第一章-中點(diǎn)模型的構(gòu)造

1、中點(diǎn)模型的構(gòu)造技巧提煉：很多幾何題會(huì)給出“點(diǎn)X是線段XX的中點(diǎn)”這樣的條件，那么看到“中點(diǎn)”我們應(yīng)該想到什么呢？“中點(diǎn)”有哪些作用呢？1、已知任意三角形一邊上的中點(diǎn)，可以考慮:(1) 倍長(zhǎng)中線或類中線(與中點(diǎn)有關(guān)的線段)構(gòu)造全等三角形。如圖(2) 三角形中位線定理。2、已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線。3、已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線合一”。4、有些題目的中點(diǎn)不直接給出，此時(shí)需要我們挖掘題目中的隱含中點(diǎn),例出直角三角形中斜邊中點(diǎn)，等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，當(dāng)沒有這些條件的時(shí)候，可以用輔助線添加。典例精講例1如圖所示，在ABC中，AB=12,AC=20，求BC邊上

2、的中線AD的取值范圍。例2如圖所示，已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,AF=EF,求證：AC=BE。變式練習(xí)：1、如圖，已知在厶ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F,AF精品資料與EF相等嗎，為什么?BI)C2、如圖，在ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF/AD交CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G,若AD為ABC的角平分線，求證：BG=CF。4精品資料例3如圖，在RtXBC中，/BAC=90。，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且ED_LFD，以線段BE、EF、FC為邊能否

3、構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形，還是直角三角形，或者是鈍角三角形？變式練習(xí)：1、如圖，已知M為ABC中BC邊上的中點(diǎn)，/AMB、/AMC的平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF。求證：BE+CF>EF。12、如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DMJDN，如果BM2CN2=DM2+DN2，求證：AD2=(AB2+AC2)。例4已知，如圖，在ABC中，BE、CF分別為邊AC、AB的高，D為BC的中點(diǎn)，DMJEF于點(diǎn)M，求證：FM=EM。精品資料例5XBD和ACE都是直角三角形，且/ABD=ZACE=90°，如圖，連接DE，設(shè)M為DE的中點(diǎn)，連接MB、MC。求證：MB

4、=MC。例6問題一：如圖（a）,在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA、AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N,求證：/BME=ZCNE。問題二：如圖（b）,在四邊形ABCD中，AB與CD相交于點(diǎn)O,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交DC、AB于點(diǎn)M、N，判斷AOMN的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論。問題三：如圖（c）,在ABC中，AC>AB,D點(diǎn)在AC上,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,若/EFC=60°，連接GD，判斷AGD的形狀并證明。例7如圖，已知在厶ABC中，AB=AC

5、,CE是AB邊上的中線，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使BD=AB，求證：CD=2CE。例8問題1:如圖（a）,三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AEJBC,BF山C,垂足分別為點(diǎn)E、F,AE、BF交于點(diǎn)M，連接DE、DF，若DE=kDF，貝Uk的值為。問題2:如圖（b）,三角形ABC中，CB=CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部，且/MAC=/MBC，過點(diǎn)M分別作業(yè)ME_LBC,MF!AC,垂足分別為點(diǎn)E、F，連接DE、DF。求證DE=DF。問題3:如圖（C）,若將上面問題2中的條件“CB=CA”變?yōu)檫瓵:其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。牛刀小試：*1、如圖，

6、在等腰直角三角形ABC中，/ABC中，/ABC=90°,D為AC邊上中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEJDF，交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F，若AE=4，F(xiàn)C=3。求EF長(zhǎng)。*2、如圖，在ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD=BC，E是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE=2AC，若AD=BE，求證：ABC是直角三角形。*3、如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，連接CF，作DEJCF交BC于點(diǎn)E，交CF于點(diǎn)M,求證：AM=AD。D*4、如圖，/BAC=ZDAE=90°,M是BE的中點(diǎn)，AB=AC,AD=AE，求證：AMJCD。*5、如圖，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,AD=BC,AC與BD交于點(diǎn)O,

7、JOB=60°,P、Q、R分別是OA、BC、OD的中點(diǎn)，求證：PQR是正三角形。*6、如圖，在ABC中，若ZB=2ZC,AD_LBC,E為BC邊的中點(diǎn)，求證：AB=2DE。*7、如圖，分別以厶ABC的邊AB,AC為邊，向三角形的外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，點(diǎn)M為BC中(1)求證：AM_LEG;(2)求證：EG=2AM。*8、如圖，在ABC的兩邊AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中點(diǎn)M、Q、N,判斷MNQ的形狀并證明。*9、如圖，在五邊形ABCDE中，/ABC=ZAED=90。，啟AC=ZEAD，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，求證：BF=EF。眺望中考:數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：操作發(fā)現(xiàn)：在等腰ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF丄AB于點(diǎn)F,EG丄AC于點(diǎn)G,M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是.（填序號(hào)即可）AF=AG=AB;MD=ME;四邊形AFMG是菱形；整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；MD丄ME.數(shù)學(xué)思考：在任意ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，貝UMD和ME具有怎樣的數(shù)量