn)，且ZFPF=60°,，求AFPF的面積；1212 若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使ZAiQA2=120°，求橢圓離心率的范圍。分析：在FPF中，ZFPF=60°,：|FFh=|PFh+|PF|22|PF|PF|cos60°1212121212即4c2=|PFh+|PF|2|PF|PF丨，又|PF|+|PF|=2a.A|PF|PF|=4(a2c2)/312121212=4b2/3設(shè)Q(x0,y0)，則x02/a2y02/b2

15、=1Q在x軸上方?ZA1QA2=120°，不妨設(shè)A(a.0),A2(a,0),點(diǎn)tanl20yy00xax+a001+丄亠xax+a002ay0=、：3x2+y2a200尺,v3a2<0，即解得，.：e2=l-(b/a)2±2/3,。求經(jīng)過點(diǎn)M(l,2),以y軸為準(zhǔn)線，離心率為1/2的橢圓左頂點(diǎn)的軌跡方程。分析：設(shè)左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y)，則由橢圓的第二定義可得左焦點(diǎn)為(3x/2,y),又橢圓經(jīng)過點(diǎn)M(l,2),以y軸為準(zhǔn)線，離心率為1/2(一1)2+(y一2)21.H2_1，12整理得：B組利用圖形及圖形性質(zhì)解題若橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的4倍，則這個橢圓的離心

16、率是()D已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是y=9/2，則m等于()AA、1B、2C、3D、7橢圓兩焦點(diǎn)和中心將兩準(zhǔn)線間的距離四等分，則一焦點(diǎn)與短軸連線的夾角是()CA、45°B、60°C、90°D、120°橢圓x2/100+y2/36=l上的點(diǎn)P到它的左準(zhǔn)線的距離是10,則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離是()BA、15B、12C、10D、8中心在原點(diǎn)，離心率為，且一條準(zhǔn)線的方程是y=3的橢圓方程是。x2/2+y2/6=1點(diǎn)M與定點(diǎn)F(8,0)的距離和它到定直線x=25/2的距離之比為4：5,則點(diǎn)M的軌跡方程是。x2/100+y2/36=1歸納總結(jié) 數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、類比的

17、思想、特殊到一般 數(shù)學(xué)方法：圖象法、化歸法、待定系數(shù)法、換元法、輔助圓法知識點(diǎn)：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的最值問題作業(yè)設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在X軸上，離心率，已知點(diǎn)P(0,3/2)到這個橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離為的點(diǎn)的坐標(biāo)。X24=1,G3,-2),(r3-2)第五課時教學(xué)目標(biāo)1、掌握橢圓的幾何性質(zhì)，掌握用坐標(biāo)法研究直線與橢圓的位置關(guān)系2、熟練地求弦長、面積、對稱等問題3、培養(yǎng)對數(shù)學(xué)的理解能力及分析問題、解決問題的能力教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)回顧橢圓的定義、幾何性質(zhì)判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法2、探索研究直線與橢圓的位置關(guān)系：坐標(biāo)法(圍繞直線與橢圓的公

18、共點(diǎn)展開的)，將直線方程與橢圓方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，當(dāng)=0時，直線與橢圓相切；當(dāng)>0時，直線與橢圓相交；當(dāng)V0時，直線與橢圓相離。3、反思應(yīng)用例1當(dāng)m為何值時，直線l：y=x+m與橢圓9x2+16y2=144相切、相交、相離？分析：將直線方程y=x+m代入橢圓9x2+16y2=144中，得9x?+16(x+m)2=144，整理，得25x2+32mx+16m2-144=0，VA=(32m)2425(16m2144)=-576m2+14400當(dāng)=0即m=±5時，直線與橢圓相切；當(dāng)>0即一5<m<5時，直線與橢圓相交；當(dāng)<0即m<-

19、5或m>5時，直線與橢圓相離。例2已知斜率為1的直線l經(jīng)過橢圓x2+4y2=4的右焦點(diǎn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),求弦長|AB|。分析：設(shè)A(x1，y1),B(x2，y2)，由橢圓方程知：a2=4,b2=1,Ac2=3,A右焦點(diǎn)，直線l的方程為，代入橢圓得8;3882二寺'XX2二5,JABY1X2一"2(%+X2)2-8%X2-5小結(jié)：弦長公式例3過橢圓x2/16+y2/4=1內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)引一條弦AB,使AB被點(diǎn)M平分，求弦AB所在直線的方程。解一：當(dāng)弦AB的斜率不存在時，弦AB的方程為x=2，不合題意舍去設(shè)弦AB所在直線的方程為：y1=k(x2)，代入橢圓方程并整理得

20、(4k2+1)x28(2k2k)x+4(k21)216=0，又設(shè)A(x1，y1),B(x2，y2)，則、為方程的兩個根，x+x2(2k2一k)小于是，又M為AB的中點(diǎn)，=-4k=2，解之得k=-1/2，故所求弦AB的方程是x+2y4=0解二：設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),VM(2,1)為AB的中點(diǎn)，.xi+x2=4,yi+y2=211221212又°.°A、B兩點(diǎn)在橢圓上，.°.x2+4y2=16,x2+4y2=16，兩式相減得x2x2+4(y2y2)11,221212=0,y-yx+x1,12=一12=一入，二k=一入，故所求弦AB的方程是x+2y4=0

21、x-x4(y+y)2AB21212解三：設(shè)A(x,y)，由M(2,1)為AB的中點(diǎn)得B(4x,2y)°.°A、B兩點(diǎn)在橢圓上，.x2+4y2=16,(4x)2+4(2y)2=16，兩式相減得x+2y4=0,由于過A、B的直線只有一條，故所求弦AB的方程是x+2y4=0小結(jié)：解一常規(guī)解法；解二是解決有關(guān)中點(diǎn)弦問題的常用方法；解三利用曲線系解題。例4試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使橢圓x2/4y2/3=1上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=2xm對稱。解一：設(shè)存在A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線l：y=2x+m對稱，故可設(shè)直線AB的方程為y=2x+1,代入橢圓方程x2/4+y2/3=

22、1,并整理得X2tx+t23=0，則A=t24(t23)>0。解得一2Vt<2。TX=t,.AB的中點(diǎn)M為(t/2,31/4),VM在直線l上，.雹t/4=2t/2+m,即m=1/4,從而1/2<m<1/2.解二：設(shè)存在A(x：,y：),B(x2,y2)關(guān)于直線1：y=2x+m對稱，則AB丄l,且AB的中點(diǎn)M在1上，設(shè)AB的中點(diǎn)M(x,y),則x+x=2x,y+y=2y,00120120又VA、B兩點(diǎn)在橢圓上，3x12+4y12=12,3x十丫嚴(yán)12,兩式相減得3(X2X22)+4(y12y22)=0,1 yy12-2 x-x123(x+x)124(y+y)123x04y0即y=3x/2,又y=2x+m，0000解得x0=2m，=3m，/點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，即m2+3m2<1,解得一1/2<m&