帶傳動的動力學模型的建立

1、1.1 帶傳動的動力學模型對于帶傳動而言，主要存在三種形式的振動：一是傳動系統(tǒng)沿兩帶輪中心連線方向的振動，即帶傳動的縱向振動；二是帶沿與帶的運動方向相垂直的方向的振動，即帶傳動的橫向振動三是帶傳動的扭轉振動。這三種形式的振動對帶傳動的傳動特性都將產生嚴重影響，尤其是當激勵頻率接近帶傳動系統(tǒng)的固有頻率時帶傳動系統(tǒng)將產生共振,并可能造成較大的危害。對于機械系統(tǒng)速度波動的運動規(guī)律而言，主要的影響形式是帶傳動的縱向振如圖1-1所示，r0、q分別為主動輪和從動輪的半徑（已知）；丿。、人分別為主動輪和從動輪的轉動慣量（已知）；kt為傳動帶的線性彈性拉伸剛度；0。、61分別為主動輪和從動輪的轉角。在此模型中

2、，只考慮振動對速度波動的影響，所以假設帶輪、傳動軸及傳動帶均為線性彈性體，軸承、其它機構及機座為剛體帶輪等傳動件不存在擺動不計重力對系統(tǒng)的影響。在主動輪上，電機將已知運動參數(shù)輸入，經帶輪、傳動帶及傳動軸輸出給從動輪及等效機構。帶傳動系統(tǒng)所具有的動能E、勢能U可分別表示為：“二盯+陽U=ki（roeo-riei2分別取主、從動帶輪的轉角0。、01為廣義坐標系，應用拉格朗日動力學方程，則帶傳動系統(tǒng)的運動微分方程為：令：則式（1.1）可以寫成：3+2kr200I000+2kr20iiii2"。2a，=e， 2krr0toil 2krr6toil=b/02為佔=fJi=0=01.1)1.2)

3、（0+a0-bg=o0010i+e0i-f0Q=0上式是帶傳動系統(tǒng)振動模型的運動方程。1.3)1.1.2帶傳動的固有頻率設運動方程（1.3）的解為：百0=1sin（pt+）B=Xsin（pt+申）式中，振幅£和2、頻率卩與相位角卩都是未知的。將式（1.4）代入式（1.3）中，整理后可得：（ap2）XibX2sin（pt+）=0f1+（eP2）Xsin（pt+）=0121.4)由上式可見，則：(ap2)XbX2=0fXi+(e-p2)X2=01.5)=(ap2)(ep2)bf=0而式（1.4）在任何瞬時都可以滿足系統(tǒng)振動模型的運動方程即式（1.3），且是微分方程式（1.3）的解。同時當

4、£=X2=0時，式（1.5）也成立，但式（1.5）只代表帶傳動系統(tǒng)平衡下的情況，不代表啟動、加速、停止情況下的振動情形。要使£和X2有非零解，式（1.5）的系數(shù)行列式必須等于0,貝V：ap2bfep2通過整理可得：p4（a+e）p2+（aebf）=0（1.7）經觀察可知，上式為嚴的二次式，為振動模型的頻率方程，解出兩個根分別為：1.6)1.8)p2=a+±1(+)2+(aebf)=+L±k匕)2+bf1,22222將式(1.2)代入式(1.8)中，可得固有頻率是：rP1=01.8.1)對于帶傳動系統(tǒng)，代入已知測量出來的數(shù)據(jù)，皮帶的線性拉伸剛度冷，主動帶輪

5、的轉動慣量丿°,從動帶輪的轉動慣量人，主、從動帶輪的半徑值，可以得出帶傳動系統(tǒng)的固有頻率。1.1.3帶傳動系統(tǒng)對外界激勵的響應在帶傳動過程中，始終存在預緊力F°,考慮到由帶輪的偏心、傳動系統(tǒng)啟動的不平穩(wěn)等激勵因素引起的、作用在主動輪上的等效簡諧力矩為M0sinqt，則帶傳動系統(tǒng)振動模型的運動方程可以改成：6+aObg=hsinqt0013+e3_j3=01101.9)式中，h=o，且上式為二階線性常系數(shù)非齊次微分方程組，因此它的Jo特解為穩(wěn)定的等幅振動，系統(tǒng)按與激振力相同的頻率g作強迫振動。設其解為：3=Ysinat013=Ysinat12其中，振幅1、Y2為未知常數(shù)。然后

6、把式(1.10)代入式(1.9)中，可得：12通過解上式二元一次方程組，(aq2)YibY2=hfY1+(e1q2)Y2=0得：(Y;2(eq2)h(a_q2)(e_q2)_bffh(a_q2)(e_q2)_bf1.10)1.11)1.12)其中，式中(a_q2)(e_q2)_bf=(pi_q2)(p2_q2),而將式(1.2)、式(1.12)代入式(1.10)中，可得系統(tǒng)在激勵作用下的響應為：(90Si(2為呼人q2)Mosinqtq2j0Jiq2_2kl(Jir2+Jor2)230丫0sinqt2JoJi2_2ki(JirS+Jorl)通過上述結果表明，系統(tǒng)做與激勵同頻率的簡諧振動，其振幅

7、不僅決定激勵的幅值，更重要的是與系統(tǒng)的固有頻率和激勵頻率有很大的關系。又由式(1.12)得，當激勵頻率g等于系統(tǒng)的固有頻率円或P2時，系統(tǒng)振幅無限增大，即為共振。1.13)1.2 帶傳動的相對滑動對速度波動的影響帶傳動是利用彈性環(huán)形帶和帶輪來傳遞運動和動力的，根據(jù)傳動原理將其分為摩擦傳動和嚙合傳動。摩擦傳動是傳動帶以一定的預緊力套在主動輪和從動輪上,依靠傳動帶與帶輪表面之間的摩擦力來傳遞運動和動力。嚙合傳動則是依靠傳動帶表面的帶齒與帶輪上的齒槽相嚙合而傳遞運動和動力。顯然此次系統(tǒng)中采用的是摩擦與嚙合復合傳動。1.2.1帶傳動嚙合特性及動態(tài)分析同步帶傳動的帶齒與輪齒的嚙合是一種在節(jié)距相等下的嵌合

8、，其動力是通過齒之間的法向力和輪齒頂部與帶齒根部的摩擦力以及帶齒的彈性變形來傳遞的。同時同步帶傳動又具有類似鏈傳動的多邊形效應，由此使得同步帶傳動的嚙合具有較復雜的性質。基于以上原因在傳動過程中會有振動的產生，這將直接影響到同步帶傳動的平穩(wěn)性以及傳動精度，一定程度上也影響帶的使用壽命。1.2.2 帶傳動的受力分析摩擦與嚙合復合傳動帶在傳動過程中，帶與帶輪的摩擦力不足以傳動功率時，帶與帶輪之間出現(xiàn)相對滑動，如圖所示，帶齒與主動帶輪開始嚙合，在理想傳動狀態(tài)下，帶齒與帶輪均勻嚙合，設每個帶齒與帶輪嚙合產生的法向作用力為£、Q2。小帶輪嚙合段的帶體承受緊邊拉力耳，松邊拉力F2和沿包角變化的摩

9、擦力Ff三個力作用。圖1-2帶的受力分析設耳為摩擦與嚙合復合傳動帶在工作中的有效拉力，由摩擦與嚙合傳動原理可知:Ft=Q+Ff(1.14)由于摩擦與嚙合復合傳動帶是撓性體由受力平衡可知：Ft=Fi-F2(1.15)在對主動輪圍齒內嚙合齒進行受力分析時，為便于分析建模，根據(jù)實際傳動情況，對模型進行以下假設：1) 為了簡化模型，假設帶齒嚙合狀態(tài)處于受力平衡，且?guī)X與輪齒嚙合面間的摩擦力忽略不計；2) 帶齒在嚙合中無彈性回縮現(xiàn)象，不會出現(xiàn)跳齒，磨齒；3) 帶在傳動過程中，帶齒的離心力忽略不計。根據(jù)以上假設，如圖2.15(a)所示，取嚙合中第一個帶齒為研究對象，帶齒1受輪齒法向力Q、緊邊拉力耳、松邊張

10、力片、帶輪側面的周向摩擦力2錚、帶輪徑向摩擦力錚、帶輪側面對帶的正壓力耳，處于靜力平衡狀態(tài)。前面已作討論，帶齒的垂直截面上，帶輪徑向摩擦力錚是沿帶包角的一個變化量，如2.15(b)所示。F1、Q、片與節(jié)圓切線方向的夾角分別為y。、B、申；8為摩擦與嚙合復合傳動帶的楔角。T1FfQiV(b)(a)圖1-3嚙入處帶體受力圖帶齒水平與垂直方向受力平衡可得：F1cosy0=Q1cos仔+cos申+2FQ1cos仔+2Fnsin2=2Fcos+?1sin+F1siny01.16)式中y0、B、申為已知量，y0可根據(jù)帶的拉力方向；B為帶齒嚙合角；申為帶齒齒厚所對應的圓心角的一半，設s為節(jié)圓與帶齒對應的節(jié)弧

11、長，z為小帶輪齒數(shù)，pb為小帶輪節(jié)距，即：申=叵ZPbT=Fsin(即0)+2Fsin2cos卩11sin(0+0Nsin(0+e)2”cos2cos0+sinBfsin(0+0)1.17)ITi圖1-4帶齒谷底受力圖帶齒1的齒谷be部分受力如圖1-4所示，由于帶輪齒頂部與帶齒谷底面非接觸。摩擦力為0.但輪槽側面對帶側面摩擦力錚符合摩擦傳動原理。根據(jù)歐拉公社=叫得帶齒一得拉力T1與帶齒二的拉力丁2滿足如下關系：T=Te2f=(Fsin(即o)211sin(”0)2Fsin-cosB2sin(”0)n2Fcos2cos8sinfsin(0甲)(1.18)其中0為帶齒一與帶齒二之間節(jié)圓弧所對應的圓

12、心角。Q2圖1-5帶齒二受力圖同理對帶齒2,3各齒進行受力分析，如圖1-5所示，由力的平衡條件可得:T=Tsin("y0)2Fsincosb2Fcocossin032sin(”0)Nsin(”0)fsin(P)T=Te2f431.19)由此遞推關系可得出第k齒兩側的張力為：=Fsin(yo)P2(k1)u.msin(80)(k2)1sin(0©sin(0©2psinfcosBNsin(”0)Tkcoscossin旳1e2"0sin()-(fe1)嗚爲伽)sin(3o)1e2旳sin(伽)sin(0)1.20)=fsin(8yo)P2(、ki)uxp嚴伽)

13、(“)1sin(”0)sin(”0)2psinfcosBNsin(0單)2Fcos2cos8sin81e2旳gfg-卩fsin(”0)1e2旳sin伽)sin(0)1.21)其中，式中的kn2。在帶傳動系統(tǒng)中進行嚙合傳動時。嚙合齒數(shù)可引入取整函數(shù)來近似表達在傳動過程中。嚙合傳動合力為：Ft=(T1?2)1.22)2.1帶傳動的動態(tài)性能分析帶傳動系統(tǒng)工作中的動態(tài)性能是對帶的壽命研究的重要部分。帶的截面尺寸、密度、轉速、以預緊力和帶輪的制造誤差是產生振動的關鍵因素。2.1.1帶傳動橫向振動模型的建立帶在傳遞過程中的橫向振動，可以把它簡化為弦振動，以坐標原點為節(jié)圓圖2-1(b)為取帶緊邊中部的一段微

14、元的受力分析圖，列出y方向力的平衡方程及在瞬時t時沿y方向的力平衡方程和力矩的平衡方程：Qcos0(x,t)(Q+俎dx)cos0(x+dx,t)+Tsin6(x+dx,t)Tsin3(x,t)=dxpdxd(2.1)dt2(M+dMdx)M(Q+dx)dx=0(2.2)dxdx式中：T帶的預緊力；p帶單位長度的質量，帶元的質量為dm二pdx；EI帶的截面彎曲剛度；Q，Q+dQ帶本身所受的剪應力，M,M+dM帶本身所受的彎矩。考慮到該帶傳動的振動是微小的，xtO可以得到：sin0(%,t)dx式中：y(x,t)為帶的變形量；sin0(%+dx,t)匕如(也)+d2y(m)dxxdx2cos&a

15、mp;(x,t)acos0(%+dx,t)u1由材料力學可知：彎矩與撓曲線的關系為：M(x)=EId2Zdx2將式(2.3)、式(2.4)、式(2.5)和式(2.6)代入式(2.1)(2.2)，經整理可得：dQd2yd2ydO202yT0Tpdxdx2dt2呂dxdx2dt21°Qd2MdQI-Q-dxIdxdxdx2dxEid4y-Td2y+pd2y=0dx4dx2dt2最后可得：2.4)2.5)2.6)2.7)2.1.2 帶傳動縱向振動模型的建立(附加另外一種方法)摩擦與嚙合復合傳動帶的縱向振動模型可以簡化為梁振動的模型，帶的兩邊簡化為并聯(lián)的彈簧和阻尼器，為等效軸系在傳動過程中的

16、變形，在其中一個帶輪處施加阻尼約束帶輪。兩帶輪之間中心距可發(fā)生微量變化，簡化模型如圖2-2所示。2Bc4>d2e產圖2-2帶傳動的縱向振動模型以從動輪2中心平衡位置時的位置為原點，系統(tǒng)的動能E和勢能在任意時刻t分別為：11212坷=2皿2+2丿沖12+2丿2碼2111"1=2上“無2+2上(qG_無cosa廠202)2+2上(廠202_0_%cos0)2(2.8)帶傳動系統(tǒng)的阻尼力與外力所做虛功為：Sw=me2Sxsin爲+M叭g一cr2爲叩】一cos妙2.-riS1-Sxcosa-crWi-xcosa-叩2i51-Sxcosa-r2S2(2.9)2.10)令咒=%；x=Qi；

17、x=Qi；鋒=備01=叫±+斜01=叫+嚴外=釣=嚴1r1r11r12=2t+q2=1t+r2r2r2為=2叫+血；r2r22.11)其中，式中：F0帶的預緊力；kv、心、k2彈簧剛度；cv、c彈簧阻尼的阻尼系數(shù)；m從動輪2的質量；人、丿2兩帶輪繞軸心的轉動慣量；r±、丫2兩帶輪的半徑；e從動輪的偏心距；叫、2帶輪1、帶輪2的角速度；忙、%帶輪1、帶輪2的轉角；M電機施加在帶輪1的轉動力矩。通過拉格朗日方程和虛功原理推導出摩擦與嚙合復合帶傳動縱向振動方程為：Mq+Cq+Kq=F（2.12）式中：M質量矩陣；K剛度矩陣；C阻尼矩陣；F外力矩陣。上面四個矩陣的表達分別為：K=M

18、=0J2丫220T00丿1r21+k+kcos2a-k-kcosV1221k-kcosak+k2112k-kcosa-k+k2112kkcosa21k+k12k+k12c+2ccos2a00C=V02c-2c2c2c2si2022r1假設驅動主動輪1的電機性能較好，主動輪的扭振可不考慮，0=®外=氣；01=0；碼U嚀，則帶傳動系統(tǒng)可以看作雙自由度的振動系統(tǒng)，其2.13)運動方程為：Mg+CQ+Kq=Fm式中：M=00r2k21JrcV=KL+k2)cos2ak)cosa1c+2CCOS2=V|0k+2kkcosa2F=20si22.1.3 帶傳動振動系統(tǒng)自由振動的頻率因系統(tǒng)的固有頻率

19、與系統(tǒng)的阻尼及外界激振關系較小，所以為簡便起見，在運動微分方程(2.13)中，暫時不考慮阻尼及激振的作用，即令C=0,F=0,則系統(tǒng)無阻尼時的自由振動微分方程為：MQ+Kq=0(2.14)由于方程(2.14)中的剛度矩陣不是對角陣，即存在彈性耦合,不能直接求得其振動的固有頻率?？刹捎梦墨I1中設定同步解的方法將運動微分方程簡化為如下的頻率方程：(K30M)U=0(2.15)式中，U="卩為與系統(tǒng)參數(shù)有關的某一常數(shù)向量,為系統(tǒng)的固有頻率。為使嗎、即：u2具有非零解，式(2.15)的特征行列式必須等于零det(K30M)=02.16)km2110k12k12(2)2202=(管)吒-(22

20、m+紜護吒+丘1兒2-化=0222.17)由式(2.17)解得振動系統(tǒng)的固有頻率e10、e2o分別為:1,20km+厶2211r2+m*/2*2廠2222(22*11)2+4略2z丫2mm*/2丫2k=k.+仁：k221212二122+bi±212mm+-3-777°/2211廠2、kk辰()2112212、m*/2*-2-22.18)式中，J=化+(心+花2)cos2小將310、20分別代入到式(2.15)，并令嗎i=1，可求得"2i2k1)C0Sa°=©1曲2)，稱122.19)1"J-fc11mwj0*12上式為對應于帶傳動系統(tǒng)固有頻率叫0的模態(tài)向量。由倣J、組成一矩陣11U=u,u=l丿LJ2L”仏稱U為帶傳動系統(tǒng)的模態(tài)矩陣。2.1.4帶傳動振動系統(tǒng)有阻尼時的激勵響應設激勵是由從動輪的偏心e引起，為求解運動微分方程（2.13）,微分方程的彈性耦合進行解耦。為此作如下坐標變換如=h役：2=凹如將式（2.21）代入式（2.13）中可得：MUp+CUp+K“p=F方程式（2.22）兩邊同乘