利用教學內(nèi)容的邏輯體系培養(yǎng)學生的邏輯思維能力

1、解析幾何教學中的幾個問題1“曲線方程”滲透。2幾何、代數(shù)雙管齊下。3核心是解析法。4從代數(shù)到幾何。利用教學內(nèi)容的邏輯體系培養(yǎng)學生的邏輯思維能力 談新教材上幾個問題的教學處理陶維林（江蘇南京師大附中 210003） 高中數(shù)學新教材是教材編寫人員根據(jù)教育部頒布的普通高中數(shù)學課程標準（實驗）（以下稱“新課程標準”），周密思考，認真研究的結(jié)果教學中對教材應該尊重但教材也是一家之言，因此未必需要照搬根據(jù)具體情況，認真研究、靈活地使用教材是教學研究的一項重要工作 本文就高中數(shù)學新教材（新課程標準“蘇教版”教材，必修模塊數(shù)學23）教學中幾個問題的處理，談?wù)剬W習新課程標準，帶著對數(shù)學本質(zhì)認識，帶著對數(shù)學教學所

2、承載的任務(wù)培養(yǎng)學生的思維能力的認識來組織教學的體會，供同行參考欠妥之處，懇請指正1 直線的傾斜角與斜率的教學處理解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題教學中可以保持兩條線并進，一是幾何對象，一是代數(shù)方法，始終注意數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系1.1 為什么要定義傾斜角 為了刻畫直線在坐標平面中的位置，為了區(qū)別經(jīng)過同一點的不同直線的位置關(guān)系，需要定義傾斜角明確了定義概念的目的、作用，也就明確了定義的必要性以及如何定義這個概念要用角來區(qū)別直線位置就需要一個基準，一個參照物，這個參照物就是x軸及它的正方向角是由同一點出發(fā)的兩條射線組成的圖形，因此還需要規(guī)定直線的方向，這就是向上或向右的方向，這樣，直線的傾斜

3、角是哪個角就明確了由于目的清楚，自然直線的傾斜角的范圍就應該是0°180°為什么不要180°？那是因為與0°所刻畫的是同一種位置狀態(tài)為什么不是0°180°，那是能用較小的不用較大的，能用正的就不用負的，計算方便，合理 這樣定義的傾斜角，平面內(nèi)的任意一條直線都有傾斜角很容易知道，傾斜角相等的直線是平行的，反之，平行的直線的傾斜角相等1.2 為什么要定義斜率是為了對傾斜角進行代數(shù)刻畫，便于以后參與運算，用代數(shù)的方法處理幾何問題我們規(guī)定，直線的斜率ktan（90°）這個規(guī)定是合理的加上同學們有關(guān)于坡度意義的感受，樂意接受它但是，斜

4、率有一個缺點，就是不能表示與x軸垂直的直線換句話說，傾斜角不是90°的直線的傾斜角的正切值才稱為該直線的斜率至此，對直線傾斜程度的幾何、代數(shù)兩方面的刻畫工作都已經(jīng)完成既然直線的傾斜角與斜率都是用來刻畫直線的傾斜程度的，對他們之間的關(guān)系ktan就需要理解認識比如，當直線的傾斜角是銳角時，直線的斜率是正數(shù)；當直線的傾斜角是鈍角時，直線的斜率是負數(shù)，當直線的傾斜角是零度時，直線的斜率等于零同樣，如果兩條（不重合）直線都有斜率，那么，兩直線平行時，傾斜角相等，斜率相等；反過來，兩直線的斜率相等時，傾斜角相等，它們平行這樣來進行兩直線平行的判斷既合理又簡單，順利成章而不是象新教材那樣，構(gòu)造兩個

5、直角三角形，利用它們相似，對應邊的比相等，來說明為什么兩平行直線斜率相等1.3 斜率公式是怎么回事斜率公式k（x1x2）是斜率概念的一個應用，解決的一個數(shù)學問題兩點確定一條直線，已知直線經(jīng)過的兩點可以求它的斜率，又是從幾何到代數(shù)并不同于前面的定義概念弄清了以上關(guān)系，自然也就明確了教學順序應該是什么，這樣做學生會感到“數(shù)學是自然的”，清楚的，邏輯性強而且是典型的解析幾何研究問題的手法，從幾何到代數(shù)也更符合新課程標準指出的“理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式”的要求而不是象新教材那樣，先由坡度概念引進斜率公式，作為斜率的定義，最后再講傾斜

6、角，淡化了傾斜角與斜率之間的重要關(guān)系ktan（90°）這樣的順序，可能打亂了數(shù)學知識之間的邏輯體系，對于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力不利也許有人認為，學生在初中已經(jīng)了解坡度的概念，應該從學生已有的認知結(jié)構(gòu)出發(fā)我不反對從學生已經(jīng)有的認知結(jié)構(gòu)出發(fā)來組織教學這個觀點，但是，對于學生已經(jīng)有的認知結(jié)構(gòu)有個如何尊重，如何利用的問題比如在學習了斜率以及斜率公式之后，問一問學生，過去你們見過類似的概念嗎，讓學生把新知識與舊知識聯(lián)系起來，感受到新知識的生長點在哪里，未必不可打亂數(shù)學知識之間的邏輯聯(lián)系，遷就學生已經(jīng)有的，又不是非借助不可的知識結(jié)構(gòu)來組織教學，可能是得不償失的2 直線方程的教學處理2.1 一個“

7、定理” 從幾何上講，一個點與一個方向可以確定一條直線；從代數(shù)上講，一個點的坐標和一條直線的斜率可以確定直線的方程首先提出問題：已知直線l經(jīng)過點P（x0，y0），斜率為k，求直線l的方程所謂“求直線l的方程”，就是建立直線l上任意一點M（x，y）坐標之間的關(guān)系式于是，設(shè)M（x，y）是直線l上任意一點根據(jù)斜率公式，有k（xx0）化簡，得 yy0k（xx0） 那么，這個方程有沒有資格作為直線l的方程呢？直線l上的點的坐標都滿足這個方程（從幾何到代數(shù)）沒有問題，問題在于，坐標滿足這個方程的點都在這條直線l上（從代數(shù)到幾何）嗎？這是需要證明的設(shè)M（x，y）滿足方程，即有 yy0k（xx0）如果xx0，則

8、yy0點M在直線l上，沒有問題如果x'x0，則k這說明P，M，M'三點共線，點M在直線l上，也沒有問題由此，坐標滿足方程的點一定在直線l上 這樣一來，我們可以把它作為一個“定理”，一個“公式”，即經(jīng)過點P（x0，y0），斜率為k的直線l的方程是yy0k（xx0）既然有了這樣一個“定理”，今后就可以利用這個“定理”，求其他直線的方程了2.2 三個“推論” 教學中，可以把直線的斜截式方程，截距式方程，兩點式方程都作為直線的點斜式方程這個“定理”的“推論”來處理 這幾種形式的方程都是表現(xiàn)直線的，它們之間也是可以互相轉(zhuǎn)換的 理清這一脈絡(luò)，讓學生感受到教學內(nèi)容之間的這一邏輯聯(lián)系，培養(yǎng)學生

9、邏輯思維能力不然學生不知道為什么要講這些，他們的關(guān)系到底是什么 注意到解析幾何的本質(zhì)，我在處理直線的斜截式方程的教學時，改變教材三種直線方程同一種處理方式的教學方法，采用從代數(shù)到幾何的方式，提出問題比如，求證：方程ykxb表示一條直線P94因為有了前面的“定理”，學生明白，只要把方程ykxb化成點斜式就可以了這是容易的由ykxb得ybk（x0），這是直線的點斜式方程，它表示一條經(jīng)過點（0，b），斜率為k的直線然后再提出截距的有關(guān)概念，等等之所以這樣來提出問題，是還注意到，在初中，學生已經(jīng)熟悉一次函數(shù)（代數(shù)）ykxb（k0），它的圖象是一條直線（幾何），打通代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，“體會斜截式與一

10、次函數(shù)的關(guān)系”，“幫助學生不斷地體會數(shù)形結(jié)合的思想方法”1，貫穿解析幾何的本質(zhì)3 柱、錐、臺、球體積的教學處理 讓學生感受到體積公式建立過程中的邏輯順序，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力 我是按照這樣的順序組織教學的： （1）什么是體積？幾何體占有空間的大小稱為幾何體的體積 （2）公理5：長方體的體積是 Vabc 前面已經(jīng)學習了4個公理，這里再提出第5個公理，學生并不會感到意外 （3）介紹祖暅原理，從平面到空間這是我國古代數(shù)學家的杰出貢獻，借機進行愛國主義的教育 （4）介紹柱體體積公式這由公理5及祖暅原理很容易理解 （5）介紹錐體體積公式錐體體積是等底等高的柱體體積的三分之一這個公式初中曾經(jīng)用“倒沙”的

11、方法驗證過，這里借助信息技術(shù)工具幾何畫板的演示并證明它，不難理解 （6）介紹球的體積公式建立過程這是祖暅原理的又一次應用，而且可以明確球的體積是它的外切圓柱體積的三分之二 （7）介紹球的表面積球就是“錐”，由錐體體積公式、球的體積公式推出球的面積公式說球就是“錐”，開始時學生感到困惑因為學生有扇形面積公式如同三角形面積公式一樣的經(jīng)驗，很快理解了其中的緣故這里還借機進行了一次“以直代曲”極限思想的滲透 教學實踐表明，這樣做邏輯體系清晰，學生接受并不感到有什么困難，沒有增加學生的負擔，相反卻增加了學生的興趣與樂趣，增強了教學效果 在初中，由于學生的思維特點，用“倒沙”的方法解釋錐體體積是等底等高柱

12、體體積的三分之一的教學處理是可以理解和接受的但對于高一學生，再用“倒沙”的方法來驗證球的體積是VR可能是不必要的，應該相信證明過程這樣更符合高中學生理性思維的特點4 幾點思考4.1 新課程強調(diào)學生的動手操作，親身參與，這是正確的但是，研究表明：人的智力與能力發(fā)展具有年齡特征整個中學階段以抽象邏輯思維占主導地位初中階段主要是以經(jīng)驗型為主的抽象邏輯思維，而高中階段主要是以理論型為主的抽象邏輯思維這些結(jié)論是需要我們在教材編寫、教學設(shè)計中引起注意、認真思考的比如在講平面上兩點間距離公式、點到直線的距離公式、直線的點斜式方程時，是否有必要先設(shè)置一個具體的例子，再引入一般情況呢？我以為是不要的另外，對于高中學生來說，講操作更要講推理，講思維4.2 數(shù)學教學承載著培養(yǎng)學生思維能力的特殊任務(wù)，因此，數(shù)學教師也應該注意把培養(yǎng)學生的邏輯思維能力放在十分重要的位置讓學生從教學內(nèi)容的順序中感受到邏輯，讓學生從數(shù)學解題中感受到邏輯，讓學生從知識體系中感受到邏輯4.3 新教材帶來了許多新問題，如何用好新教材需要我們花大力氣研究我以為，教師必須加強學習加強教育教學理論的學習；讀好“原著”，這就是教育部頒布的新課程標準；加強各種版本教材對同一教學內(nèi)容處理方法的比較研究這樣，可以提高自身的識