基本事實(shí)與定理

1、8、3 基本事實(shí)與定理基本事實(shí)與定理（一）（一）自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)下列命題是真命題嗎下列命題是真命題嗎? ?1 1、如果、如果a a是有理數(shù)，那么是有理數(shù)，那么a a是實(shí)數(shù)；是實(shí)數(shù)；2 2、如果、如果mm是自然數(shù)，那么是自然數(shù)，那么mm是整數(shù)；是整數(shù)；3 3、如果、如果a a是整數(shù)，那么是整數(shù)，那么a a是有理數(shù)；是有理數(shù)；4 4、如果四邊形、如果四邊形ABCDABCD是正方形，那么它是矩形是正方形，那么它是矩形一、知一、知識識回眸：回眸：是是是是歐幾里得歐幾里得 古希臘數(shù)學(xué)家古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得歐幾里得( (Euclid，約公元前約公元前330前前275) )對他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)知識作了系統(tǒng)對他

2、那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)知識作了系統(tǒng)化的總結(jié)，他化的總結(jié)，他挑選出挑選出一些人們一些人們在長期實(shí)踐中總在長期實(shí)踐中總結(jié)出來結(jié)出來的的公認(rèn)公認(rèn)的的真命題真命題，作為證明的，作為證明的原始依據(jù)原始依據(jù)，稱這些稱這些真命題真命題為為公理公理. 歐幾里得歐幾里得以以基本定義基本定義和和公理公理作為作為推理推理的的出發(fā)點(diǎn)出發(fā)點(diǎn)，去判斷其他命題的真假，去判斷其他命題的真假，已經(jīng)判已經(jīng)判斷為真的命題斷為真的命題稱為稱為定理定理，它也可以作為，它也可以作為判判斷其他命題的真假斷其他命題的真假的的依據(jù)依據(jù).（一）（一）自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)（1 1）閱讀歐幾里得的簡介，師友互談感想。）閱讀歐幾里得的簡介，師友互談感想。小知識

3、歐幾里得按照這種方法歐幾里得按照這種方法( (現(xiàn)在稱為公理化方法現(xiàn)在稱為公理化方法) )編寫編寫了一本書，書名叫了一本書，書名叫原本原本.全書共分全書共分13卷，包括有卷，包括有5條條公理，公理，5條公設(shè)，條公設(shè)，119個(gè)定義和個(gè)定義和465條命題，構(gòu)成了歷史條命題，構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系（注：歐幾里得把公設(shè)和公理加以區(qū)分，即公理是適用于（注：歐幾里得把公設(shè)和公理加以區(qū)分，即公理是適用于一切科學(xué)的真理，而公設(shè)只適用于幾何一切科學(xué)的真理，而公設(shè)只適用于幾何. .近代數(shù)學(xué)對此不近代數(shù)學(xué)對此不再區(qū)分，都稱為公理再區(qū)分，都稱為公理.).)原本原本. .（一）（一）自主學(xué)習(xí)自

4、主學(xué)習(xí)知識梳理知識梳理 （2） 叫公理， (3). , . 叫定理。（4）公理與定理之間有什么關(guān)系:. 。人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的公認(rèn)的真命題，人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的公認(rèn)的真命題，并并作為證明作為證明其它命題其它命題的依據(jù)，稱這些真命題的依據(jù)，稱這些真命題. .已經(jīng)判斷為真的命題并已經(jīng)判斷為真的命題并作為證明作為證明其它命題其它命題的依據(jù)，的依據(jù)，稱這些真命題稱這些真命題公理公理是不需要證明的是不需要證明的, ,由由實(shí)踐實(shí)踐得出的結(jié)論得出的結(jié)論, ,定理定理是由公理得出來的是由公理得出來的, ,也可以說是公理的推論也可以說是公理的推論, , 是需要證明的是需要證明的 （一）（一）自主學(xué)習(xí)

5、自主學(xué)習(xí)檢測檢測 下面下面關(guān)關(guān)于公理和定理的于公理和定理的聯(lián)聯(lián)系系說說法法不正確不正確的是的是（ ）A A 公理和定理都是公理和定理都是真真命命題題， B B公理就是定理，定理也是公理，公理就是定理，定理也是公理，C C 公理和定理都可以作公理和定理都可以作為為推理推理論證論證的依據(jù)的依據(jù)D D公理的正確性不需公理的正確性不需證證明，定理的正確性需明，定理的正確性需證證明明B 把哪些真命題作為公理應(yīng)當(dāng)遵循下列原則：把哪些真命題作為公理應(yīng)當(dāng)遵循下列原則：直觀直觀，易于被大家所，易于被大家所公認(rèn)公認(rèn)；相互之間；相互之間不鬧矛盾不鬧矛盾等等 根據(jù)上述原則并且考慮到同學(xué)們的實(shí)根據(jù)上述原則并且考慮到同學(xué)

6、們的實(shí)際情況，我們這套教材到目前為止選擇了際情況，我們這套教材到目前為止選擇了八條真命題八條真命題作為作為公理公理：（一）（一）自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)知識梳理知識梳理 你能記下你能記下P42P42面的八條公理嗎？面的八條公理嗎？ 1.兩點(diǎn)確定一條直線兩點(diǎn)確定一條直線 2. 兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短 3.3.同一平面內(nèi)，同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)過一點(diǎn)有且只有一條直線與直線垂直有且只有一條直線與直線垂直4.4.兩兩直直線線被第三被第三條條直直線線所截所截, ,如果同位角相等如果同位角相等, , 那那么這兩條么這兩條直直線線平行平行; ; 5. 經(jīng)經(jīng)過一條直線過一條直線外一點(diǎn)外一點(diǎn)有且只有一條直線有且只

7、有一條直線 與已知直線平行與已知直線平行 6.6.兩邊兩邊及及夾夾角角對應(yīng)對應(yīng)相等的相等的兩個(gè)兩個(gè)三角形全等三角形全等; ;7.7.兩兩角及其角及其夾邊夾邊對應(yīng)對應(yīng)相等的相等的兩個(gè)兩個(gè)三角形全等三角形全等; ;8.8.三三邊對應(yīng)邊對應(yīng)相等的相等的兩個(gè)兩個(gè)三角形全等三角形全等; ;w等式的有等式的有關(guān)關(guān)性性質(zhì)質(zhì)和和不等式的有不等式的有關(guān)關(guān)性性質(zhì)質(zhì)都可以看作都可以看作公理公理w“ “在等式或不等式中在等式或不等式中, ,一一個(gè)個(gè)量可以用量可以用它它的等的等量量來來代替代替” ”. .這這一性一性質(zhì)質(zhì)也看作公理也看作公理, ,簡稱為簡稱為“ “等等量代量代換換” ”. .推理的依據(jù)：1、已知條件2、

8、定義3、公理4、定理5、等式（不等式）的性質(zhì) 動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋（二）經(jīng)典例題（二）經(jīng)典例題例例1 1：由上面給出的公理，證明如下命題的正確性：由上面給出的公理，證明如下命題的正確性： 等角的補(bǔ)角相等。等角的補(bǔ)角相等。 已知：1=2，1+3=180，2+4=180。求證：3=4證明：1+3=180， 2+4=180(已知)， 3=180-1，4=180-2 (等式的性質(zhì)) 1=2 (已知)， 3=4 (等式的性質(zhì))。 第一步：第一步：根據(jù)題意，根據(jù)題意，畫出圖形畫出圖形先根據(jù)命題的條件即已知事項(xiàng)，畫出圖形，再把命題的先根據(jù)命題的條件即已知事項(xiàng)，畫出圖形，再把命題的結(jié)論即求證的需要在圖上標(biāo)出必要的字母

9、或符號，以便于敘結(jié)論即求證的需要在圖上標(biāo)出必要的字母或符號，以便于敘述或推理過程的表達(dá)述或推理過程的表達(dá)第二步：第二步：根據(jù)根據(jù)條件、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出條件、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出已知、求證。已知、求證。把命題的把命題的條件條件化為幾何符號的語言化為幾何符號的語言寫在已知寫在已知中，中，命題的命題的結(jié)論結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何符號的語言轉(zhuǎn)化為幾何符號的語言寫在求證寫在求證中中第三步：第三步：經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明寫出證明過程過程一般情況下，分析的過程不要求寫出來，有些題目中，已一般情況下，分析的過程不要求寫出來，有些題目中，已經(jīng)畫出了圖形，寫好了

10、已知，求證，這時(shí)只要寫出經(jīng)畫出了圖形，寫好了已知，求證，這時(shí)只要寫出“證明證明”一項(xiàng)就可以了一項(xiàng)就可以了證明的一般步驟：證明的一般步驟： （二）經(jīng)典例題（二）經(jīng)典例題例例2 2：如圖，已知：在四邊形如圖，已知：在四邊形ABCDABCD中，中，AB=ADAB=AD，BC=DCBC=DC，ACAC、BDBD相交于相交于O O，求證：（求證：（1 1）ABCABC ADC,ADC, (2)OB=OD,ACBD (2)OB=OD,ACBD證明：（證明：（1 1）AB=AD,BC=DC,AC=ACAB=AD,BC=DC,AC=AC ABCABC ADCADC (2) (2) 由（由（1 1）知）知ABC

11、ABC ADC ADC BCA=DCA, BCA=DCA, 又又BC=DC BC=DC BO=OD,ACBD BO=OD,ACBD O D C B A用所學(xué)公理、定用所學(xué)公理、定理、定義說明理、定義說明1 1、“ “兩兩點(diǎn)之點(diǎn)之間間，線線段最短段最短” ”這個(gè)語這個(gè)語句是（句是（ ） A A、定理、定理 B B、公理、公理 C C、定、定義義 D D、只是命、只是命題題2 2、“ “同一平面同一平面內(nèi)內(nèi)，不相交的，不相交的兩條兩條直直線線叫做平行叫做平行線線” ”這個(gè)語這個(gè)語 句是（句是（ ） A A、定理、定理 B B、公理、公理 C C、定、定義義 D D、只是命、只是命題題3 3、下列命

12、、下列命題題中，中，屬屬于定于定義義的是（的是（ ） A A、兩兩點(diǎn)確定一點(diǎn)確定一條條直直線線 B B、同角的余角相等、同角的余角相等 C C、兩兩直直線線平行，平行，內(nèi)錯(cuò)內(nèi)錯(cuò)角相等角相等 D D、點(diǎn)到直、點(diǎn)到直線線的距離是的距離是該該點(diǎn)到點(diǎn)到這條這條直直線線的垂的垂線線段的段的長長度度4 4、下列句子中，、下列句子中，是定理的是（是定理的是（ ），）， 是公理的是公理的 是（是（ ），）， 是定是定義義的是（的是（ ），）， A A、三、三邊對應(yīng)邊對應(yīng)相等的相等的兩個(gè)兩個(gè)三角形全等；三角形全等； B B、對頂對頂角相等角相等 C C、全等三角形的、全等三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)邊相等，相等，對應(yīng)對應(yīng)角相等角相等 D D、有一、有一組鄰邊組鄰邊相等的平行四相等的平行四邊邊形叫做菱形形叫做菱形 E E、兩條兩條平行直平行直線線被第三被第三條條直直線線所截，同位角相等所截，同位角相等三、鞏固練習(xí)B BC CD DB B、C CA A、E ED D A A、B B、C C、D D、E E五名五名學(xué)學(xué)生猜自己的生猜自己的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)成成績績： A A說說：“ “如果我得如果我得優(yōu)優(yōu)，那，那么么B B也得也得優(yōu)優(yōu)?！?” B B說說：“ “如果我得如果我得優(yōu)優(yōu)，那，那么么C C也得也得優(yōu)優(yōu)?！?” C C說說：“ “如