高考圓錐曲線難題集粹

1、高考復(fù)習(xí)講義 高考數(shù)學(xué)圓錐曲線訓(xùn)練1.已知的頂點(diǎn)在橢圓上，在直線上，且（）當(dāng)邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)及的面積；（）當(dāng)，且斜邊的長(zhǎng)最大時(shí)，求所在直線的方程解：（）因?yàn)?，且邊通過(guò)點(diǎn)，所以所在直線的方程為設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為由得所以又因?yàn)檫吷系母叩扔谠c(diǎn)到直線的距離所以，（）設(shè)所在直線的方程為，由得因?yàn)樵跈E圓上，所以設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，所以又因?yàn)榈拈L(zhǎng)等于點(diǎn)到直線的距離，即所以所以當(dāng)時(shí)，邊最長(zhǎng)，（這時(shí)）此時(shí)所在直線的方程為2.如圖，橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），且過(guò)點(diǎn)yxABMFNlO（）求橢圓的方程；（）若為垂直于軸的動(dòng)弦，直線：與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)（）求證：點(diǎn)恒在橢圓上；（）求面積的最大值（）

2、由題設(shè)，從而所以橢圓的方程為（）（）由題意得，設(shè)，則，與的方程分別為：， 設(shè)，則有由，得yxABMFNO，由于所以點(diǎn)恒在橢圓上（）設(shè)的方程為，代入得設(shè)，則有：，yxABMFNO令，則，因?yàn)椋援?dāng)，即，時(shí)，有最大值，此時(shí)過(guò)點(diǎn)的面積有最大值3.設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)、B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx(k0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).()若=6，求k的值；)求四邊形AEBF面積的最大值。22（）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，2分如圖，設(shè)，其中，DFByxAOE且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡(jiǎn)得，解得或6分（）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離

3、公式和式知，點(diǎn)到的距離分別為，9分又，所以四邊形的面積為當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為12分解法二：由題設(shè)，設(shè)，由得，故四邊形的面積為9分當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為12分4.已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)是過(guò)橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線是上異于橢圓中心的點(diǎn)（1）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若是與橢圓的交點(diǎn)，求的面積的最小值22解：（）由題意得又，解得，因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）（1）假設(shè)所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)所在直線方程為，解方程組得，所以設(shè)，由題意

4、知，所以，即，因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以直線的方程為，即，因此，又，所以，故又當(dāng)或不存在時(shí)，上式仍然成立綜上所述，的軌跡方程為（2）當(dāng)存在且時(shí)，由（1）得，由解得，所以，解法一：由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時(shí)，綜上所述，的面積的最小值為解法二：因?yàn)?，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時(shí)，綜上所述，的面積的最小值為5.已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交于點(diǎn)（）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；（）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由解法一：（）如圖，設(shè)，把代入得，xAy112MNBO由韋達(dá)

5、定理得，點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，將代入上式得，直線與拋物線相切，即（）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，又是的中點(diǎn)，由（）知軸，又 ，解得即存在，使解法二：（）如圖，設(shè)，把代入得由韋達(dá)定理得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，（）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使由（）知，則，解得即存在，使6.拋物線和三個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的一條直線交拋物線于、兩點(diǎn)，的延長(zhǎng)線分別交曲線于（1）證明三點(diǎn)共線；（2）如果、四點(diǎn)共線，問(wèn)：是否存在，使以線段為直徑的圓與拋物線有異于、的交點(diǎn)？如果存在，求出的取值范圍，并求出該交點(diǎn)到直線的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22（1）證明：設(shè)，則直線的方程： 即：因在上，所以 又直線方程：由得：所

6、以 同理，所以直線的方程： 令得將代入上式得，即點(diǎn)在直線上所以三點(diǎn)共線 （2）解：由已知共線，所以 以為直徑的圓的方程：由得所以（舍去）， 要使圓與拋物線有異于的交點(diǎn)，則所以存在，使以為直徑的圓與拋物線有異于的交點(diǎn) 則，所以交點(diǎn)到的距離為 7.如圖，矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為點(diǎn)在邊所在直線上（I）求邊所在直線的方程；（II）求矩形外接圓的方程；（III）若動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與矩形的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程解：（I）因?yàn)檫吽谥本€的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為即（II）由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)榫匦蝺蓷l對(duì)角線的交點(diǎn)為所以為矩形外接圓

7、的圓心又從而矩形外接圓的方程為（III）因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)，所以是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，所以，即故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)，半焦距所以虛半軸長(zhǎng)從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為Oyx1lF8.如圖，已知，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，且（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（）過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)（1）已知，求的值；（2）求的最小值解法一：（）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡(jiǎn)得（）（1）設(shè)直線的方程為：設(shè)，又，PBQMFOAxy聯(lián)立方程組，消去得：，由，得： ，整理得：，解法二：（）由得：，所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：（）（1）由已知，得則：過(guò)點(diǎn)

8、分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：由得：，即（）（2）解：由解法一，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為9.已知橢圓C:=1(ab0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.()求橢圓C的方程;()設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值.解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為（）設(shè)，（1）當(dāng)軸時(shí)，（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為由已知，得把代入橢圓方程，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)時(shí)， 綜上所述當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值07天津（22）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為（）證明；（）求使得下

9、述命題成立：設(shè)圓上任意點(diǎn)處的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，則（）證法一：由題設(shè)及，不妨設(shè)點(diǎn)，其中，由于點(diǎn)在橢圓上，有，解得，從而得到，直線的方程為，整理得由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為，即，將代入原式并化簡(jiǎn)得，即證法二：同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，易知，故由橢圓定義得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：圓上的任意點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時(shí)，圓上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn)處的切線必交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)和，因此點(diǎn)，的坐標(biāo)是方程組的解當(dāng)時(shí)，由式得代入式，得，即，于是，若，則所以，由，得在區(qū)間內(nèi)此方程的解為當(dāng)時(shí)，必有，同理求得在區(qū)間內(nèi)的解為另一方面，當(dāng)時(shí)，可推出，從而綜上所述，使得所述命題成立10.

10、設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)（）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的作標(biāo)；（）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為作標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍（），設(shè)則，又，聯(lián)立，解得，（）顯然不滿足題設(shè)條件可設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立，由，得又為銳角，又 綜可知，的取值范圍是11.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由ABxyNCO解法1：（）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，NOACByx直線的方程為，與聯(lián)立得消去得由韋達(dá)定理得，于是，當(dāng)，（）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，設(shè)的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，NOACByxl則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，解法2：（）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得，又由點(diǎn)到直線的距離公式得從而，當(dāng)時(shí)，（）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，則有令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于B，D兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A，C兩點(diǎn)，且