第十六講圖形的平移和旋轉(zhuǎn)講義

1、第十六講圖形的平移和旋轉(zhuǎn)一、課標下復習指南(一) 平移變換1 平移的概念平面內(nèi)將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這種圖形變換稱為平移.注：平移變換的兩個要素：移動的方向和距離.2 平移的性質(zhì)(1) 平移前后的圖形全等；(2) 對應(yīng)線段平行(或共線)且相等；(3) 對應(yīng)點所連的線段平行(或共線)且相等.3. 平移變換的作圖如圖16-1所示，將厶ABC平移至AB'C,則有AA/BB,且AA=BB;BB'與CC共線，且BB=CC.圖16-1說明我們可以根據(jù)平移的方向和距離作出平移后的圖形；反之，可以根據(jù)平移前后的圖形，得知平移的方向和距離.4. 用坐標表示平移I向彩說向左平位喪度a

2、點點(x+a,y)或(x-a,y);(2)點(x,y)*(x,y+b)或(x,y-b).(二) 軸對稱變換1. 軸對稱的概念把一個圖形沿一條直線翻折過去，如果它能與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱或軸對稱.這條直線就是對稱軸.兩個圖形中的對應(yīng)點(即兩圖形重合時互相重合的點)叫做對稱點.2. 軸對稱的性質(zhì)(1) 關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形全等；(2) 對稱點所連的線段被對稱軸垂直平分；(3) 對應(yīng)線段所在直線若相交，則交點在對稱軸上.3. 軸對稱變換的作圖如圖16-2，若ABCfAAB'C關(guān)于直線I對稱，則有ABC'AA,BB,CC都被直線I垂直平分.圖16-2說明

3、我們可以根據(jù)對稱軸作出一個圖形的軸對稱圖形；反之，可以根據(jù)兩個成軸對稱關(guān)系的圖形，得出對稱軸.4. 軸對稱圖形如果把一個圖形沿一條直線對折，對折的兩部分能夠完全重合，那么就稱這個圖形為軸對稱圖形，這條直線就是這個軸對稱圖形的對稱軸.注：一個圖形的對稱軸可以有1條，也可以有多條.5. 軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系軸對稱軸對稱是指兩個圖形的對稱關(guān)系若把軸對稱的兩個圖形看成一個(整體)圖形，則成為軸對稱圖形；若把軸對稱圖形的互相對稱的兩個部分看成兩個圖形，則軸對稱圖形軸對稱圖形是指具有某種對稱特性的一個圖形它們成軸對稱6. 用坐標表示軸對稱點(x,y)關(guān)于x軸對稱的點為(x,-y);點(x

4、,y)關(guān)于y軸對稱的點為(x,y);點(x,y)關(guān)于直線y=x對稱的點為(y,x);點(x,y)關(guān)于直線y=x對稱的點為(一y,x)；*點(x,y)關(guān)于直線x=m對稱的點為(2m-x,y);*點(x,y)關(guān)于直線y=n對稱的點為(x,2ny).(三) 旋轉(zhuǎn)變換1. 旋轉(zhuǎn)的概念在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點0沿某個方向(逆時針或順時針)轉(zhuǎn)動一定的角度，樣的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).這個定點0叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角.注：旋轉(zhuǎn)變換的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.2. 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(1) 旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；(2) 對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等(意味著：即旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點所連線段的垂直平分線上)；

5、(3) 對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；*(4)對應(yīng)線段所在直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.3. 旋轉(zhuǎn)變換的作圖(1) 明確旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角，找出能確定原圖形的關(guān)鍵點；(2) 將能確定原圖形的關(guān)鍵點(多邊形一般為每個頂點)與旋轉(zhuǎn)中心連接，并將線段按要求進行旋轉(zhuǎn)，得到這些關(guān)鍵點的對應(yīng)點；(3) 按原圖形頂點的順序順次連接這些對應(yīng)點，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形.說明根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的圖形可以確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.*4.旋轉(zhuǎn)對稱圖形如果某圖形繞著某一定點轉(zhuǎn)動一定角度(小于360°)后能與自身重合，那么這種圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形.5. 中心對稱把一個圖形繞著某個定點旋轉(zhuǎn)180°

6、;,如果它能和另一個圖形重合，那么這兩個圖形關(guān)于這個定點對稱或中心對稱.這個定點叫做對稱中心，兩個圖形中對應(yīng)點叫做關(guān)于對稱中心的對稱點.6. 中心對稱的性質(zhì)中心對稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)，因此它具有旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì).另外，它還有自己特殊的性質(zhì)：(1) 對稱點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分，即對稱中心是兩個對稱點所連線段的中點；(2) 對應(yīng)線段平行或共線.7. 中心對稱的作圖如圖16-3,若厶ABCWABC'關(guān)于點O中心對稱，則對稱中心O是線段AA、BB'、CC共同的中點，且AB/AB',AB=AB',BC/B'C,BC=B'C,CACA,CA=

7、C'A'.圖16-3說明我們可以根據(jù)對稱中心作出一個圖形的中心對稱圖形；反之，可以根據(jù)兩個成中心對稱關(guān)系的圖形，得出對稱中心.&中心對稱圖形一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，這種圖形稱為中心對稱圖形這個定點叫做該圖形的對稱中心.*中心對稱圖形是一個特殊的旋轉(zhuǎn)對稱圖形(旋轉(zhuǎn)角等于180°).9中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系中心中心對稱把中心對稱的兩個對稱是指兩個圖形圖形看成一個(整體)圖的對稱關(guān)系形，則稱為中心對稱圖中心對稱形；把中心對稱圖形的中心對圖形是指具有互相對稱的兩個部分看稱圖形某種對稱特性成兩個圖形，則它們成的一個圖

8、形中心對稱10.關(guān)于原點對稱的點的坐標點(x,y)關(guān)于原點對稱的點的坐標為(一x,y).二、例題分析例1在平面直角坐標系中，RtAOB勺兩條直角邊OAOB分別在x軸的負半軸，y軸的負半軸上，且OA=2,OB-1將AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,再把所得的圖形沿x軸正方向平移1個單位長度，得到CDO(1) 在坐標系中，分別畫出AOBACOD并寫出點A,C的坐標；(2) 求點A和點C之間的距離；(3) 求點A到點C所經(jīng)過的路線的長度.解所畫出的厶AOACOD如圖164所示，點A的坐標是(2,0)，點C的坐標是(1,2).圖164(2)連接AC在RtACD中,AD=OAFOD=3,CD

9、=2,ACCD2AD213.90n0A1n1.(3)點A到點C所經(jīng)過的路線的長度是180說明(1)正確畫出圖形經(jīng)過幾何變換后所得到的圖形，是考查我們對概念的理解和空間想象力的具體體現(xiàn)想一想，AOB能否先進行平移、再經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，得到CDO如果可以，請用準確的術(shù)語寫出這個變換的過程(2)請注意第、(3)小題的區(qū)別.例2如圖165,把矩形紙片ABCDEF折疊，使點B落在AD邊上的點B'處，點A落在點A'處，折痕分別交ADBC于E,F.圖165(1) 求證：B'E=BF;(2) 設(shè)AE=a,AB=b,BF=c,試猜想以a,b,c為邊的三角形的形狀，并給予證明.分析折疊過程體現(xiàn)了軸

10、對稱，由軸對稱性質(zhì)可知，B'F=BF,/BFE=ZB'FE而/BFE=ZB'EF,故有B'E=B'F=BF.解(1)證明：由題意，可得B'F=BF,/BFE=ZB'FE在矩形ABCD中,AD/BC:丄BEF=ZBFE=ZB'FEB'E=B'F=BF(2)解：以a,b,c為邊可以構(gòu)成直角三角形.證明：如圖166,連接BE貝UBE=B'ED圖166由(1)知，B'E=BF=c,a2+b2=AE+AB2=BE2=c2.以a,b,c為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形.例3如圖16-7,某人有一塊平行四邊形的土地，

11、地里有一個圓形池塘，此人立下遺囑：要把這塊土地平分給他的兩個兒子，中間的池塘也要同時平分，但不知如何去做.你能想個辦法嗎圖16-7分析這個圖形實際上是由兩個中心對稱圖形組合而成，要想將其面積平分，只要找一條直線，使其既能平分平行四邊形的面積，又能平分圓的面積即可.解連接平行四邊形的兩條對角線，其交點A就是平行四邊形的中心，而圓的圓心B就是圓的中心，因此直線AB就能將土地與池塘的面積同時平分了.說明此題可以推廣.由于經(jīng)過中心對稱圖形的對稱中心的直線都可以平分該圖形的面積，所以只要地和池塘都是中心對稱圖形，過兩個對稱中心的直線即可同時平分它們的面積.(2) 一些非中心對稱的圖形內(nèi)部也存在這樣的點，

12、使得過該點有無數(shù)條直線平分該圖形的面積比如梯形，過梯形中位線的中點，且與梯形上、下兩底均相交的直線均平分該梯形的面積請思考：如圖16-8,五邊形ABCDI中,AB/CDAE/BC你能找到多少條平分該五邊形的面積的直線呢圖16-8例4已知ABC中,AB>ACADABC勺角平分線，P為線段AD上一點，分別連接BP和CP試判斷AB-AC和BP-CP的大小關(guān)系，并說明理由.分析AB和AC不共線，BP和CP也不共線，即不是同一個三角形的兩條邊，要想構(gòu)造（或集中到一個三角形的三邊它們的差，可以嘗試通過圖形變換把它們集中到一條直線上上），從而得到線段差（或便于利用三角形的三邊關(guān)系）另外，已知中有“AB

13、C的角平分線”，因此可以利用角平分線的特點作軸對稱變換這樣幾個關(guān)鍵的線段就都集中了.解如圖169,在AB上截取AC=AC,連接PC,圖169貝U有AB-AC=AB-AC=BC/AD平分/BAC:丄C'AP=ZCAP又AC=AC,AP=AP,APCAPCSAS)C'P=CP 若點P與A重合，則BP=ABC'P=CP=ACBFCP=AB-AC 若點P與A不重合，則在BCP中，BPC'P<BC即BP-CP<AB-AC=ABAC.綜上所述，AB-AOBPCP例5如圖1610,P是矩形內(nèi)一點，已知PA=3,PB=4,PC-5,求PD的長.圖1610分析如圖16

14、10,考慮通過平移將四條線段PAPBPCPD集中到一起，構(gòu)成一個封閉圖形（四邊形）再考慮到題目中有垂直的條件，在平移后保持不變，于是可能運用勾股定理求出PD的長.解女口圖16-11，分別過P,D作ADAP的平行線，交于點P，則四邊形APPD為平行四邊形.圖16-11PP/AD/BCPP=AD=BC四邊形PBCP為平行四邊形.P'D=PA=3,P'C=PB=4.又ADLCDPP/ADPP'丄CD設(shè)PP與CD相交于點O貝yp'c2+pD=(PO+oC)+(oD+Of2)=p'D2+pC.解得PD3.2.例6已知O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，/AOB=110&#

15、176;,/BOC=135。，試問：(1) 以O(shè)AOBOC為邊能否構(gòu)成一個三角形若能，求出該三角形各角的度數(shù)；若不能，請說明理由；(2) 如果/AOB勺大小保持不變，那么當/BOC等于多少度時，以O(shè)AOBOC為邊的三角形是一個直角三角形分析由于OAOBOC的長度直接不易求，但角的信息比較多(除了直接給的/AOB/BOC外,還有正ABC的三個內(nèi)角均為60°),故可以考慮將這三條線段通過旋轉(zhuǎn)變換集中到一起，便可直接得知它們能否拼接成一個三角形了.比如，這里可以將AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,這樣OAOBOC就集中為一個四邊形的邊了.解(1)如圖16-12,過點B作BP,使得/O

16、BP=60°,在BP上截取BP=BQ連接OPCP圖16-12正ABC中，/ABC=60°，又/0B圧60°,:丄ABC-ZOBC=ZOB-/OBC:丄ABOZCBP又AB=CBBO=BPABOCBPSAS).PC=OAZBPC=ZBO/V110°./OBF中,BO=BP,ZOBP=60°, OBP為正三角形. OP=OBZBOVZBPO=60°,亦即在OPC中，PC=OAOP=OBOC=OC以O(shè)AOBOC為邊能構(gòu)成一個三角形，且這樣的三角形與OPC全等.在厶OPC中,ZPOVZBOZBOV135°60°=75

17、76;.ZOP=ZBPCZBPO=110°60°=50°.ZOC=180°ZPOC-ZOP=180°75°50°=55°.(2)vZAOBt小不變， ZBPC大小也不變，即總有ZOP=50°. 若OPC中，ZPO=90°，則ZBO(=ZPOG-ZBO=90°+60°=150° 若OPC中，ZOCP=90°,則ZPO=180°ZOPZOC=180°50°90°=40°.此時ZBOC=ZPOC-ZBOP=40&

18、#176;+60°=100°綜上所述，當/BOC150°或100°時，由OAOB0C為邊的三角形為直角三角形.說明一個圖形經(jīng)過平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換后都與原圖形全等，因此可以用這三種變換來構(gòu)造全等圖形，從而“轉(zhuǎn)移”邊、角、面積的條件，使圖形中一些分散的邊與角相對集中，便于發(fā)現(xiàn)關(guān)系.12例7已知拋物線C:y(x1)22，請分別寫出滿足下列條件的拋物線的解析2式：(1) 拋物線C關(guān)于y軸對稱的拋物線：;(2) 拋物線C關(guān)于x軸對稱的拋物線：;(3) 拋物線C關(guān)于原點對稱的拋物線：;(4) 拋物線C關(guān)于其頂點對稱的拋物線：;(5) 拋物線C沿y軸向上平移3個單

19、位長度所得的拋物線：;(6) 拋物線C沿x軸向左平移3個單位長度所得的拋物線：分析解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)變換的規(guī)律確定所得拋物線的頂點坐標和開口方向，而拋物線的形狀不變(即|a|不變).1解拋物線C的頂點為(1,-2)，開口向上，且a-2一1(1)拋物線C關(guān)于y軸對稱的拋物線的頂點為(一1,-2)，開口方向不變，a-,2故所得拋物線為y(x1)22.2本題也可理解為拋物線對稱后，只有對稱軸變?yōu)橹本€x=-1.12y(x1)22.2yl(x1)22拋物線C關(guān)于其頂點對稱后，頂點不變，開口向下a-21故所得拋物線為y2(x1)22.(5)平移后拋物線的頂點為(1,1)，方向、形狀不變所得拋物線為1

20、)21.平移后拋物線的頂點為(一2,2)，所得拋物線為y(x22)22.例8如圖1613,在平面直角坐標系中有四個點A6,3),B(2,5),qo,m),D(n,0)，當四邊形ABCD勺周長最短時，求mn的值.圖1613分析本題等價于：在平面直角坐標系中，已知A,B兩點的坐標，在x軸，y軸上各求一點D,C,使得四邊形ABCD勺周長最小由于A,B兩點的位置確定，分別可作A,B兩點關(guān)于x軸，y軸的對稱點A',B',則線段AB'與x軸，y軸的交點為所求作的點D,C.解如圖1614,作點A關(guān)于x軸的對稱點A'(6,3)，點B關(guān)于y軸的對稱點B'(2,5)，則有C

21、內(nèi)BOAD=C內(nèi)B'C+DA圖1614當點C,D在直線AB'上時，BOC內(nèi)AD最小.設(shè)直線A'B'的解析式為y=kx+b,依題意得36kb,52kb.解得b3.直線AB'的解析式為y=x+3.令x=0,得y=3;令y=0，得x=3.m=3,n=3.說明（1）本題利用軸對稱把四邊形周長最短問題轉(zhuǎn)化為兩定點間折線段最短問題，從而可利用“兩點之間，線段最短”來解決；（2）求幾何中的最值問題是一類常見的題目，而對稱點法是解決這類問題的一個非常有效的方法.三、課標下新題展示例9（2009河北）在圖1615至圖1617中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點，

22、四邊形BCG和CDH都是正方形，AE的中點是M（1）如圖1615,點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，圖1615求證：FM=MHFMLMH（2）將圖1615中的CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖1616,求證：FMH是等腰直角三角形.圖1616解（1）證明：四邊形BCG和CDH都是正方形,又點N與點G重合，點M與點C重合,FB=BM=MG=MD-DH/FBIM=ZMDH=90°FM=MH/FMB=ZDM1445°,/FMH=90°.FMLHM證明：連接MBMD如圖16-17,設(shè)FM與AC交于點P.圖16-17B,D,M分別是ACCEAE的中點

23、，MD/BC且MD=BC=BF，MB/CD且MB=CD-DH四邊形BCDM是平行四邊形且/APM=ZFMD/CBI4ZCDM又/FBP=ZHDCFBM=ZMDH/FBM2AMDH FM=MH且/MFB=ZHMD/FMH=ZFM-/HM4/APIM-ZMFB=ZFBP=90°. FMH是等腰直角三角形.例10（2009太原）【問題解決】如圖16-18,將正方形紙片ABC折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C,D重合），壓平后得到折痕MN當時些-,求如的值.CD2BN方法指導：為了求得如的值，可先求BNAM的長，BN不妨設(shè)AB=2.【類比歸納】CE1amCE1am在圖16-18中，若止

24、-，則如的值等于;若旦丄，則如的值等CD3BNCD4BN；若CECD)圖16-18【聯(lián)系拓廣】如圖16-19,將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點AR壓平后得到折痕MN設(shè)伴RCCEm（m1），cd1，則地的值等于nBNC,D重合），_（用含mn的式子表示）圖16-19解【問題解決】方法一：如圖16-20,連接BMEMBE圖16-20由題設(shè)，得四邊形ABNM和四邊形FENM于直線MN寸稱.MN垂直平分BE二BM=EMBN=EN四邊形ABCD正方形,./A=ZD=ZC=90°,AB=BC=CD=DA=2.CE1,CEDE1.CD2設(shè)BN=x，貝UNE=x,NC=2-x

25、.在RtCNE中,NE=CN+CE,x2=(2x)2+12解得x5,45即BN-4在RtABM和在RtDEM中,aM+aB=bM,dM+dE=mE.aM+aB=dM+dE.1同理，可得am-4AM1BN55方法二：同方法一，BN-4如圖1621，過點N做NG/CD交AD于點G連接BE圖1621AD/BC四邊形GDC是平行四邊形.NG=CD=BC.同理，四邊形ABNG1是平行四邊形.5與方法一同理得AGBN-4C.D./MNLBEEBOZBNIW90°/NGLBCZMNGZBNM90°.ZEBC=ZMNG又/C=ZNGM90°,BCRNGMEC=MGAMAGMGAM

26、1BN5【類比歸納】(n17n2312n1【聯(lián)系拓廣】n.在平面直角坐標系中，點(2,4)繞點(1,1)順時針旋轉(zhuǎn)90°后，所得的點的坐標為()A.(2,2)B.(4,1)C.(3,1)D.(4,0)m21四、課標考試達標題(-)選擇題1.下列標志中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的為()AP,l垂4已知/AOB=30。，點P在/AOB部，R與P關(guān)于OE對稱，P2與P關(guān)于0A寸稱，則/PQP等于（）.A.45°B.50°C.60°D.70°5如圖16-22,將邊長為8cm的正方形紙片ABCDf疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為

27、MN則線段CN的長是（）圖16-22B.4cmD.6cmA.3cmC.5cm6.如圖16-23,兩個全等的正六邊形ABCDEFPQRSTU其中點P位于正六邊形ABCDE的中心如果它們的面積均為3，那么陰影部分的面積是（）.圖16-23A.B.1C.2D.3（二）填空題7.若點M關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（3,-9），則點M關(guān)于y軸對稱的點的坐標為&如圖16-24,P是正ABC內(nèi)的一點，若將PAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到P'AC貝卩/PAP的度數(shù)為.圖16-249如圖16-25,半圓A和半圓B均與y軸相切于點O其直徑CDEF均和x軸垂直，以O(shè)為頂點的兩條拋物線分別經(jīng)過點C,E和點DF,則圖中陰影部分的面積是圖16-2510如圖16-26，已知正方形紙片ABCDMN分別是ADBC的中點，把BC邊向上翻折,使點C恰好落在MN上的P點處，折痕交CD于Q則/PBQ=°圖16-2611.如圖16-27,已知五邊形ABCD中，/ABC=ZAED=90°，若AB=CD=AE=BODE=20,則五邊形ABCDE勺面積為圖16-2712.如圖16-28,將正方形ABCD以點B為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)120。得到正方形ABCD,DCLCA于0,若AOJ31，則正方形ABC啲邊長為圖16-28（三）解答題