高中數(shù)學(xué)拋物線解題方法總結(jié)歸納

1、圓錐曲線拋物線知識(shí)點(diǎn)歸納1拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的圖形和性質(zhì)： 頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段中點(diǎn)。 焦準(zhǔn)距：FK=p通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于軸的弦長(zhǎng)為2p。頂點(diǎn)平分焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線段：OF=OK=f3拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：y2二2px，y2=一2px，x2二2py，x2=一2py。特點(diǎn)：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的軸上，開(kāi)口與“土2p”方向同向4拋物線y2二2px的圖像和性質(zhì)：焦點(diǎn)坐標(biāo)是：-,0，準(zhǔn)線方程是：x-匕。12丿2焦半徑公式：(稱為焦半徑)是：PF-x+，02焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)PQ=x

2、i+|+x2+彳=xi+x2+p拋物線y過(guò)點(diǎn)(一3,2)的拋物線方程為;；2=4x或x2=9y,32焦點(diǎn)在直線x2y4=0上的拋物線方程為y2=16x或x2=8y，=2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P,y)或P(2pt2,2pt)2p05一般情況歸納:方程圖象隹占八、八、準(zhǔn)線定義特征y2=kxk>0時(shí)開(kāi)口向右(k/4,0)x=-k/4到焦點(diǎn)(k/4,0)的距離等于到準(zhǔn)線x=-k/4的距離k<0時(shí)開(kāi)口向左X2=kyk>0時(shí)開(kāi)口向上(0,k/4)y=-k/4到焦點(diǎn)(0,k/4啲距離等于到準(zhǔn)線y=-k/4的距離k<0時(shí)開(kāi)口向下題型講解例1根據(jù)下列條件填空：(3) 拋物線八左疋僅的焦點(diǎn)坐標(biāo)

3、為；丿(4) 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，拋物線上的點(diǎn)成門廠®到焦點(diǎn)F的距離為5,則拋物線方程為；b=土加或宀士血或(5)已知點(diǎn)A(3,4),F是拋物線y2二8x的焦點(diǎn),M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MA+MF最小時(shí),M點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4)例2.斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2二4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).解：法一通法法二設(shè)直線方程為y=x-1,A(x,y)、B(x,y),1122則由拋物線定義得IAB1=1AFI+1FB1=1ACI+1BD1=x+P+x+匕=x+x+p,122212又A(x,y)、B(x,y)是拋物線與直線的交點(diǎn)，由°兀得x2

4、-6x+1=0,1 122y=x-1,則x+x=6，所以丨AB1=8.例3.求證：以通過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與拋物線的準(zhǔn)線相切.證明：(法一)設(shè)拋物線方程為y2=2px，則焦點(diǎn)F(匕,0)，準(zhǔn)線x=-P.設(shè)以過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB為2 2直徑的圓的圓心M,A、B、M在準(zhǔn)線l上的射影分別是A、B、M,111則丨AAI+1BB1=1AFI+1BF1=1ABI,11又IAAI+1BB1=2IMMI,111IMMI=丄丨ABI，即IMMI為以AB為直徑的圓121的半徑，且準(zhǔn)線/丄MM,命題成立.1(法二)設(shè)拋物線方程為y2=2px,則焦點(diǎn)F(匕,0),準(zhǔn)線x=-p.過(guò)點(diǎn)F的拋物線的弦的兩個(gè)端點(diǎn)A(x,

5、y),B(x,y)，線段AB的21122中點(diǎn)M(x,y)，則IABI=x+x+=x+x+p,00122212以通過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓的半徑r=11ABI=丄(x+x+p).2212點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-2的距離d=x0+1二苓+1=2(xi+x2+勿，：圓M與準(zhǔn)線相切.例4.正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2二2px(p>0)上，求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng).解：設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn)A、B在拋物線上，且設(shè)點(diǎn)A(x,y),B(x,y)，則y2=2px,112211y2=2px，又IOA1=1OBI，所以x2+y2=x2+y2，221122即(x2一x2)+2p(x一x)=0

6、，1212(x一x)(x+x+2p)=0.1212*.*x>0，x>0，2p>0，:x=x.1212由此可得IyI=IyI，即線段AB關(guān)于x軸對(duì)稱.12因?yàn)閤軸垂直于AB，且ZAOx=30°，所以=tan30°=-x31/x=豊，y=2運(yùn)p，IABI=2y=4p.12p11例5A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，滿足OA丄OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))求證：(1)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值；直線AB經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y12=2px1,y22=2px2,y12y22=4p2x1x2,VOA丄OB,x

7、1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2,y1y2=-4p2(定值)直線AB的斜率k=Z1=-x2-x1蘭一22y1+y22p2p直線AB的方程為y-y1=2p(x-孕),y1+y22p3更多精品講義請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：備課寶或者beikehere即y(y1+y2)-y1y2=2px,由可得y=?(x-2p),12直線AB過(guò)定點(diǎn)C(2p,0)例6.定長(zhǎng)為3的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最小距離.解：拋物線焦點(diǎn)F(4,0)，準(zhǔn)線1:x=-4,設(shè)點(diǎn)A、B、M在準(zhǔn)線1上的射影分別是A、B、M，設(shè)點(diǎn)M(x,y),11100則IAAI+1BB1

8、=1AFI+1BF1>1ABI,11又IMMI=1(IAAI+1BBI)>11ABI,12112又IMM=x+1,IABI=3,1041355x+1>-，所以x>-，即x的最小值是o420404點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最小距離是|，當(dāng)且僅當(dāng)AB過(guò)點(diǎn)F是取得最小距離例7設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O分析：證直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，即證O、A、C三點(diǎn)共線，為此只需證kOC=kOA本題也可結(jié)合圖形特點(diǎn)，由拋物線的幾何性質(zhì)和平面幾何知識(shí)去解決證法一：設(shè)AB：x=my+，代入y2=2px，

9、得y22pmyP2=02由韋達(dá)定理，得yAyB=p2，即yB=yABCx軸，且C在準(zhǔn)線x=£上,2則kOC=丸=爲(wèi)=kOA故直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O證法二：如圖，記準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E,過(guò)A作AD丄1，垂足為D則ADEFBC連結(jié)AC交EF于點(diǎn)N，則IENI=ICNI=IBFIINFI=IAFI、IADI一IACI一IABI'BC一IABIVIAFI=IADI，IBFI=IBCI，AIENI=IADI-IBFI=IAFI-IBCI=INFI，ABIIABI即N是EF的中點(diǎn)從而點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，故直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O點(diǎn)評(píng)：本題的“幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力在涉及解析思想較多的證

10、法中，關(guān)鍵是得到y(tǒng)AyB=p2這個(gè)重要結(jié)論還有些證法充分利用了平面幾何知識(shí)，這也提醒廣大師生對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何的題目例8、已知拋物線八工肌小)，點(diǎn)A(2,3),F為焦點(diǎn)，若拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到更多精品講義請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：備課寶或者beikehere備課寶出品A、F的距離之和的最小值為，求拋物線方程.分析：在解析幾何中，關(guān)于到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最小值（或距離之差的最大值）問(wèn)題，運(yùn)用純代數(shù)方法解，導(dǎo)致復(fù)雜運(yùn)算，因而常運(yùn)用幾何方法與相關(guān)曲線的定義。解：注意到拋物線開(kāi)口大小的不確定性(M+ML=KI=（1）當(dāng)點(diǎn)A和焦點(diǎn)F在拋物線的異側(cè)時(shí)，由三角形性質(zhì)得(f

11、-2)2+9=10，解得p=2或p=6。注意到p=6時(shí)，拋物線方程為，此時(shí)若x=2,則，與點(diǎn)A所在區(qū)域不符合；當(dāng)p=2時(shí)，拋物線方程為宀也，當(dāng)x=2時(shí)，宀2,符合此時(shí)的情形。（2）當(dāng)點(diǎn)A和焦點(diǎn)F在拋物線的同側(cè)時(shí)（如圖），作MN丄準(zhǔn)線丨于點(diǎn)N，人百丄!于丑，得網(wǎng)+阿=聞|+阿|土|朋|十阿沖）込=牡”卜質(zhì)°，解得"麗-可易驗(yàn)證拋物線宀4麗2）符合此時(shí)情形。于是綜合（1）、（2）得所求拋物線方程為尸=%或尸=丸麗-嘰點(diǎn)評(píng)：求解此題有兩大誤區(qū)：一是不以點(diǎn)A所在的不同區(qū)域分情況討論，二是在由（1）（或（2）導(dǎo)出拋物線方程后不進(jìn)行檢驗(yàn)。事實(shí)上，在這里不論是A在什么位置，總得M+成立，

12、本題進(jìn)行的檢驗(yàn)是必要的.例9已知拋物線y2二-x與直線y=k（x+1）相交于A、B兩點(diǎn)， 求證;OA丄OB; 當(dāng)AOAB的面積等于時(shí)，求k的值分析：根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式或應(yīng)用向量解證明：設(shè)A（-y2,y）,B（-y2,y）;N（-1,0）1122B更多精品講義請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：備課寶或者beikehere5更多精品講義請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：備課寶或者beikehere備課寶出品na=(1-y;，y1)NB=(1-y2,y)，由A,N,B共線22y121(y2一人)=yiy2(叮y2)，又yi豐y2yiy2更多精品講義請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：備課寶或者beikehere11OA丄OBOAOB=yiy2

13、+yi2y廠yiy2(1+yiy2)=0解SAOAB=2-i2打由j；：+i)得ky2+y-k二0S=-1-|yy|=+4=、.：i0,k=±aoab22F2k26解法2:由OM丄AB知點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)和點(diǎn)(2p,0)為直徑的圓(除去原點(diǎn))立即可求出學(xué)生練習(xí)1拋物線y二x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(0,4)B(0，4)C(4，0)D(4，0)答案:A解析:從初中學(xué)的拋物線(二次函數(shù))到高中的拋物線2已知點(diǎn)A(3,4),F是拋物線y2二8x的焦點(diǎn),M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|MA|+|MF|最小時(shí),M點(diǎn)坐標(biāo)是A(0,0)B(3,2j6)C(2,4)D(3,2.6)答案：C解析：把MF轉(zhuǎn)化為m到

14、準(zhǔn)線的距離MK撚后求MA+MK的最小值3過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x,y),B(x,y)，若x+x=6,112212那么|ab|等于()A10B8C6D4答案:B解析：|AB|=|AF|+|BF|=x+-+x+-=x+x+p1222124拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線x-y+2=0上,則其方程為()Ay2=4x或x2=一4yBx2=4y或y2=-4xCx2=8y或y2=-8xD不確定答案：C解析：解直線與兩軸交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求p5過(guò)點(diǎn)(0,2)與拋物線y2二8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()A1條B2條C3條D無(wú)數(shù)條答案:C解析：相切與相交均能產(chǎn)生一個(gè)公共點(diǎn)6一個(gè)酒杯

15、的軸截面為拋物線的一部分，它的方程為x2二2y(0<y<20)，在杯內(nèi)放一個(gè)玻璃球，要使球觸及到杯的底部，則玻璃球的半徑r的范圍為()A0<r<1B0<r<1C0<r<1D0<r<2答案:C解析：設(shè)圓心A(0,t)，拋物線上的點(diǎn)為P(x,y),列出|PA|=,x2+(y-1)2=Jy2+(2-2t)y+12轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題7拋物線y2=2px(p>0)的動(dòng)弦AB長(zhǎng)為a(a>2p)，則AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離是()apAB22答案:D解析：可證弦AB通過(guò)焦點(diǎn)F時(shí),所求距離最短8直線l過(guò)拋物線y2=a(x+1)(a>

16、0)的焦點(diǎn)，并且與x軸垂直，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4,則a=()14答案:A解析：所截線段長(zhǎng)恰為通徑a二49過(guò)拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若PF與FQ的長(zhǎng)分別為p、q,則丄+-等于()pqA2a1B2aC4a答案:C解析：考慮特殊位置，令焦點(diǎn)弦PQ平行于X軸，10設(shè)拋物線y2二2px,（p>0）的軸和它的準(zhǔn)線交于E點(diǎn)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)（直線PQ與拋物線的軸不垂直），則ZFEP與ZQEF的大小關(guān)系為()AZFEP>ZQEFBZFEP<ZQEFCZFEP=ZQEFD不確定答案:C解析：向量解法：由A、F、B共線得y

17、y二-p2（重要結(jié)論），進(jìn)而得出12k=kPEQE11已知拋物線y二x2-1上一定點(diǎn)B（-1,0）和兩動(dòng)點(diǎn)P、Q，當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),BP丄PQ，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）A(8,3B1,+8)C-3,-1D(8,3U1,+8)答案:D12過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為A,B,則ZAFB=(1111)A45。B60。C90。D120。答案:C解析：FA=（丄-彳,y),FB=（丄-,y）,因?yàn)锳、F、B三點(diǎn)共線所2p212p22以y-y2y#y=2-yy2令yy=p22p12222p122112FA1-FB1=(-,yi)-(-,y2)=-2

18、+yiy2=013在拋物線y2=2px上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則-的值為A1B12C2D4答案：C解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-p，由拋物線的定義知4+p=5,解得22P=214設(shè)aH0,aR，則拋物線y=4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A(a,0)B(0,a)C(0,丄)D隨a符號(hào)而定16a答案：C解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程15以拋物線y2=2px(p>0)的焦半徑丨PF丨為直徑的圓與y軸位置關(guān)系為A相交B相離C相切D不確定答案：C解析：利用拋物線的定義16以橢圓蘭+Zi=1的中心為頂點(diǎn)，以橢圓的左準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓右2516準(zhǔn)線交于A、B兩點(diǎn)，則IABI的值為<解：中心為(0,0

19、),左準(zhǔn)線為x=-25，所求拋物線方程為y2=100x又橢圓右準(zhǔn)線方程為x=25，聯(lián)立解得A(25,50)、B(蘭,-50)3 3333T答案：10017對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線的通徑的長(zhǎng)為5；由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)能使這拋物線方程為y2=10x的條件是(要求填寫合適條件的序號(hào))解析：由拋物線方程y2=10x可知滿足條件答案：18拋物線y2=2x的焦點(diǎn)弦AB,求OAOB的值y2=2x2得y2-y-OA-OB=xx+yy212=0,.y1y2=-113=4yiy2+y1y2=-419設(shè)一動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)A(2,0)且與拋物線y二x2+2相交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B、C在x軸上的射影分別為B,C,P是線段BC上的點(diǎn)，且適合竺=JBB1，求11PC|CC|APOA的重心Q的軌跡方程，并說(shuō)明該軌跡是什么圖形解析:設(shè)B(x,y),C(x,y),P(x,y),Q(x,y)112200.BP=PC|CCIy0=y+L-y1y