北京交通大學(最優(yōu)控制理論及算法研究生課程)第一章 最優(yōu)控制概述

1、最優(yōu)控制理論與應用最優(yōu)控制理論與應用授課教師：授課教師：柳向斌柳向斌單位：單位：先進控制系統(tǒng)研究所先進控制系統(tǒng)研究所本本 章章 簡簡 介介(1/1)(1/1)考核方式考核方式:q 期末考試：期末考試：70%q 大作業(yè)：大作業(yè)：30%參考書目：參考書目：張洪鉞，王青張洪鉞，王青. 最優(yōu)控制理論與應用最優(yōu)控制理論與應用, 高等教育出版社；高等教育出版社；解學書解學書. 最優(yōu)控制理論與應用最優(yōu)控制理論與應用，清華大學出版社；，清華大學出版社；1. 王朝珠，秦化淑王朝珠，秦化淑.最優(yōu)控制理論最優(yōu)控制理論, 科學出版社科學出版社. 簡簡 介介(1/1)(1/1)本課程的主要內容本課程的主要內容q 講解最

2、優(yōu)控制問題初步，目的是掌握求解最優(yōu)控制問題的主要理論和方法，能對一些常見的最優(yōu)控制問題進行有效的分析，控制器設計和求解。 主要內容包括 泛函基礎 變分法、極大值原理及其在最優(yōu)控制中的應用 線性二次型最優(yōu)控制問題 離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題 動態(tài)規(guī)劃及其在最優(yōu)控制中的應用 微分對策控制 最優(yōu)魯棒控制p 最后介紹基于 Matlab 的線性系統(tǒng)的線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)的設計計算與運動仿真問題的程序設計與仿真計算。最優(yōu)控制概述最優(yōu)控制概述(1/1)1/1)第第 1 章章 最優(yōu)控制概述最優(yōu)控制概述 q 在20世紀50年代末開始迅速發(fā)展起來的現(xiàn)代控制理論中，最優(yōu)控制是其一個主要內容，目前仍是非?；钴S的一個分支

3、。 最優(yōu)控制問題是從大量的實際問題中提煉出來的， 它的發(fā)展與航空、航天和航海的制導、導航和控制技術密不可分； 化工過程中有著廣泛的應用；等等。 下面先通過幾個應用實例來引出最優(yōu)控制問題，然后討論最優(yōu)控制問題的描述及數(shù)學表達。 內容包括：v最優(yōu)控制的問題提出最優(yōu)控制的問題提出v最優(yōu)控制的問題描述最優(yōu)控制的問題描述v最優(yōu)控制的發(fā)展簡史最優(yōu)控制的發(fā)展簡史 最優(yōu)控制問題的提出(1/1)(1/1)1.1 最優(yōu)控制問題的提出最優(yōu)控制問題的提出q 考慮下面幾個實際最優(yōu)控制問題的例子， 飛船的月球軟著陸問題飛船的月球軟著陸問題 攔截問題攔截問題 連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題飛船的月球軟著陸

4、問題飛船的月球軟著陸問題(1/3)(1/3)1) 飛船的月球軟著陸問題飛船的月球軟著陸問題q 飛船靠其發(fā)動機產(chǎn)生一個與月球的重力方向相反的推力, 以控制飛船實現(xiàn)軟著陸, 即達到降落到月球表面時的速度為零。 問題要求設計發(fā)動機推力u(t)=f(t)程序,使飛船攜帶的燃料最少或著陸時間最短(最速升降問題)。q 設飛船的質量為m，高度和垂直速度分別為 h 和 v，月球的重力加速度 g可視為常數(shù)，飛船的自身質量及所攜帶的燃料分別為 M 和 F。 若飛船于某一初始時刻起開始進入著陸過程, 由牛頓第二定理和物料(燃料)平衡關系可知,飛船的運動方程為, 0mkhvffvgmk 飛船的月球軟著陸問題飛船的月球

5、軟著陸問題(2/3)(2/3) 要求控制飛船從初始狀態(tài)h(0)=h0, v(0)=v0, m(0)=M+F出發(fā)，在某一末態(tài)時刻 tf 實現(xiàn)軟著陸，即h(tf)=0, v(tf)=0 控制過程中，推力 f(t) 不能超過發(fā)動機所能提供的最大推力 fmax，即-fmax f(t) fmax 滿足上述約束條件, 使飛船實現(xiàn)軟著陸的推力程序并非一種，其中消耗燃料最少的稱為燃料最優(yōu)控制問題, 著陸時間最短的稱為最速升降問題或時間最優(yōu)控制問題。飛船的月球軟著陸問題飛船的月球軟著陸問題(3/3)(3/3) 這兩個問題可歸結為分別求 J1= J1(tf) - 燃料消耗最少，或者 J2= J2(tf) - 著陸

6、時間最短為最小的數(shù)學問題。 攔截問題攔截問題(1/2)(1/2)2) 攔截問題攔截問題在某一慣性坐標系內，設質量為在某一慣性坐標系內，設質量為m(t)攔截器攔截器L質心的位置矢量和質心的位置矢量和速度矢量為：速度矢量為：, LLxx 目標目標M質心的位置矢量和速度矢量為：質心的位置矢量和速度矢量為：攔截器的推力為：攔截器的推力為：F(t) ，即控制輸入。，即控制輸入。 , MMxx MLMLxxvxxx 攔截器與目標的相對運動攔截器與目標的相對運動方程為：方程為： ,( ) ( ),( )( ),xvF tva tm tF tmc 其中其中a(t)是除控制加速度外的固有相對加速度，是已知的。是

7、除控制加速度外的固有相對加速度，是已知的。攔截器和目標的相對位置和速度為：攔截器和目標的相對位置和速度為：攔截問題攔截問題(2/2)(2/2)從工程實際考慮，約束條件為：從工程實際考慮，約束條件為： 0( )max( )F tF t如果我們既要求攔截過程的時間盡量短，又要求燃料消耗盡量少，則可取性如果我們既要求攔截過程的時間盡量短，又要求燃料消耗盡量少，則可取性能指標：能指標： fttdttFcJ0)(1為最小為最小. . 綜上所述，所謂最優(yōu)攔截問題，即選擇滿足約束條件的控制綜上所述，所謂最優(yōu)攔截問題，即選擇滿足約束條件的控制F F( (t t) ), ,驅使系統(tǒng)驅使系統(tǒng)從初始狀態(tài)出發(fā)的解，在

8、某個時刻滿足終端條件，且使其性能指標為極值從初始狀態(tài)出發(fā)的解，在某個時刻滿足終端條件，且使其性能指標為極值（極小值）。（極小值）。初始條件為：初始條件為：000000)()()(mtmvtvxtx終端條件為：終端條件為： ()0(),ffx tv t任意(), fendm tmendm為燃料燃盡后攔截器的質量為燃料燃盡后攔截器的質量. 連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題(1/2)1/2)3) 連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題 q 設有一盛液體的連續(xù)攪拌槽, 如圖1所示。槽內開始裝有0oC 的液體, 現(xiàn)需將其溫度經(jīng)1小時后升高到40oC。圖圖 1 連續(xù)攪拌槽示意圖連

9、續(xù)攪拌槽示意圖 為此在入口處以常速流入液體，溫度為 u(t), 經(jīng)槽內不停轉動的攪拌器使槽內液體溫度均衡上升。 設流出的液體保持槽內液面恒定,在出口處溫度與槽內液體一致。 試尋找 u(t) 的變化規(guī)律, 使槽中液體的溫度經(jīng)1小時后上升到40oC, 并要求所散失的熱量最少。連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題(2/2)2/2)q 因假定槽內液體溫度均衡,設為x(t)。 由題設條件可知, x(t) 的邊界條件為x(0)=0oC, x(1)=40oC 由熱力學知識可知, 槽內的液體溫度的變化率與溫差u(t)-x(t)成正比,即式中, k1為比例系數(shù)。 我們的目標是確定流入的液體的溫度u(

10、t)如何變化, 使得散失的熱量最少, 即歸結為在上述狀態(tài)方程和邊界條件下, 求函數(shù) 最小的數(shù)學問題。 1( ) ( )( ),( )0, (1)40 x tk u tx tx txC102322d)()(ttuktxkJ最優(yōu)控制問題的描述最優(yōu)控制問題的描述(1/1)(1/1)1.2 最優(yōu)控制問題的描述最優(yōu)控制問題的描述q 從前面的應用實例可以看出，最優(yōu)控制問題可以抽象成共同的數(shù)學問題描述，為最優(yōu)控制理論研究帶來方便。 所謂最優(yōu)控制問題的描述, 就是將通常的最優(yōu)控制問題抽象成一個統(tǒng)一描述的數(shù)學問題, 并用數(shù)學語言嚴格地表述出來。 最優(yōu)控制問題的要素包括: 被控系統(tǒng)（對象）的數(shù)學模型被控系統(tǒng)（對象

11、）的數(shù)學模型 目標集目標集 容許控制容許控制 性能指標性能指標 最優(yōu)控制問題的描述最優(yōu)控制問題的描述 被控系統(tǒng)的數(shù)學模型被控系統(tǒng)的數(shù)學模型(1/2)(1/2)1. 被控系統(tǒng)的數(shù)學模型被控系統(tǒng)的數(shù)學模型q 前面討論的飛船控制系統(tǒng)和攪拌槽溫度系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng),所建立的描述該最優(yōu)控制問題的數(shù)學模型都為狀態(tài)空間表達式。 因此, 對一般被控系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題, 其數(shù)學模型可以用如下非線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式來描述:式中 x 為 n 維狀態(tài)向量; u 為 r 維輸入向量; y為m維輸出向量; f(x,u,t) 和 g(x,u,t) 分別為關于n維狀態(tài)向量 x和m維輸入向量 u 以及時間 t 的非線性

12、函數(shù)向量。),(),(ttuxgyuxfx 被控系統(tǒng)的數(shù)學模型被控系統(tǒng)的數(shù)學模型(2/2)(2/2)q 對許多實際被控系統(tǒng), 在一定精度范圍內, 其最優(yōu)控制問題中的數(shù)學模型多為 線性定常系統(tǒng) 線性時變系統(tǒng) 非線性定常系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式來描述。目標集目標集(1/3)(1/3)2. 目標集目標集q 動態(tài)系統(tǒng)在控制 u(t) 的作用下從一個狀態(tài)遷移另一個狀態(tài)的轉移, 這種轉移可以理解為狀態(tài)空間的一個點或系統(tǒng)狀態(tài)的運動。 在最優(yōu)控制問題中, 系統(tǒng)運動的初始狀態(tài)(稱初態(tài))通常已知, 即 x(t0) = x0 為已知, 而所要達到的最終狀態(tài)(稱末態(tài))是控制所要求達到的目標。目標集目標集(2/3)(2/

13、3) 末態(tài)因不同問題,可以是狀態(tài)空間的一個點, 更為一般的情況是末態(tài)要落在事先給定的范圍內, 如要求末態(tài)滿足如下約束條件g1(x(tf),tf)=0 g2(x(tf),tf) 0 式中, g1(x(tf),tf) 和 g2(x(tf),tf) 為關于末態(tài)時刻 tf 和末態(tài)狀態(tài) x(tf) 的非線性向量函數(shù)。 上述末態(tài)約束條件概括了對末態(tài)的一般要求。 實際上, 該末態(tài)約束條件規(guī)定了狀態(tài)空間中的一個時變的或時不變的集合, 此種滿足末態(tài)約束的狀態(tài)集合稱為目標集, 記為M，并可表示為M =x(tf): x(tf)Rn, g1(x(tf),tf) = 0, g2(x(tf),tf)0 目標集目標集(3/

14、3)(3/3) 需要指出：有些最優(yōu)控制問題并沒有對末態(tài)加以約束，則該問題的目標集為整個狀態(tài)空間Rn， 但此時并不意味著對末態(tài)沒有要求，系統(tǒng)還可以通過下面要介紹的性能性能指標等以約束末態(tài)指標等以約束末態(tài)。 至于末態(tài)時刻 tf , 它可以事先規(guī)定, 也可以由對末態(tài)的約束條件和性能指標等約束。容許控制容許控制(1/1)(1/1)3. 容許控制容許控制q 輸入向量 u(t) 的各個分量 ui (t) 往往是具有不同的物理性質和意義的控制量, 在實際系統(tǒng)中, 大多數(shù)控制量受客觀條件的限制, 只能在一定范圍內取值。 如飛船控制系統(tǒng)中控制量有大小范圍的限制; 又如在控制量為開關量的控制系統(tǒng)中, 輸入僅能取有

15、限的幾個值,如 -1, +1。 由控制量約束條件所規(guī)定的點集稱為控制域, 并記為U。 凡在閉區(qū)間t0, tf上有定義, 且在控制域U內取值的每一個控制函數(shù) u(t) 稱為容許控制, 并記為 u(t)U。 通常假定容許控制 u(t) 是一個有界連續(xù)函數(shù)或者是分段連續(xù)函數(shù)。性能指標性能指標(1/3)(1/3)4. 性能指標性能指標q 從前面的應用實例可以看出, 最優(yōu)控制問題最后歸結到從所有容許控制中容許控制中找出一種效果最好的控制律, 這就需要一個能衡量控制效果好壞或評價控制品質優(yōu)劣的性能指標函數(shù)性能指標函數(shù)。 例如, 飛船控制系統(tǒng)要求所攜帶的燃料最少燃料最少或到達末態(tài)的時間最短, 而連續(xù)攪拌槽系

16、統(tǒng)的性能指標為一個帶函帶函數(shù)積分的指標數(shù)積分的指標, 要求其為最?。?由于各種最優(yōu)控制問題所要解決的主要矛盾（問題）不同, 設計者的著眼點不同，因此歸結出的性能指標是不同的。性能指標性能指標(2/3)(2/3)q 一般形式的性能指標為 式中, 右邊第1項稱為末態(tài)性能指標末態(tài)性能指標, 體現(xiàn)了對末態(tài)的要求; 第2項稱為積分性能指標積分性能指標, 體現(xiàn)了對系統(tǒng)狀態(tài)變化過程中對的狀態(tài) x(t) 和控制u(t) 的要求; 在通常情況下, 可將各種不同的性能指標視為一般形式的性能指標的一種特例。 如飛船控制系統(tǒng)的性能指標可以視為當S(x(tf),tf) = m(tf), L(x,u,t)=0時上述一般形

17、式性能指標的一個特例。0( ( )(,( ), )d),)fffttStLtt tttJ xux性能指標性能指標(3/3)(3/3)q 性能指標函數(shù)又稱為指標泛函、目標函數(shù)、成本函數(shù)和評價指標泛函、目標函數(shù)、成本函數(shù)和評價函數(shù)等函數(shù)等。最優(yōu)控制問題的描述最優(yōu)控制問題的描述(1/2)1/2)5. 最優(yōu)控制問題的描述最優(yōu)控制問題的描述 q 總結上述最優(yōu)控制問題的數(shù)學模型、目標集、容許控制以及性能指標, 則最優(yōu)控制問題的描述可敘述為: 已知被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程及給定的初態(tài)如下： 規(guī)定的末態(tài)目標集為:M=x(tf): x(tf)Rn, g1(x(tf),tf)=0, g2(x(tf),tf)0 求一容許

18、控制u(t)U, tt0,tf, 使被控系統(tǒng)由給定的初態(tài)x0 出發(fā), 在 tf t0 時刻轉移到目標集 M, 并使如下性能指標為最小 00( )( ( ), ( ), ),( )ttt tt xf xuxxfttffttttLttSJ0d),(),(),(uxx最優(yōu)控制問題的描述最優(yōu)控制問題的描述(2/2)2/2)q 值得注意的是, 所謂的“最優(yōu)性”, 是指被控系統(tǒng)相對于性能指標函數(shù)意義下的最優(yōu)性。 不同的性能指標函數(shù), 最優(yōu)控制結果是不相同的。最優(yōu)控制發(fā)展簡史最優(yōu)控制發(fā)展簡史(1/5)(1/5)1.3 最優(yōu)控制發(fā)展簡史最優(yōu)控制發(fā)展簡史q 20世紀50年代, 隨著現(xiàn)代化生產(chǎn)的發(fā)展, 特別是空間

19、技術空間技術的發(fā)展, 被控系統(tǒng)日趨復雜, 對自動控制提出的要求愈來愈高。 建立在傳遞函數(shù)、頻率特性基礎上的經(jīng)典控制理論, 存在諸多局限性。主要表現(xiàn)在主要表現(xiàn)在: 首先, 它只適用于集總參數(shù)的SISO線性定常系統(tǒng), 且只適應于以解決伺服系統(tǒng)穩(wěn)定性為主要目標的設計問題, 難以適應綜合性能指標的系統(tǒng)控制設計綜合性能指標的系統(tǒng)控制設計。其次, 在應用經(jīng)典控制理論設計時, 需要憑經(jīng)驗試湊及大量手工計算, 難以用來解決復雜問題，如PID控制。最優(yōu)控制發(fā)展簡史最優(yōu)控制發(fā)展簡史(2/5)(2/5)現(xiàn)代化生產(chǎn)的發(fā)展使系統(tǒng)所要求的品質指標, 如時間、成本或綜合性能指標, 取極值直至最優(yōu)的控制方法成為控制理論與工程的關鍵問題。q 現(xiàn)代控制理論能處理的問題的范圍很廣泛 它可以用來處理時變時變系統(tǒng)、非線性非線性系統(tǒng)、MIMO系統(tǒng)以及分布參數(shù)系統(tǒng)的問題；用它來處理隨機系統(tǒng)和離散系統(tǒng)問題同樣是很方便的。 最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論的重要組成部分， 同樣能處理的控制問題的范圍也非常廣泛。最優(yōu)控制發(fā)展簡史最優(yōu)控制發(fā)展簡史(3/5)(3/5)q 早在20世紀50年代初期, 就發(fā)表了用工程觀點研究最短時間控制問題的文章, 為最優(yōu)控制理論發(fā)展提供了最早的實際模型。 由于最優(yōu)控制問題的嚴