數(shù)學(xué)建模統(tǒng)計(jì)模型

1、論文題目：一個醫(yī)藥公司的新藥研究部門為了掌握一種新止痛劑的療效，設(shè)計(jì)了一個藥物試驗(yàn)，給患有同種疾病的病人使用這種新止痛劑的以下4個劑量中的某一個：2g,5g,7g和10g,并記錄每個病人病痛明顯減輕的時間（以分鐘計(jì)）.為了解新藥的療效與病人性別和血壓有什么關(guān)系,試驗(yàn)過程中研究人員把病人按性別及血壓的低、中、高三檔平均分配來進(jìn)行測試.通過比較每個病人血壓的歷史數(shù)據(jù),從低到高分成3組,分別記作0.25,0.50和0.75.實(shí)驗(yàn)結(jié)束后,公司的記錄結(jié)果見下表（性別以0表示女,1表示男）.請你為該公司建立一個數(shù)學(xué)模型,根據(jù)病人用藥的劑量、性別和血壓組別,預(yù)測出服藥后病痛明顯減輕的時間.病人序號病痛減輕時

2、間/min用藥劑量/g性別血壓組別135200.25243200.50355200.75447210.25543210.50657210.75726500.25827500.50928500.751029510.251122510.501229510.751319700.251411700.501514700.751623710.251720710.501822710.7519131000.252081000.502131000.7522271010.2523261010.502451010.75一、摘要在農(nóng)某醫(yī)藥公司為了掌握一種新止痛藥的療效，設(shè)計(jì)了一個藥物實(shí)驗(yàn)，通過觀測病人性別、血壓和用藥

3、劑量與病痛時間的關(guān)系，預(yù)測服藥后病痛明顯減輕的時間。我們運(yùn)用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)工具minitab軟件，對用藥劑量，性別和血壓組別與病痛減輕時間之間的數(shù)據(jù)進(jìn)行深層次地處理并加以討論概率值P（是否0.05）和擬合度R-Sq的值是否更大（越大，說明模型越好）。首先，假設(shè)用藥劑量、性別和血壓組別與病痛減輕時間之間具有線性關(guān)系，我們建立了模型I。對模型I用minitab軟件進(jìn)行回歸分析，結(jié)果偏差較大，說明不是單純的線性關(guān)系，然后對不同性別分開討論，增加血壓和用藥劑量的交叉項(xiàng)，我們在模型I的基礎(chǔ)上建立了模型II，用minitab軟件進(jìn)行回歸分析后，用藥劑量對病痛減輕時間不顯著，于是我們有引進(jìn)了用藥劑量的平方項(xiàng)，改進(jìn)

4、模型II建立了模型III,用minitab軟件進(jìn)行回歸分析后，結(jié)果合理。最終確定了女性病人服藥后病痛減輕時間與用藥劑量、性別和血壓組別的關(guān)系模型：Y=31.8-3.49x1+56.1x3-9.32x1x3+0.26對模型II和模型III關(guān)于男性病人用minitab軟件進(jìn)行回歸分析，結(jié)果偏差依然較大，于是改進(jìn)模型III建立了模型W,用minitab軟件進(jìn)行回歸分析后，結(jié)果合理。最終確定了男性病人服藥后病痛減輕時間與用藥劑量、性別和血壓組別的關(guān)系x3模型：Y=32.8-4.02X1+0.955X1xj關(guān)鍵詞止痛劑藥劑量性別病痛減輕時間二、問題的提出一個醫(yī)藥公司的新藥研究部門為了掌握一種新止痛劑的療

5、效，設(shè)計(jì)了一個藥物實(shí)驗(yàn)，給患有同種病痛的病人使用這種新止痛劑的一下4個劑量中的某一個：2g，5g，7g和10g,并記錄每個病人病痛明顯減輕的時間（以分鐘計(jì)）。為了了解新藥的療效與病人性別和血壓有什么關(guān)系，實(shí)驗(yàn)過程中研究人員把病人按性別及血壓的低、中、高三檔平均分配來進(jìn)行測試。通過比較給個病人血壓的歷史數(shù)據(jù)，從低到高分成三組，分別記作0.25，0.50和0.75.實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，公司的記錄結(jié)果附錄1-1表（性別以0表示，1表示男）?，F(xiàn)在為公司建立一個模型，根據(jù)病人用藥的劑量、性別和血組別，預(yù)測出服藥后病痛明顯減輕的時間。三、問題的分析假定每個患該種病的程度相差不大，即病情基本相同，根據(jù)現(xiàn)實(shí)，用藥量與

6、病痛減輕時間會有一定的關(guān)系，一般，藥用量越高，病痛減輕時間變得越快；而更一般，男性身體素質(zhì)相對于女性來說比較強(qiáng)壯，病痛減輕的時間也會跟性別有關(guān)系，正常而言，身體素質(zhì)越好，病痛減輕時間越快；另一個，一個人的血壓組別的高地也會影響到他的病痛減輕時間的快慢。對1-1表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析如下：相關(guān)分析：用藥劑量（g）,血壓組別，知用藥劑量（g）和血壓組別的Pearson相關(guān)系數(shù)二0.000P值二1.000；由此，可以看出用藥劑量與血壓組別沒有關(guān)系，如圖1-1所示1-1圖相關(guān)分析：用藥劑量（g）,性別，知用藥劑量（g）和性別的Pearson相關(guān)系數(shù)二0.000P值二1.000；由此可以看出用藥劑量與

7、性別相互獨(dú)立。如1-2圖所示1-2圖根據(jù)所給數(shù)據(jù)可分別作出病痛減輕時間與用藥劑血壓組別的散點(diǎn)圖量，性別及如下：1-3.1圖1-3.2圖1-3.3圖四、模型假設(shè)與符號假設(shè)假設(shè)病痛減輕時間只與用藥劑量、性別和血壓組別有關(guān)，不受其他因素的影響，由以上散點(diǎn)圖（圖1-3.1-圖1-3.3）可以作出如下模型假設(shè)模型I：YP+卩IT卩2兀2+卩3X3+8符號說明1、Y為病痛減輕時間量，單位（min）；2、x1表示用藥劑量單位（g）；3、x2表示性別；4、X3表示血壓組別；5、S表示標(biāo)準(zhǔn)差；6、R-Sq表示線性擬合度。五、模型的建立下面用minitab軟件對分別對殘差對用藥劑量、殘差對性別和殘差對血壓組別進(jìn)行

8、繪圖，到出對應(yīng)的1-4.1圖、1-4.2圖和1-4.3圖，并對這些圖進(jìn)行分析，分別可以看出殘差對用藥劑量是正常的、殘差對性別是正常的、殘差對血壓組別正常的。1-4.1圖1-4.2圖1-4.3圖由1-4.11-4.3圖分析，可以用藥劑量和血壓組別的乘積表示對病痛減輕時間的交互式影響，性別對病疼減輕時間有顯著影響，因此可以對男性和女性分開討論，得到如下模型：模型IIY二B+BX+Px+Pxx+801133413（1）對女性的進(jìn)行分析如下：回歸分析：病痛減輕時間（min）與用藥劑量（g）,血壓組別，用藥劑量及血壓組別回歸方程為病痛減輕時間（min）=23.1+0.040用藥劑量（g）+59.4血壓組

9、即別-Y=23.10.2用藥劑量及血壓組別交叉項(xiàng)1+0.040X1+59.X34-10,x3.2X1自變量系數(shù)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤TP常量23.0966.1083.780.005用藥劑量（g）0.03970.97670.040.969血壓組別59.3811.845.020.001用藥劑量及血壓組別-10.1632.021-5.030.001S=3.37051R-Sq=96.5%R-Sq（調(diào)整）=95.2%方差分析來源自由度SSMSFP回歸32486.03828.6872.940.000殘差誤差890.8811.36合計(jì)112576.92來源自由度SeqSS用藥劑量（g）12184.16血壓組別114.5

10、2用藥劑量及血壓組別1287.36異常觀測值用藥劑病痛減輕時擬合值標(biāo)準(zhǔn)化觀測值量（g）間（min）擬合值標(biāo)準(zhǔn)誤殘差殘差87.011.00017.4951.081-6.495-2.03RR表示此觀測值含有大的標(biāo)準(zhǔn)化殘差因?yàn)橛盟巹┝縫值為0.969,所以對病痛減輕時間影響不顯著，不妨引進(jìn)用藥劑量的平方項(xiàng)加以討論，因此模型進(jìn)一步改進(jìn)為：模型皿回歸分析：病痛減輕時間（min）與用藥劑量（g）,血壓組別，用藥劑量及血壓組別，用藥劑量的平方回歸方程為：病痛減輕時間（min）=31.8-3.49用藥劑量（g）+56.1血壓組別-9.32用藥劑量及血壓組別+0.264用藥劑量的平方即Y=31.8-3.49x1

11、+56.1x3-9.32x1x3+0.26x12自變量系數(shù)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤TP常量31.7795.7555.520.001用藥劑量（g）-3.4941.558-2.240.060血壓組別56.1229.1416.140.000用藥劑量及血壓組別-9.3221.579-5.900.001用藥劑量的平方0.26360.10202.580.036S=2.57789R-Sq=98.2%R-Sq（調(diào)整）=97.2%來源自由度SSMSFP回歸42530.40632.6095.190.000殘差誤差746.526.65合計(jì)112576.92來源自由度SeqSS用藥劑量(g)12184.16血壓組別114.52用藥

12、劑量及血壓組別1287.36用藥劑量的平方144.36由擬合值R-Sq=98.2%可以確定，該模型比較合理。（2）、對男性用模型II進(jìn)行分析，分析結(jié)果如下：回歸分析：病痛減輕時間（min）與用藥劑量（g）別，用藥劑量及血壓組別回歸方程為：病痛減輕時間（min）=31.5+0.16用藥劑量（g）+39.-7.59用藥劑量及血壓組別血壓組血壓組別即Y=31.5+0.16x1+39.0x3-7.59x1x3系數(shù)標(biāo)自變量系數(shù)準(zhǔn)誤TP常量31.4813.712.300.051用藥劑量（g）0.1572.0550.080.941血壓組別39.0325.391.540.163用藥劑量及血壓組別-7.5883

13、.806-1.990.081S=7.84538R-Sq=76.6%R-Sq(調(diào)整）=67.9%方差分析來源自由度SSMSFP回歸31615.27538.428.750.007殘差誤差8492.4061.55合計(jì)112107.67來源自由度SeqSS用藥劑量(g)11349.42血壓組別121.13用藥劑量及血壓組別1244.72因?yàn)橛盟巹┝縋值為0.941,所以對病痛減輕時間影響不顯著，不妨引進(jìn)用藥劑量的平方項(xiàng)加以討論，因此可以利用模型III進(jìn)行分析：回歸分析：病痛減輕時間（min）與用藥劑量（g）,血壓組別，用藥劑量及血壓組別，用藥劑量的平方回歸方程為：病痛減輕時間（min）=49.8-7.

14、84用藥劑量（g）+39.0血壓組別-7.59用藥劑量及血壓組別+0.667用藥劑量的平方即自變量Y=49.8-7.84x1+39.0x-7.59x1x3+0.667x3系數(shù)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤TP常量49.8110.714.650.002用藥劑量（g）-7.8432.784-2.820.026血壓組別39.0316.962.300.055用藥劑量及血壓組別-7.5882.543-2.980.020用藥劑量的平方0.66670.20183.300.013S=5.24268R-Sq=90.9%R-Sq(調(diào)整)二85.7%方差分析來源自由度SSMSFP回歸41915.27478.8217.420.001殘差

15、誤差7192.4027.49合計(jì)112107.67來源自由度SeqSS用藥劑量(g)11349.42血壓組別121.13用藥劑量及血壓組別1244.72用藥劑量的平方1300.00由此，可以看出，在男性方面血壓組別的P=0.55,對病痛減輕時間不顯著，不妨取消血壓組別這個單變量，將模型進(jìn)一步改進(jìn)。模型W回歸分析：病痛減輕時間（min）與用藥劑量（g）,性別，用藥劑量及血壓組別，用藥劑量的平方*性別（實(shí)質(zhì)上）是常量*性別已從方程中刪除?；貧w方程為：病痛減輕時間（min）=32.8-4.02用藥劑量（g）+0.955用藥劑量及血壓組別+0.00427用藥劑量的平方Y(jié)=32.8-4.02x1+0.9

16、55x1x3x12自變量系數(shù)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤TP常量32.7943.4379.540.000用藥劑量（g）-4.02290.5371-7.490.000用藥劑量及血壓組別0.95490.85621.120.297用藥劑量的平方0.00426600.00061436.940.000S=3.36837R-Sq=95.7%R-Sq(調(diào)整)二94.1%方差分析來源自由度SSMSFP回歸32016.90672.3059.250.000殘差誤差890.7711.35合計(jì)112107.67來源自由度SeqSS用藥劑量(g)11349.42用藥劑量及血壓組別1120.36用藥劑量的平方1547.12異常觀測值用藥劑病痛減輕時擬合值標(biāo)準(zhǔn)化觀測值量（g）間（min）擬合值標(biāo)準(zhǔn)誤殘差殘差1210.05.0000.7932.6914.2072.08R表示此觀測值含有大的標(biāo)準(zhǔn)化殘差*注*列中的所有值相同。用藥劑量及血壓組別的P=0.297,但是R-Sq=95.7